（一）等比數(shù)列

1. 如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列，用式子表示（常數(shù)）。

理解等比數(shù)列定義時(shí)應(yīng)注意：

（1）由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不能為0。

（2）對(duì)于公比q，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒。

（3）“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3 項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說此數(shù)列從第2項(xiàng)起或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列。

2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是，它是由不完全歸納法得到的，在理解這一公式時(shí)，應(yīng)注意：

（1）在已知 a₁和 q 的前提下，利用通項(xiàng)公式可求出等比數(shù)列中的任意一項(xiàng)。

（2）已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng)。

（3）用函數(shù)的觀點(diǎn)看等比數(shù)列的通項(xiàng)。

等比數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式，可以改寫為。當(dāng)q>0，且q≠1時(shí)，是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列｛a _n｝的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn)。

3. 如果 a , G , b 成等比數(shù)列，則 G 叫做a和b的等比中項(xiàng) , 。顯然，如果a，b存在等比中項(xiàng)，則必有ab>0。于是，如果 a _n≠0 ，且對(duì)任意的正整數(shù) n 都成立，則數(shù)列｛a _n｝是等比數(shù)列。

4. 等比數(shù)列的幾個(gè)性質(zhì)

設(shè) ，( a ₁ ，q≠0 ) ,

（1）當(dāng) q > 1 , a₁>0，或0< q < 1 , a ₁< 0 時(shí)， ｛a _n｝是遞增數(shù)列；當(dāng) q > 1 , a _l < 0 ，或 0 < q < 1 , a₁＞0時(shí)，｛a _n｝ 是遞減數(shù)列；當(dāng) q＝ 1 時(shí)， ｛a _n｝是常數(shù)列；當(dāng) q < 0時(shí)，｛a _n｝是擺動(dòng)數(shù)列。

（2）（m、n ∈N*）

（3）當(dāng) m ＋ n ＝p＋q ( m、n、p、q∈N*)時(shí)，有

（4）｛a _n｝是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積相等，且等于首末兩項(xiàng)之積。

（5）數(shù)列｛λa _n｝（λ為不等于零的常數(shù)）仍是公比為 q 的等比數(shù)列；若｛b _n｝是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列｛a _n·b _n｝是公比為qq＇的等比數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；｛|a _n|｝是公比為 |q| 的等比數(shù)列。

（6）在｛a _n｝中，每隔 k （k ∈N*）項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為。

（7）當(dāng)數(shù)列｛a _n｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{}是公差為 lgq 的等差數(shù)列。

（8）｛a _n｝中，連續(xù)取相鄰兩項(xiàng)的和（或差）構(gòu)成公比為 q 的等比數(shù)列。

（9）若 m、n、p ( m、n、p ∈N* )成等差數(shù)列時(shí)， a _m、a _n、a _p成等比數(shù)列。

5. 等差數(shù)列與等比數(shù)列的比較

（1）相同點(diǎn)：

①強(qiáng)調(diào)的都是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的關(guān)系。

②數(shù)列都由首項(xiàng)、公差或首項(xiàng)、公比確定。

（2）不同點(diǎn)：

①等差數(shù)列強(qiáng)調(diào)的是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差，等比數(shù)列強(qiáng)調(diào)的是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比；

②等差數(shù)列中的首項(xiàng)和公差可以為零，等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都不等于零；

③等差中項(xiàng)唯一，是，等比中項(xiàng)有兩個(gè)，分別為。

（二）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

1. 前 n 項(xiàng)和公式的導(dǎo)出

方法1：設(shè)等比數(shù)列 a₁ , a ₂, a ₃，… ，a _n，… ，它的前n 項(xiàng)和是 S _n＝ a₁＋a ₂＋a ₃＋… ＋a _n。

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可將 S _n寫成 ①

①式兩邊同乘以 q 得：②

①－②，得，由此得時(shí)，

當(dāng)q ＝ 1時(shí)，S _n ＝ n a₁

方法2：由等比數(shù)列的定義知：

當(dāng)q≠1時(shí)，，即，故 ，

當(dāng)q ＝ 1時(shí)，S _n ＝ n a₁

方法3：

＝a₁＋q(S _n－a _n)，當(dāng) q≠1 時(shí)，，當(dāng)q ＝ 1時(shí)，S _n ＝ n a₁

注意問題：

（1）上述證法中，方法1為錯(cuò)位相減法，方法2為合比定理法，方法3為拆項(xiàng)法。各種方法在今后的解題中都經(jīng)常用，要用心體會(huì)。

（2）公比為1與公比不為 1 時(shí)公式不同，若公比為字母，要注意分類討論。

（3）當(dāng)已知a₁,q, n時(shí)，用公式，當(dāng)已知a₁, q , a _n時(shí)，用公式。

（4）等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的一般形式，一般地，如果a _l ，q 是確定的，那么，設(shè)，則上式可寫為

（5）在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：，其中首項(xiàng) a₁和公比 q 為基本量，且“知三求二”。

（6）前 n 項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前 n 項(xiàng)和公式要分類討論，即 q≠1和 q＝1 時(shí)是不同的公式形式，不可忽略 q ＝ 1 的情況。

2. 數(shù)列｛a _n｝為等比數(shù)列，S _n為其前 n 項(xiàng)和，則仍構(gòu)成等比數(shù)列，且有；

3. 若某數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式為，則｛a _n｝為等比數(shù)列；

4. 在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為 2n (n ∈N* ) , 與分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和，則÷＝q。

（三）數(shù)列求和的常用方法

求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和S _n ，通常要掌握以下解法：

①直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意等比數(shù)列要分q≠1和q＝1的討論。

②倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛a _n｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

③錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。

④分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)成等差或等比數(shù)列，這一求和方法稱為分組轉(zhuǎn)化法。

⑤裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差。在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前 n 項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法。

【典型例題】

  例1. 已知為等比數(shù)列，且，求n。

解析1：

解析2：

且

又

點(diǎn)評(píng)：正確運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，公式中的知道其中三個(gè)量，可以求另外一個(gè)量。

  例2. 已知：是公比不等于－1的等比數(shù)列，且對(duì)一切正整數(shù)成立。

求證：也是等比數(shù)列。

解析：證法一：∵成等比數(shù)列，

即構(gòu)成等比數(shù)列。

證法二：∵成等比數(shù)列，

又q≠－1，

∴成等比數(shù)列。

點(diǎn)評(píng)：證明數(shù)列成等比數(shù)列與證明數(shù)列成等差數(shù)列類似，可利用定義，也可考慮利用中項(xiàng)，但應(yīng)注意是a、b、c成等比數(shù)列的必要條件。

例3. 互不相等的三個(gè)數(shù)之積為，這三個(gè)數(shù)適當(dāng)排列后可成為等比數(shù)列，也可排成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)排成的等差數(shù)列。

解析：設(shè)三個(gè)數(shù)為，所以，即，

所以三個(gè)數(shù)字為

（1）若－2為和－2q的等差中項(xiàng)，則

所以與已知矛盾

（2）若－2q為與－2的等差中項(xiàng)，則得＝2q，

，三數(shù)為4，1，－2；

（3）若為－2q與－2的等差中項(xiàng)，

則

所以，所以q＝－2，所以三數(shù)為4，1，－2。

綜合（1）、（2）、（3）可知，這三個(gè)數(shù)排成的等差數(shù)列為4，1，－2。

點(diǎn)評(píng)：若知道等比數(shù)列幾項(xiàng)的積，一般按本題形式設(shè)出…，，a，aq，… 式的對(duì)稱式，也可以按定義來設(shè)定。

  例4. 數(shù)列中，，求前n項(xiàng)和。

解析：         ①

                  ②

②÷①得

都是等比數(shù)列，公比q＝4

（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

綜合以上兩種情況

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是，從已知條件中得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，然后分別求和，再歸納出S_n。

  例5. 在等比數(shù)列中，，且前n項(xiàng)和S_n＝126，求n及公比q。

解析：

是方程的兩根

解方程得

若

由是

∴q＝2，由得

若a₁＝64，a_n＝2

同理可求得，n＝6

綜上所述，n的值為6，公比q＝2或。

點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中五個(gè)基本量，知三可求二，列方程組是求解的常用方法。解本題的關(guān)鍵是利用，進(jìn)而求出 a ₁、a _n，要注意a ₁、a _n是兩組解。

  例6. 求和：

解析：由    ①

得              ②

①－②得

（1）當(dāng)a≠1時(shí)

即

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：本題的解決給我們有兩點(diǎn)啟示：（1）由數(shù)列結(jié)構(gòu)1，2，3，…，n為等差，l，a，a²，…，為等比由此引發(fā)出與課本中等比數(shù)列前n項(xiàng)和推導(dǎo)類似——錯(cuò)位相減。（2）由公比a（含零）可取1引出進(jìn)行分類。

  例7. 若數(shù)列成等比數(shù)列，且a_n>0，前n項(xiàng)和為80，其中最大項(xiàng)為54，前2n項(xiàng)之和為6560，求S₁₀₀。

解析：由        ①

                ②

②÷①得1＋qⁿ＝82，則qⁿ＝81代入①得

           ③

由a₁>0得，是遞增數(shù)列，

故知最大項(xiàng)為a_n＝54。

點(diǎn)評(píng)：本題求解過程事實(shí)上就是將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的方程組的過程，求解過程中始終將視為整體作為一個(gè)變量來處理，簡化了式子結(jié)構(gòu)，便于計(jì)算。

  例8. 求和：

解析：當(dāng)x≠±1時(shí)

當(dāng)x＝±1時(shí)，S_n＝4n。

點(diǎn)評(píng)：某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和。分組轉(zhuǎn)化法是通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析研究，將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)能求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和的一種求和方法。

  例9. 已知等比數(shù)列中前10項(xiàng)的和S₁₀＝10，前20項(xiàng)的和S₂₀＝30，求S₃₀。

解析：解法一  設(shè)公比為q，則

所以

       ＝10×（1＋2＋4）＝70

解法二  因?yàn)?/span>S₁₀，S₂₀－S₁₀，S₃₀－S₂₀仍成等比數(shù)列

又因?yàn)?/span>S₁₀＝10，S₂₀＝30

所以S₃₀－30

即S₃₀＝70

點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列｛a_n｝，若平均分成若干組，每組的和仍為等比數(shù)列。

例10. （2001·全國·21）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年將比上年增加。

（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為a_n萬元，旅游業(yè)總收入為b_n萬元，寫出a_n、b_n的表達(dá)式；

（2）至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

解析：（1）第一年投入為 800 萬元，第二年投入為萬元，…，第n年投入為萬元。所以 n 年內(nèi)總投入為：

第一年旅游業(yè)收入為400萬元，第二年旅游業(yè)收入為萬元，…，第n年旅游收入為萬元，所以n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為：

（2）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此：

，即

化簡得：

設(shè)，則，解得：

∴x>1（舍去），即，由此得n≥5。

故：至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入。

點(diǎn)評(píng)：解等比數(shù)列模型的求和應(yīng)用題，一是直接運(yùn)用公式求和；二是由特例入手，歸納總結(jié)一般情形，進(jìn)而建立等比數(shù)列求和的模型，再求其和；三是尋找遞推公式，把它轉(zhuǎn)化為遞推數(shù)列的問題。

【模擬試題】

1. 是成等比數(shù)列的（    ）

A. 充分但不必要條件                                     B. 必要但不充分條件

C. 充要條件                                            D. 既不充分又不必要條件

2. 等比數(shù)列中，，則（    ）

A. 128                 B. 36                    C. 20           D. 10

3. 設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且，則等于（    ）

A.                         B.                  C.                              D.

4. 等比數(shù)列中，公比q，它的前n項(xiàng)和為M,數(shù)列前n項(xiàng)和為N，則的值為（    ）

A. 2                 B.        C.                 D. 2

5. 如果數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么這個(gè)數(shù)列（    ）

A. 是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列               B. 是等比數(shù)列不是等差數(shù)列

C. 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列               D. 既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列

6. 在等比數(shù)列中，對(duì)于，,則的值等于（    ）

A.         B.      C.         D.  (4ⁿ－1)

7. 已知是等比數(shù)列，且，則＝          。

8. 設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公比為2，        ，k ＝        。

9. 設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比q＝        。

10. 已知下列命題：

①若為等比數(shù)列，m、n、p、q均為正整數(shù)，m＋n＝p＋q，則；

②的等比中項(xiàng)；

③常數(shù)數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；

④等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)作自變量，各項(xiàng)對(duì)應(yīng)值視為函數(shù)值，則等比數(shù)列的圖象是分布在指數(shù)函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)。

其中正確的命題序號(hào)有          。

11. 等比數(shù)列中，，求項(xiàng)數(shù)n和公比的值。

12. 若數(shù)列前n項(xiàng)和可表示為，則是否可能成為等比數(shù)列？若可能，求出a值；若不可能，說明理由。

13. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，又有數(shù)列，它滿足關(guān)系，對(duì)n∈N_＋, 有。

求證：是等比數(shù)列，并寫出它的通項(xiàng)公式。

14. 有四個(gè)正數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其最后一個(gè)數(shù)為25，求此四個(gè)數(shù)