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等差數(shù)列 等差公式：an=a1 (n-1)d 等差求和：Sn=n (a1 an)／2 =na1 n(n-1)d／2 ⑴公差為d的等差數(shù)列,各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d． ⑵公差為d的等差數(shù)列,各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd． ⑶若{ a }、{ b }為等差數(shù)列,則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列． ⑷對任何m、n ,在等差數(shù)列{ a }中有：a = a (n－m)d,特別地,當(dāng)m = 1時(shí),便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性． ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且l k p … = m n r … （兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等）,那么當(dāng){a }為等差數(shù)列時(shí),有：a a a … = a a a … ． ⑹公差為d的等差數(shù)列,從中取出等距離的項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd( k為取出項(xiàng)數(shù)之差)． ⑺如果{ a }是等差數(shù)列,公差為d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差數(shù)列,其公差為－d；在等差數(shù)列{ a }中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 ) ⑻在等差數(shù)列中,從第一項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)． ⑼當(dāng)公差d＞0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d＜0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減?。籨＝0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù)． ⑽設(shè)a ,a ,a 為等差數(shù)列中的三項(xiàng),且a 與a ,a 與a 的項(xiàng)距差之比 = （ ≠－1）,則a = ． 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì) ⑴數(shù)列{ a }為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{ a }的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an bn的形式(其中a、b為常數(shù))． ⑵在等差數(shù)列{ a }中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N )時(shí),S －S = nd, = ；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n－1) (n )時(shí),S －S = a , = ． ⑶若數(shù)列{ a }為等差數(shù)列,則S ,S －S ,S －S ,…仍然成等差數(shù)列,公差為 ． ⑷若兩個(gè)等差數(shù)列{ a }、{ b }的前n項(xiàng)和分別是S 、T (n為奇數(shù)),則 = ． ⑸在等差數(shù)列{ a }中,S = a,S = b (n＞m),則S = (a－b)． ⑹等差數(shù)列{a }中, 是n的一次函數(shù),且點(diǎn)（n, ）均在直線y = x (a － )上． ⑺記等差數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S ．①若a ＞0,公差d＜0,則當(dāng)a ≥0且a ≤0時(shí),S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,則當(dāng)a ≤0且a ≥0時(shí),S 最小． 3．等比數(shù)列 等比公式:an=a1.q^(n-1) 等比求和:sn=a1(1-q^n)／(1-q) =a1-an.q／(1-q) ⑴公比為q的等比數(shù)列,從中取出等距離的項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列仍是等比數(shù)列,其公比為q ( m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差)． ⑵對任何m、n ,在等比數(shù)列{ a }中有：a = a · q ,特別地,當(dāng)m = 1時(shí),便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性． ⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且t k,p,…,m … = m n r … (兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等),那么當(dāng){a }為等比數(shù)列時(shí),有：a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… = a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… ．． ⑷若{ a }是公比為q的等比數(shù)列,則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數(shù)列,其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }． ⑸如果{ a }是等比數(shù)列,公比為q,那么,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 為公比的等比數(shù)列． ⑹如果{ a }是等比數(shù)列,那么對任意在n ,都有a ·a = a ·q ＞0． ⑺兩個(gè)等比數(shù)列各對應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積． ⑻當(dāng)q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0時(shí),等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1時(shí),等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí),等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q＜0時(shí),等比數(shù)列為擺動數(shù)列． 4．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì) ⑴如果數(shù)列{a }是公比為q 的等比數(shù)列,那么,它的前n項(xiàng)和公式是S = 也就是說,公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值,分段的界限是在q = 1處．因此,使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1,如果q可能等于1,則需分q = 1和q≠1進(jìn)行討論． ⑵當(dāng)已知a ,q,n時(shí),用公式S = ；當(dāng)已知a ,q,a 時(shí),用公式S = ． ⑶若S 是以q為公比的等比數(shù)列,則有S = S ＋qS ．⑵ ⑷若數(shù)列{ a }為等比數(shù)列,則S ,S －S ,S －S ,…仍然成等比數(shù)列． ⑸若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠－1)前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S 與T ,次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S 與T ,最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S 與T ,則S ,S ,S 成等比數(shù)列,T ,T ,T 亦成等比數(shù)列． |
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