這道題要壓軸內(nèi)容吧，其實也不難，只不過計算過程稍微多了些，并不是那種讓大家看完條件之后感覺根本不知道怎么搞的類型。當(dāng)然，形式上還是有一些難度的，例如有些同學(xué)可能側(cè)重于圖形證明，對于圖形計算可能不是很上心，而這道題恰恰是利用各種線段計算才顯得沒有太大難度，而且這道題的圖形是標(biāo)準(zhǔn)的正方形，里面的圖形旋轉(zhuǎn)也剛好湊成直角型，即使不知道怎么幾何變換，也可以利用建立坐標(biāo)系來解決。

解析：

（1）這一小題送分部分，即使不計算，看圖也能看出來兩個線段之間是2倍關(guān)系，而且垂直，注意2倍關(guān)系別弄反了；如果非要證明，那么連接OP即可；

（2）一般探究題型的結(jié)論都是通用的，所以這一小題鐵定了等腰直角，接下來只要證明即可；

我們只知道P和Q是中點，題上并沒有給PQ和AB垂直，所以我們不得不去證明垂直關(guān)系，還有相等；

要證明垂直，好像不是一下子就能完成的，但是如果我們知道了結(jié)論，△PQB是等腰直角，那么這不是正方形的一半嗎？

所以我們過P做PF⊥BC于F，但是這樣的話，還不知道PF長度，但是P是中點，我們過中點做了個這種垂線，是不是可以把它變成中位線？

延長CB，過E做AB的延長線，交CB的延長線于G

我們假設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則可得AO和AO'，那么BO'可得

由于PF//EG，CP=PE

所以PF=EG/2

同時EG和BO'相等，那么可得PF為BO'的一半

所以PF=BQ

同時PF//BQ

則四邊形PQBF為矩形（距離我們要的正方形還差一步）

根據(jù)CG=CB+BG=（2+√2）/2

所以FG=（2+√2）/4

所以FB=（2-√2）/4

所以FB=BQ

那么四邊形PQBF為正方形

所以PQ⊥BQ且PQ=BQ

則△PQB為等腰直角三角形；

（3)這一題的過程稍微多一些，畢竟求面積，得搞定線段長度，而且這一小題并沒有讓我們直接給出結(jié)果，如果能直接給出結(jié)果，那么根據(jù)前面的結(jié)論，△PQB肯定為等腰直角，所以即使不會解的同學(xué)，也能大概率寫對答案。

那么我們來看一下這一小題，由于要求出△PQB的面積，所以底和高必須有，但是這個三角形我們知道它會成為直角三角形，但是必須證明出來，所以又是一遍證明過程，同樣，我們仿照第二小題的利用線段來證明即可，如果我們能求出PQ和BQ的長度，即可得到等腰，然后再得到PB長度，利用勾股定理來獲取直角即可；

先做輔助線，BQ是BO' 的一半，長度容易得到；

而PQ這種不上不下的位置，我們還要借助做各種垂線來將其放入直角三角形中解決，過P做PK⊥AB于K，過Q分別向BC和AB做垂線，垂足分別為M和N，同時過P向QM做PN⊥QM于N，其他的輔助線就不再提供了，過程中不明白的同學(xué)自己再添加其他輔助線；

先簡述一下過程，然后直接給同學(xué)們貼出來老師打的草稿吧，就不在文檔中編輯了；

根據(jù)條件可以得到PC和QH

那么在△CPK中可以搞定PK和CK，中位線搞定QH，且BM=QH，QM=BH

所以QN可得，而PN=MK，則PN可得

勾股定理搞定PQ，

發(fā)現(xiàn)PQ=BQ

利用PK和BK搞定PB

勾股定理證明△PQB為Rt三角形

則面積可得；