loga1?0，logaa?1，logex?lnx，，，a0?1，lg2?lg5?1，m

aab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，alogaN?N，logab?logcb，

a?，a

m?mlogca

1n

log34?log59的值為________(答：8)；（2）()logab。如（1）log225?

2m

1

的值為________(答：)

64logambn?

15. 指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較：（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。

16. 函數(shù)的應(yīng)用。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題――認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建模――通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；③解模――求解所得的數(shù)學(xué)問題；④回歸――將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去。（2）常見的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立

b

y?ax?型。

x

17. 抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

（1）借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù) ：

①正比例函數(shù)型：f(x)?kx(k?0) ---------------f(x?y)?f(x)?f(y)；

f(x)

； f(y)

f(x)x

③指數(shù)函數(shù)型：f(x)?a ------------f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?；

f(y)

x

④對(duì)數(shù)函數(shù)型：f(x)?logax -----f(xy)?f(x)?f(y)，f()?f(x)?f(y)；

y

f(x)?f(y)

⑤三角函數(shù)型：f(x)?tanx ----- f(x?y)?。如已知f(x)是定義在

1?f(x)f(y)

T

R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則f(?)?____（答：0）

2

②冪函數(shù)型：f(x)?x --------------f(xy)?f(x)f(y)，f()?

2

xy

（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究：如（1）設(shè)函數(shù)f(x)(x?N)表示x除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的x,y?N，都有 A、f(x?3)?f(x) B、f(x?y)?f(x)?f(y) C、f(3x)?3f(x) D、f(xy)?f(x)f(y)（答：A）；（2）設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，如果

3

，f(2)?lg15，求f(2001)（答：1）；（3）如設(shè)f(x)是定義在R上的奇函2

數(shù)，且f(x?2)??f(x)，證明：直線x?1是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；（4）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(?x)??f(x?4)，且當(dāng)x?2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增。如果x1?x2?4，且(x1?2)(x2?2)?0，則f(x1)?f(x2)的值的符號(hào)是____（答：負(fù)數(shù)）

（3）利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。如（1）若x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)

則f(x)的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；（2）若x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x) ?f(y)，f(1)?lg

；（3）已?f(y)，則f(x)的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）

知f(x)是定義在(?3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0?x?3時(shí)，f(x)的圖像如右圖所示，那么不等式f(x)?cosx?0的解集是_____________（答：(?

；（4）設(shè)f(x),?1)?(0,1)?(,3)）

22

的定義域?yàn)镽?，對(duì)任意x,y?R，都有

x1f(?)f(?x)f，且(yx)?1時(shí)，f(x)?0，又f(?1，y2

①求證f(x)為減函數(shù)；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：?0,1???4,5?）．

高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪？

――概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

三、數(shù) 列

1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）

n

(n?N*)，2

n?156

1an

則在數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為__（答：）；（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an?，其中a,b均

25bn?1

an?an?1）為正數(shù)，則an與an?1的大小關(guān)系為___（答：；（3）已知數(shù)列{an}中，an?n2??n，

且{an}是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)?的取值范圍（答：???3）；（4）一給定函數(shù)y?f(x)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意a1?(0,1)，由關(guān)系式an?1?f(an)得到的數(shù)列{an}滿足

的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知an?

an?1?an(n?N*)，則該函數(shù)的圖象是

（）（答：A）

A B C D

2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法an?1?an?d(d為常數(shù)）或an?1?an?an?an?1(n?2)。如設(shè){an}是等差數(shù)列，求證：以bn=

a1?a2???an

n?N*為通項(xiàng)公式的數(shù)列{bn}為等

n

差數(shù)列。

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如(1)等差數(shù)列{an}中，

a10?30，a20?50，則通項(xiàng)an?2n?10）；（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，

8

d?3） 3

n(a1?an)n(n?1)

（3）等差數(shù)列的前n和：Sn?，Sn?na1?d。如（1）數(shù)列 {an}

22

1315*

中，an?an?1?(n?2,n?N)，an?，前n項(xiàng)和Sn??，則a1＝＿，n＝＿（答：

222

從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______（答：

a1??3，n?10）；（2）已知數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和Sn?12n?n2，求數(shù)列{|an|}的前n

2*

12n?n(n?6,n?N)

項(xiàng)和Tn（答：Tn??2）. *

n?12n?72(n?6,n?N)

a?b

。 2

提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、d、n、an及

（4）等差中項(xiàng)：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A?

Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，

即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，

a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差為2d）

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?

n(n?1)dd

d?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次222

函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)m?n?p?q時(shí),則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有

am?an?2ap.如（1）等差數(shù)列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，則n＝____

（答：27）；（2）在等差數(shù)列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n項(xiàng)和，則A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，

S21,S22?都大于0 （答：B）

(4) 若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常數(shù))、

a{ap?nq}(p,q?N*)、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差數(shù)列，而{an}成等比數(shù)列；若{an}

是等比數(shù)列，且an?0，則{lgan}是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225）

（5）在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇?nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，

SS奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（這里a中即an）；S奇:

偶

k()1:?k

。如（1）在等

差數(shù)列中，S11＝22，則a6＝______（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.

（6）若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

An

f(n)，則n

an(2n?1)anA2n?1

f(2n?1).如設(shè){an}與{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分nn2n?1

aS6n?23n?1

別為Sn和Tn，若n?，那么n?___________（答：）

bnTn4n?38n?7

(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增

等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組

an?0??an?0?確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于?或??????an?1?0??an?1?0?

n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。上述兩種

方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列{an}中，a1?25，S9?S17，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1?0,a2003?a2004?0，

a2003?a2004?0，則使前n項(xiàng)和Sn?0成立的最大正整數(shù)n是4006）

(8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究an?bm.

4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法

an?1aa

，其中q?0,an?0或n?1?n ?q(q為常數(shù)）

ananan?1

(n?2)。如（1）一個(gè)等比數(shù)列{an}共有2n?1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，

則an?1為____）；（2）數(shù)列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求證：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列。

（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：an?a1qn?1或an?amqn?m。如設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1?an?66，

5

6

1

或2） 2

a1(1?qn)

（3）等比數(shù)列的前n和：當(dāng)q?1時(shí)，Sn?na1；當(dāng)q?1時(shí)，Sn?

1?q

10n

a1?anqk

。如（1）等比數(shù)列中，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）（；2）(?Cn)?q＝2，?1?qn?1k?0a2an?1?128，前n項(xiàng)和Sn＝126，求n和公比q. （答：n?6，q?

的值為__________（答：2046）；

特別提醒：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對(duì)q分q?1和q?1兩種情形討論求解。

（4）等比中項(xiàng)：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)。提醒：不是任

何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)a,b(a?b)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為______（答：A＞B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、q、n、an及

Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，

即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為?，

aaaa32

,,aq,aq?（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為?，?，,,a,aq,aqq23

qqqq

因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為q。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)m?n?p?q時(shí)，則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有

2

am?an?ap2.如（1）在等比數(shù)列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整數(shù)，則

a10=___（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5?a6?9，則

10）。 logga2???lo3ag103a1?lo3

(2) 若{an}是等比數(shù)列，則{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比數(shù)列；若

*