題目：

在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4，DC=5，AB=8。動(dòng)點(diǎn)P由B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度均為每秒1個(gè)單位。當(dāng)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。1、t為何值時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；

2、記△PQB的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取最大值？并求出最大值；

3、當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求t的值。

分析：

題目1：

問：P，Q何時(shí)停止運(yùn)動(dòng)？答：P到達(dá)C時(shí)。

問：t為何值時(shí)，P到達(dá)C？答：速度×t=BC時(shí)。

由于速度已知（每秒1個(gè)單位），所以需要知道BC=？

作CE⊥AB，E為垂足?？梢宰C明，四邊形AECD是矩形，EC=AD=4，AE=DC=5。所以EB=3，BC=5，即t=5時(shí)，P到達(dá)C，此時(shí)P，Q停止運(yùn)動(dòng)。

題目2：求S的最大值，須先知道S的表達(dá)式。

S的表達(dá)式只能通過“底邊×高/2求解”，有3種組合：

• 以BP為底，BP=t，高未知

• 以BQ為底，BQ=8－t，高未知

• 以PQ為底，底與高均未知

PQ的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，優(yōu)先考慮BP或BQ為底。

BQ上的高是什么？
過P作PP'⊥AB，P'為垂足，則PP'為BQ上的高?？梢宰C明△BPP'∽△BCE，所以可以求得PP'=4t/5，所以S=（8－t）×（4t/5）/2=2（－t^2+8t）/5。當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值32/5。

題目3：哪一組邊是△PQB的腰？有三種可能

• PQ=PB

• QB=QP

• BP=BQ

針對(duì)每1種可能性，分別求解

• 當(dāng)PQ=PB時(shí)，PQ=t，QB=8－t。此時(shí)QP'=PB'。由于COS∠B=3/5，所以QP'=PB'=3t/5，即8－t=6t/5，可得t=40/11；

• 當(dāng)QB=QP時(shí)，作QQ'⊥BC，垂足為Q'。則Q'B=Q'P=t/2。由于COS∠B=3/5，所以（t/2）/（8－t）=3/5，可得t=48/11；

• 當(dāng)BP=BQ時(shí)，即有t=8－t，可得t=4。

注意到40/11，4，48/11均小于5（P未超出邊界C），所以都滿足題意。即，當(dāng)t=40/11，t=4，或t=48/11時(shí)，△PQB為等腰三角形。

解題：

1、作CE⊥AB，E為垂足。

∵ ∠CEA=∠DAE=90度，DC∥AB

∴ 四邊形AECD是矩形

∴ EC=AD=4，AE=DC=5

∴ EB=3，BC=5

當(dāng)t=5時(shí)，P到達(dá)C，此時(shí)P，Q停止運(yùn)動(dòng)；

2、作PP'⊥AB，P'為垂足。

∵ ∠CEB=∠PP'B=90度，∠B為公共角

∴ △BPP'∽△BCE

∴ PP'：CE=BP：BC

∴ PP'=4t/5

∵ BQ=8－t

∴ S=（8－t）×（4t/5）/2=2（－t^2+8t）/5。當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值32/5；

3、當(dāng)PQ=PB時(shí)，PQ=t，QB=8－t。此時(shí)QP'=PB'。由于COS∠B=3/5，所以QP'=PB'=3t/5，即=8－t=6t/5，可得t=40/11；當(dāng)QB=QP時(shí)，作QQ'⊥BC，垂足為Q'。則Q'B=Q'P=t/2。由于COS∠B=3/5，所以（t/2）/（8－t）=3/5，可得t=48/11；當(dāng)BP=BQ時(shí)，即有t=8－t，可得t=4。

又，注意到40/11，4，48/11均小于5（P未超出邊界C），所以都滿足題意。即，當(dāng)t=40/11，t=4，或t=48/11時(shí)，△PQB為等腰三角形。

回顧：

1、題目2，大家可以試試以PQ為底，或以BP為底；

2、題目3，要注意檢驗(yàn)解的合理性。