第四節(jié) 動態(tài)幾何

【回顧與思考】

    類別

【例題經(jīng)典】

會“靜”中求動

    例1  （2004年吉林省）如圖，已知拋物線y=x2-ax+a+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點C．運點P以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿C→D運動．同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿A→B運動．連結(jié)PQ，CB設(shè)點P的運動時間為t秒．

    （1）求a的值；

    （2）當t為何值時，PQ平行于y軸；

（3）當四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值．

    【分析】由PQ∥y軸和DC∥x軸這一靜態(tài)，得OQ=PD，求t的值．

會由“特殊”推出“一般”

    例2  （2005年南京市）如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D，E始終在直線BC上，設(shè)運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．

    （1）當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

【會用“類比的思想”探究圖形的變化】

    例3  （2006年臨沂市）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，設(shè)P、Q分別為BD、BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，移動的速度都為1cm/s，設(shè)P、Q移動的時間為t（0<t≤4）．

    （1）寫出△PBQ的面積S（cm2）與時間t（s）之間的函數(shù)表達式，當t為何值時，S有最大值？最大值是多少？

    （2）當t為何值時，△PBQ為等腰三角形？

    （3）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說明理由．

【考點精練】

1．（2005年西寧市）如圖1，將正方形ABCD中的△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)能與△CBP重合，若BP=4，則點P所走過的路徑長為_________．

           (1)                       (2)                     (3)

2．（2005年福州市）如圖2，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的（  ）

    A．       B．        C．        D．

3．（2005年北京市）如圖3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，點P從起點O出發(fā)，沿DC、CB向終點B勻速運動．設(shè)點P所走過的路程為x，點P經(jīng)過的線段與線段AD、AP所圍成圖形的面積為y，y隨x的變化而變化．在下列圖像中，能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（  ）

4．（2006年臨沂市）如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時針滾動，小正方形的邊長是大正六邊形邊長的一半，當小正六邊形由圖①位置滾動到圖②位置時，線段OA繞點O順時針轉(zhuǎn)過的角度為_______度．

5．如圖直角坐標系中，已知點A（2，4），B（5，0），動點P從B點出發(fā)，沿BO向終點O運動，動點Q從A點出發(fā)向點B運動，兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，設(shè)從出發(fā)起運動了xs．

    （1）點Q坐標為______（用含x的式子表示）

    （2）當x為何值時，△APQ為一個以AP為腰的等腰三角形？

（3）設(shè)PQ的中點為G，請你探求點G隨點P、Q運動所形成的圖形并說明理由．

6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿射線AB向點B方向運動；動點Q從點C出發(fā)，沿射線CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，求：

    （1）幾秒鐘以后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半？

（2）在第（1）問的前提下，P、Q兩點之間的距離是多少？

7．（2006年濟南市）已知半徑為R的⊙O′經(jīng)過半徑為r的⊙O的圓心，⊙O與⊙O′交于E、F兩點．

    （1）如圖甲，連結(jié)⊙O′交于⊙O于點C，并延長交⊙O′于點D，過點C作⊙O的切線交⊙O′于A、B兩點，求OA．OB的值；

    （2）若點C為⊙O上一動點，

      ①當點C運動到⊙O′內(nèi)時，如圖乙，過點C作⊙O′的切線交⊙O于A、B兩點，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請說明理由．

②當點C運動到⊙O′外時，過點C作⊙O的切線，若能交⊙O′于A、B兩點，如圖丙，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請說明理由．

8．（2005年黃岡市）如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC，CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．

      （1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式．

      （2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標．

      （3）設(shè)從出發(fā)起，運動了t秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍．

（4）設(shè)從出發(fā)起，運動了t秒，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如圖（1），AB是⊙O直徑，直線L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足為D．

    （1）求證：AC1·AC2=AB·AD；

    （2）若將直線L向上平移（如圖（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2與直徑AB相交（交點不與A，B重合），其他條件不變，請你猜想，AC1，AC2，AB，AD之間的關(guān)系，并說明理由．

    （3）若將直線L平移到與⊙O相切時，切點為C，其他條件不變，請你在圖（3）上畫出變化后的圖形，標好相應(yīng)字母并猜想AC，AB，AD的關(guān)系是什么？（只寫出關(guān)系，不加以說明）．

答案:

例題經(jīng)典  

例1：①a=6 ②當t=時，PQ∥x軸  ③當t=時，SABCD=14 

例2：①1秒  4秒 7秒  16秒時相切  

②當半圓與AB相切時，S=9cm2；當與AC相切時，S=（9+6）cm  

例3：①S=-（t-）2+，∵0<t≤4，∴當t=時，S最大為  

②△BPQ是等腰三角形，當PB=PQ時，t=；當BP=BQ時，t=2.5  

③不能，若△PBQ為等邊三角形，則BQ=BP=PQ，當BQ=BP時t=，當BP=PQ時t=，

∴BQ=BP與BP=PQ不能同時成立，∴△BPQ不可能為等邊三角形．

考點精練  

1．2  2．B  3．A  4．240°  

5．（1）（2+x，4-x）  

（2）P（5-x，0），0≤x≤5，

由勾股定理得PQ2=（x-3）2+（4-x）2，AP2=（3-x）2+42．

若AQ=AP，∴x2=（3-x）2+42，∴x=．

若PQ=AP，則（x-3）2+（4-x）2=（3-x）2+42，∴x=，

∴當x=或時，△APQ是一個以AP為等腰的等腰三角形． 

（3）設(shè)PB、BO的中點分別為M、N，∴G隨點P、Q運動的形成的圖形就是線段MN．

證明：由M（，0），N（，0）可得yMN=2x-5（≤x≤），

由P（5-x，0），Q（2+x，4-x），

∴G（，2-x）滿足y=2x-5，

∴G在線段MN上．  

6．（1）2秒或12秒  （2）8  

7．（1）2Rt  （2）無變化  （3）無變化  

8．（1）直線OC的解析式為y=x，經(jīng)過O、A、C三點的拋物線解析式為y=x  

（2）D（10，6）  

（3）當Q在OC上運動時可設(shè)Q（m，m），∴m2+（m）2=（2t）2，

∴m=t，∴Q（t，t）（0≤t≤5），

當Q在CB上時Q點走過的路程為2t，

∵OC=10，∴CQ=2t-10，∴Q點橫坐標為2t-2，

∴Q（2t-2，6）（5<t≤10）  

（4）∵梯形OABC的周長為44，當Q點在OC上時，P運動的路程為t，

則Q運動的路程為（22-t），

∴S△OPQ=t（22-t）×，

∴S梯形OABC=（18+10）×6=84，

∴t（22-t）×=84×，

∴t2-22t+140=0，∵△<0，

∴t不存在，當Q在BC上運動時走過的路程為22-t，

∴CQ的長=22-t-10=12-t，

∴S梯形=×6（12-t+t）=36≠84×，

∴t值不存在，∴不存在使及P、Q兩點平分梯形的周長和面積  

9．（1）證△AC2D∽△ABC1 

（2）AC1·AC2=AD·AB  

（3）AC2=AB-AD．