（題圖：http://www.）

數(shù)學(xué)啟蒙看似挺簡單，數(shù)幾個(gè)數(shù)加加減減而已，不管是數(shù)數(shù)還是幾何還是時(shí)間金錢等概念，都是最最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)。可那是因?yàn)槲覀兇笕司哂辛顺橄笏季S能力，覺得懂起來理所應(yīng)當(dāng)。如果娃長到一定年齡（6歲左右）也會(huì)有抽象思維能力可能確實(shí)有的概念不用教。但3-6歲啟蒙和6歲才開始懂，是不一樣的。說句令人焦慮的話，3-6歲啟蒙就是在其原有預(yù)裝系統(tǒng)上多預(yù)裝了許多程序，到了一定的時(shí)候，會(huì)自動(dòng)深度學(xué)習(xí)，開發(fā)出更多能力。而沒有加裝系統(tǒng)的，可能到了高年級，就喪失了擴(kuò)展能力，也就是沒有擁有數(shù)學(xué)腦，誤認(rèn)為自己天生不擅長數(shù)學(xué)了（并不是否認(rèn)天賦，是強(qiáng)調(diào)適宜開發(fā)能得到更加優(yōu)化的結(jié)果）。而英語啟蒙，并不需要這樣的焦慮，即使早期沒有啟蒙，頂多就是長大了再學(xué)，學(xué)好并不難，只看是否用合適的方法去刻意練習(xí)了，原則上講，沒有有意愿卻學(xué)不會(huì)英語的人。但數(shù)學(xué)卻有，這跟早期啟蒙是有一定的關(guān)聯(lián)的。

這就是為什么數(shù)學(xué)啟蒙其實(shí)挺難。我們不知道哪一刻該啟動(dòng)哪個(gè)升級按鍵幫助娃進(jìn)階，拔苗助長基本功不扎實(shí)、不教對于求知若渴的她又過意不去。搞明白他們怎么學(xué)，家長怎么教，真的比英語啟蒙更加需要技術(shù)。

以下就是我綜合了《孩子天生會(huì)數(shù)學(xué)》、《幼兒數(shù)學(xué)新論》、《幼兒數(shù)學(xué)核心概念 教什么？ 怎么教？》、《媽媽教的數(shù)學(xué)》、以及著名的數(shù)理啟蒙網(wǎng)站IXL.com的各種知識(shí)點(diǎn)得來的FAQ。

可能文章會(huì)枯燥，但真心有用。沒辦法一帖終結(jié)，我自己也是邊學(xué)邊賣。

因?yàn)橹匾獑h。

大量的證據(jù)表明，美國的早期幼兒教育工作者在語言教學(xué)上花的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過數(shù)學(xué)。比起幫助幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，絕大部分人覺得自己更有信心培養(yǎng)他們成為終身閱讀者。

P3. 《幼兒數(shù)學(xué)核心概念 教什么？ 怎么教？》

在家庭教育中，對于數(shù)學(xué)啟蒙的自信心，大多數(shù)人來講，都不如閱讀啟蒙的自信那么足。市面上的培養(yǎng)終身閱讀的項(xiàng)目和繪本館何其多就可見一斑。閱讀的作用非常重要，但不是早期教育唯一重要的事；讀書是可以促進(jìn)閱讀理解能力的方法之一，也不是唯一方法，數(shù)學(xué)一樣是增進(jìn)理解能力的重要方法。而閱讀計(jì)劃在很多家庭實(shí)施的很好，也是因?yàn)楦子谕菩校灰扑瓦m齡的書，大部分小孩都可以自主推進(jìn)。

很多家長有數(shù)學(xué)焦慮，甚至老師也有這樣的焦慮。那就是設(shè)計(jì)了很多的數(shù)學(xué)活動(dòng)，每天進(jìn)行。然而無法確定孩子是否理解了本階段的知識(shí)點(diǎn)，什么時(shí)候該教點(diǎn)別的了。憑而兒童的自我觀察和體悟，是無法完成“進(jìn)階”任務(wù)的，需要成年人幫助理解和擴(kuò)展。

因此成年人懂得孩子能理解到什么知識(shí)點(diǎn)，以及在哪個(gè)時(shí)刻去給予新的知識(shí)挑戰(zhàn)兒童現(xiàn)有理解，是個(gè)技術(shù)活。簡而言之，閱讀是一個(gè)趨于線性的過程，而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是交織的多角度結(jié)合的過程。這也是為什么我認(rèn)為數(shù)學(xué)啟蒙最好要兩三歲就開始謹(jǐn)慎的、帶步驟的教。

在認(rèn)知心理學(xué)上來講，對于已經(jīng)擁有了抽象思維的孩子（大概5、6歲），沒有經(jīng)歷過建構(gòu)階段就是那種實(shí)物認(rèn)知的啟蒙（3-6歲），在學(xué)習(xí)步驟上是有小缺失的。他們可能運(yùn)算能力一級棒，理解能力卻不那么好；或者不那么嫻熟地把知識(shí)應(yīng)用到生活中去解決問題；更不用說厭學(xué)了，對于沒有用的、無法產(chǎn)生成就感的知識(shí)（因?yàn)闊o法應(yīng)用到生活中去而產(chǎn)生的無用感），任誰都得厭學(xué)。這些現(xiàn)象，都或多或少跟早期的教法有關(guān)，因此家長和老師都需要謹(jǐn)慎的、帶步驟的去教。

孩子的學(xué)習(xí)機(jī)理是怎么樣的呢？

美國認(rèn)知心理學(xué)家布魯納（Jerome Bruner, 1915-2016）認(rèn)為理解概念有三個(gè)層次，第一個(gè)是“操作層次”（Enactive Level），學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)了操作活動(dòng)與直接經(jīng)驗(yàn)；第二個(gè)層次是“視像層次”（Iconic Level），學(xué)習(xí)涉及了視覺媒體的運(yùn)用；最后一個(gè)層次是以抽象符號(hào)表達(dá)實(shí)體的“符號(hào)層次”（Symbolic Level）。

P27. 《幼兒數(shù)學(xué)新論 教材教法》

Bruner proposed three modes of representation: enactive representation (action-based), iconic representation (image-based), and symbolic representation (language-based). 

https://en./wiki/Jerome_Bruner

以上是繼承并優(yōu)化了皮亞杰認(rèn)知理論的著名認(rèn)知心理學(xué)家Jerome Bruner對于孩童學(xué)習(xí)理念概念的研究結(jié)論。白話來表達(dá)就是：孩子通過用積木搭建得知兩個(gè)積木再搭上四個(gè)積木一起數(shù)一下啊原來總共是六個(gè)積木（操作層次Action-based）；孩子看圖上有兩個(gè)積木和四個(gè)積木的圖片得知圖片上有六個(gè)積木（視像層次Image-based）；孩子在心里自己琢磨到或者用2+4=6這樣的等式算得兩個(gè)加四個(gè)是六個(gè)（符號(hào)層次Language-based）。

所以我們在教孩子的時(shí)候，任何一個(gè)核心概念都可以以這個(gè)次序來遞進(jìn)深入。大人學(xué)習(xí)一些新概念其實(shí)也是這樣，這是個(gè)很自然的認(rèn)知順序，但是大人因?yàn)閾碛辛撕芏喑橄笏季S的經(jīng)驗(yàn)，所以可能不是處處用到，覺得“嗨，這事兒想象一下就行了，太簡單了”。可對于孩子，這個(gè)三步走的步驟就尤其重要。

我們其實(shí)在生活中，也確實(shí)經(jīng)常無意識(shí)的按照這個(gè)順序來幫助孩子理解了，比如算術(shù)算不過的時(shí)候就教他們拿手指頭數(shù)。可因?yàn)槲覀內(nèi)绻安恢肋@個(gè)三步驟，就可能會(huì)焦慮于孩子為啥學(xué)不會(huì)，咋這么笨，或者可能會(huì)搞反順序（先教了等式，學(xué)不會(huì)才讓他們數(shù)指頭輔助）。而知道這個(gè)三步驟了，就游刃有余的多了，相信會(huì)懂得尊重他們的學(xué)習(xí)規(guī)律，而且刻意為之來幫助他們。

輔助閱讀：布魯納和皮亞杰思想的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，我也不是心理專業(yè)不展開說了，但覺得對于輔助理解孩子的認(rèn)知原理是有幫助的。上一篇也寫了一點(diǎn)，具體在《幼兒數(shù)學(xué)新論》里有很多闡述，那本書是90年代寫的，可見思潮已經(jīng)都更新精進(jìn)了多少輪了。所以一些培訓(xùn)班用皮亞杰的一些理論來壓制人的時(shí)候，讀讀認(rèn)知心理學(xué)的發(fā)展也能心中有數(shù)。

McLeod, S. A. (2008). Bruner. Retrieved from www.simplypsychology.org/bruner.html

另外一個(gè)概念點(diǎn)是（如上一篇所說），學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（學(xué)習(xí)其他新的概念也是）分為兩大派：

A. 行為主義觀（Behaviorist Theories）的吸收論，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是一組事實(shí)facts與技能，因此將這些知識(shí)通過task analysis一點(diǎn)點(diǎn)傳授給孩子就可以。學(xué)習(xí)者是沒有預(yù)裝系統(tǒng)的，只需要一點(diǎn)點(diǎn)灌就可以。吸收論的代表人物有Thorndike，Skinner，以及很著名的Gagne（加涅）和Baroody，這些都是大人物，相信很多人上世紀(jì)讀加涅的《學(xué)習(xí)的革命》。吸收論的方法論在很多幼教領(lǐng)域是被抨擊的，我覺得不盡然，只是在啟蒙階段不那么適合而已。據(jù)我淺顯的理解，吸收論更適合已經(jīng)具備了抽象思維的群體使用。

B.認(rèn)知心理學(xué)的社會(huì)建構(gòu)論。如今的幼教領(lǐng)域大多都是用了社會(huì)建構(gòu)論來傳授知識(shí)的（至少我讀的這幾本書是這樣）。皮亞杰的建構(gòu)主義（圖式、階段論）是其基礎(chǔ)，但強(qiáng)調(diào)需要大人輔助。

我一個(gè)心理學(xué)小白的理解就是：

建構(gòu)論認(rèn)為小孩最初來到世界是預(yù)裝系統(tǒng)的且通過正常的不加過多干預(yù)的外在刺激會(huì)自己讓自己系統(tǒng)升級，簡直是阿爾法狗一樣可以自我深度學(xué)習(xí)的存在。

社會(huì)建構(gòu)論認(rèn)為小孩最初也是預(yù)裝系統(tǒng)的，也有一定的升級能力，但有一些程序自己是沒辦法升級的，需要我們給他加應(yīng)用傍身以及手動(dòng)升級，而且我們可以用合適的辦法加速（speed up）其升級。

吸收論認(rèn)為小孩生來是個(gè)裸機(jī)。

用什么辦法升級小孩子的認(rèn)識(shí)世界的能力，其實(shí)看家長的選擇了，用啥辦法，都可以長成正常人類，哪個(gè)更好使其實(shí)是由家長的認(rèn)識(shí)世界的觀點(diǎn)來選擇的。對于我，肯定是隨大流跟隨社會(huì)建構(gòu)論的步伐，認(rèn)為我這個(gè)“鷹架”作用舉足輕重（傲嬌臉）。

學(xué)數(shù)學(xué)核心概念。

成為核心概念需要有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：

1. 最核心并系統(tǒng)化的內(nèi)容。

2. 與幼兒思維保持一致。

3. 影響未來學(xué)習(xí)。

克萊蒙和沙拉曼（Clements and Sarama），2009，美國 《幼兒數(shù)學(xué)核心概念 教什么？ 怎么教？》

第一二條挺容易理解，關(guān)于第三條：

影響未來學(xué)習(xí)——是指如果沒學(xué)會(huì)，可能就無法啟動(dòng)未來升級的那些概念。言外之意是那些點(diǎn)狀的、碎片型的冷知識(shí)就不要學(xué)了，要學(xué)可擴(kuò)充、可升級、可持續(xù)的知識(shí)點(diǎn)。

所以孩子要學(xué)什么？

數(shù)學(xué)核心概念。

自己懂→識(shí)別孩子是否懂了→融會(huì)貫通

首先，教育者（老師和家長）要把核心概念重新理解一遍。

我們家長如果自己理解了核心點(diǎn)，那到處都是教授好技巧，因?yàn)槲覀冸S時(shí)可以戴上一副“數(shù)學(xué)透鏡”來幫助孩子看世界。各種不同的學(xué)習(xí)技能都不再是碎片，讓人覺得東一頭西一頭的。

孩子需要利用有意義的場景，而非與生活毫無關(guān)聯(lián)的抽象的活動(dòng)去掌握概念的，如果我們理解不到核心概念，那生活場景對于我們大人來講就是習(xí)以為常的、已經(jīng)鈍化了的，根本發(fā)現(xiàn)不了其中的“數(shù)學(xué)樂趣”，又何談傳授給孩子呢？

所以大人先學(xué)一遍，讓知識(shí)成體系。別以為很簡單，知識(shí)點(diǎn)是簡單的，串成知識(shí)體系深刻理解是需要花點(diǎn)時(shí)間的。比如，你還能一下子說出“基數(shù)”和“序數(shù)”和“參照數(shù)”和“命名數(shù)”的區(qū)別么？

其次，不要局限于操作。就是兒童學(xué)習(xí)的第一層次那個(gè)操作，擺積木啥的。人家孩子自己都會(huì)，可是孩子一般不懂得自己升級把操作抽象成更高級的表達(dá)方法，所以我們要搭建橋梁，當(dāng)“鷹架”，告訴他們，六塊積木可以畫成六個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，可以寫成“6”和“六”。要無孔不入的、不動(dòng)聲色的告訴他們哦。但是，還要要基于操作，不提倡一開始就教他們寫“6”，然后蓋出六個(gè)積木來表達(dá)。人家是先充分滴認(rèn)識(shí)了六塊積木是個(gè)啥數(shù)量，才認(rèn)識(shí)“6”的。

再次，理解他們真正學(xué)會(huì)了沒，且?guī)椭麄儽磉_(dá)。《怎么教？》那本書里術(shù)語是“識(shí)別接受性理解”。

翻譯出來就是，首先娃其實(shí)能理解很多事物了但他表達(dá)不出來，其次這些理解可能只是“接受性理解”不算真正學(xué)懂了。比如他們能指出六塊積木的那一堆兒（接受性理解），但你讓他們自己數(shù)六個(gè)積木摞起來（產(chǎn)出性理解）他們可能就懵了。但當(dāng)我們看到他們指認(rèn)出六塊積木的時(shí)候，可能就誤以為他們懂得六塊積木的數(shù)量是什么概念了，誤以為他們能靈活應(yīng)用了。其實(shí)是我們沒理解人家，教之過而非學(xué)之錯(cuò)呀。

所以我們要識(shí)別他們理解到哪里了（不只是數(shù)學(xué)概念有這個(gè)問題哦），用恰到好處的方法幫他們表達(dá)出來，不局限于語言也可能是手勢之類的非語言表達(dá)。這樣來給他們積極的反饋，給予確認(rèn)、強(qiáng)化、讓他們在腦海里澄清自己的想表達(dá)的想法。因?yàn)樘橄罄?，要不停教他們表達(dá)和認(rèn)可，他們才能在腦子里頓悟這些道理，才能從接受性理解進(jìn)階為產(chǎn)出性理解。這個(gè)點(diǎn)我讀了好幾遍書才淺顯理解了，但我覺得很重要，是知道孩子對于一個(gè)知識(shí)概念是否真正學(xué)懂了的關(guān)鍵。

最后，多角度齊努力。

前面我們不是說有數(shù)學(xué)透鏡了嘛，就應(yīng)該懂得怎么多角度呈現(xiàn)。哦對同理我們也會(huì)有語言透鏡、藝術(shù)透鏡、STEM透鏡等等多副眼鏡齊掃描呢。累不累？內(nèi)化了就不會(huì)累，因?yàn)槲覀兛词澜绲慕嵌纫捕嗔似饋砟?。?shù)學(xué)家的孩子是不是會(huì)數(shù)學(xué)好的概率更高？因?yàn)閿?shù)學(xué)家日常生活中就有數(shù)學(xué)腦。建筑師的孩子可能建構(gòu)能力比較好，因?yàn)楸磉_(dá)不出的事情建筑師就喜歡給你畫出來或者“蓋”出來。甜馨語言能力好得益于父母的職業(yè)。這都是因?yàn)楦改缸詭V鏡，內(nèi)化在家庭的方方面面了。

孩子理解一個(gè)新概念，不是在A場合懂了就是會(huì)了，需要ABCDEFG多場合不同的活動(dòng)來加強(qiáng)。而且這些場合最好是日常生活常見的，用觸手可及的材料；這些活動(dòng)最好是多種多樣的，不僅是純數(shù)學(xué)活動(dòng)，唱歌跳舞玩游戲戶內(nèi)戶外去旅游，全方位刺激。

以后某篇再見。\(^o^)/~

沒辦法一貼終結(jié)（人家都是一厚本書，想一次說完真是開玩笑）。

簡單說，我綜合了四本書和兩個(gè)網(wǎng)站，核心概念點(diǎn)大同小異。

都是先分類，再數(shù)數(shù)，再寫數(shù)，再加減，同時(shí)適時(shí)加塞進(jìn)去比較大小長短多少、排列組合順序、形狀、時(shí)間、貨幣等知識(shí)點(diǎn)。有些書主張先教數(shù)數(shù)，但據(jù)我理解實(shí)際最好先教分類（sorting），這不影響，大差不差。

貼兩張《核心概念》書中的圖大家感受下。

對于這幾本書：《幼兒數(shù)學(xué)核心概念》這本可以作為字典，隨時(shí)查閱；《孩子天生會(huì)數(shù)學(xué)》里的小游戲設(shè)計(jì)我最喜歡，貼近生活且循序漸進(jìn)，且教我們怎么識(shí)別“接受性理解”，缺點(diǎn)是概念點(diǎn)涵蓋不太全面，對于幾何、時(shí)間、貨幣、測量之類的活動(dòng)設(shè)計(jì)的少；《幼兒數(shù)學(xué)新論》是理論占優(yōu)且太老舊了；《媽媽教的數(shù)學(xué)》是孫老師的自我經(jīng)歷寫成的，方法論很好，更傾向于教家長如何融會(huì)貫通。綜上如果只買一本用來三四歲啟蒙之用，我覺得《孩子天生會(huì)數(shù)學(xué)》是比較好的。

還有一個(gè)網(wǎng)站www.ixl.com ，是一個(gè)美國K12教育的題庫網(wǎng)（也有新加坡站英國站等十個(gè)國家分類，內(nèi)容大同小異），數(shù)學(xué)見長，也有些英語題目，需要年費(fèi)。但可以免費(fèi)看預(yù)覽，對于理解知識(shí)體系也很有幫助。

（不完整的頁面截圖↓）

概念點(diǎn)理解之后，我們?nèi)interest扒活動(dòng)設(shè)計(jì)圖也才會(huì)游刃有余不再抓瞎了嘛。

這個(gè)章節(jié)咱們慢慢聊，我覺得需要很多精力去內(nèi)化。我也是邊走邊實(shí)踐，同齡的寶爸寶媽一起刷體會(huì)吧。

最后討論個(gè)問題，我家娃最近開始對于同音字，多音字產(chǎn)生了強(qiáng)烈的困惑感。比如“陌生人和默默地走開了的mo有什么區(qū)別？”“海豹和抱抱我的bao有什么區(qū)別？”“我要去旅行（hang）了?！敝悾郧皼]考慮過給她認(rèn)字，現(xiàn)在有點(diǎn)不教認(rèn)字難以溝通了的感覺。大家都怎么想這個(gè)問題的？以及中文啟蒙的資源推給我啊，我得琢磨琢磨。