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二、彩票的邏輯斯蒂映射（略，同《彩票的混沌》全文） 三、彩票邏輯斯蒂映射的物理意義 （一）、彩票的自治動力系統(tǒng)方程，反映了彩票動力學系統(tǒng)規(guī)律的不變性（略） （二）、彩票的迭代方程，描述了彩票系統(tǒng)運動前后時刻的動力因素（略） （三）、彩票混沌運動系統(tǒng)受到控制參數(shù)μ的調(diào)節(jié) 彩票邏輯斯蒂映射中以系數(shù)出現(xiàn)的常數(shù)μ，是彩票系統(tǒng)運動的控制參數(shù)，控制參數(shù)μ與漲落密度Cn無關，但對彩票系統(tǒng)的變化起著調(diào)節(jié)作用。 對于彩票的邏輯斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn），如果用ζ表爾不動點和周期點的值, 那么當0≤μ≤1，在［0、1］區(qū)間內(nèi)不動點ζ滿足ζ＝f（ζ）＝0。這個不動點,在數(shù)學上指式（4）將映射為自身。在物理上, 指這個平衡態(tài)是穩(wěn)定的。在彩票中, 就表示彩票未開獎，所有彩球都好似“沉睡”“死亡一樣”； 當1﹤μ≤3時,ζ＝0仍是一個（貪乏的）不動點, 但ζ＝1－ 的另一個不動點出現(xiàn)了。即 μζ（1－ζ）＝μ（1－ ）﹝1－（1－ ）﹞＝1－ ＝ζ 而且發(fā)現(xiàn), 當μ＞1時,ζ＝0的不動點都是不穩(wěn)定的, 當μ＝2時,ζ＝1－ 這個不動點是穩(wěn)定的。預測就是要善于從不穩(wěn)定的不動點中準確地掌握控制參數(shù)μ這個閥門, 捕捉到穩(wěn)定的（那怕是暫時的）不動點。例如當μ=2時，方程Cn+1=μCn（1-Cn），具有精確解《注2》 Cn= 當3﹤ ﹤μ∞（μ∞﹦3.5699…）出現(xiàn)周期為2、4、8、16、32…的倍周期分岔現(xiàn)象。例如μ=3.2 則Cn+1=3.2Cn（1-Cn）從Cn=0.4開始，彩票密度C具有周期2的特點，C總是在0.7905～0.5130兩個軌跡點交替變化。當μ=3.5 則 Cn+1=3.5Cn（1-Cn）也從 Cn=0.4開始，彩票密度具有周期4的特點,軌跡點分別趨向于0.875，0.385，0.827，0.501。 當μ∞≤μ≤4時，進入混沌區(qū)。例如，當μ=3.8，則Cn+1=3.8Cn（1-Cn），從Cn=0. 4開始，迭代后出現(xiàn)雜亂無章的軌跡，即進入混沌區(qū)。當μ＞4，C很快趨于-∞， 無彩票意義。 混沌理論指出，混沌運動狀態(tài)包含著無穹多不穩(wěn)定的2n周期軌道, 其中還包含一些超周期軌道。所謂超周期, 就是超穩(wěn)定點相對應的周期?！俺敝冈擖c離不穩(wěn)定的兩端點都很遠, 這些超穩(wěn)定軌道的超穩(wěn)定點的穩(wěn)定性比其不穩(wěn)定軌道相對要大些, 即是說系統(tǒng)運動停留在這些超穩(wěn)定點的時間要長一些。在邏輯斯蒂映射中, 當控制參數(shù)μn 的n﹦0、1、2、3、4、5、6、7、8、∞時,μn取2、 3.236068、3.498562、3.554641、3.566667、3.569244、3.569793、3.569913、3.569939、3.5669946各值便存在超周期軌跡點〈注4〉。 因此, 彩票的混沌預測應充分利用彩票作為邏輯斯蒂映射存在的諸多超穩(wěn)定點, 如果 再考慮μ當1＜μ≤3時彩票運動出現(xiàn)的ζ＝1－ 這個穩(wěn)定的不動點和3＜μ＜μ∞ 的一些周期點。這些穩(wěn)定、超穩(wěn)定點正是彩票預測所需要的軌跡點。計算實驗表明，當4舍5入時，這些μ的最佳控制調(diào)節(jié)點可調(diào)整、簡化為8個：1.2、 2、 2.7、 3.236、 3.499、3.555、3.567、3.569。 （四）、彩票的邏輯斯蒂映射, 揭示了彩票系統(tǒng)存在蝴蝶效應 蝴蝶效應, 就是對初始條件的敏感依賴性。這是任何非線性復雜系統(tǒng)具有混沌性質(zhì)的最重要的標準。劉秉正、彭建華教授在《非線性動力學》一書中詳細敘述了邏輯斯蒂映射的這一特性。對于一維邏輯斯蒂映射Xn＋1﹦F（x）﹦μXn（1－Xn），當取大于μ∞ 的兩個極靠近的初始點x0 和x0′。如, 取μ﹦3.6,x0﹦0.800和x0′﹦0.801分別代入公式進行迭代計算（如下表）。“從表可看出, 迭代次數(shù)n較小時,x0 和x0′ 相差很小, 即迭代結果是規(guī)則的。但當n大于某一臨界值nc（表中nc﹦27, 其值不僅與函數(shù)F和μ有關, 也與初值x0 和x0′ 有關）時,x0 和x0′ 差別就極明顯了, 迭代結果變得不規(guī)則。離散映射中這種迭代的臨界次數(shù)nc, 相當于微分系統(tǒng)中的臨界時間tc, …這種蝴蝶效應也清楚地說明迭代結果是混沌的而不是嗓聲”《注4》 因此,彩票的邏輯斯蒂映射,揭示了彩票系統(tǒng)具有對初始條件的敏感依賴性,存在明顯的蝴蝶效應。 邏輯斯蒂映射的蝴蝶效應 n x0（x0﹦0.800） x0′（x0′﹦0.801） n x0（x0﹦0.800） x0（x0′﹦0.801） 1 0.5760000 0.5738364 24 0.8505915 0.8704848 2 0.8792064 0.8803735 25 0.4575081 0.4058677 3 0.3823290 0.3791377 26 0.8435000 0.8681008 4 0.8501527 0.8474122 27 0.3425680 0.4122066 5 0.4586152 0.4654971 28 0.8107746 0.8722523 6 0.8938342 0.8957143 29 0.5523090 0.4011416 …………
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