這樣的對白只是動人的冷浪漫嗎？圖片來源：xkcd

（文/Rhett Allain）一個旋轉(zhuǎn)的人能夠讓地球自轉(zhuǎn)慢下來嗎？理論上來說，這是可以的。

這得說起角動量

物理導(dǎo)論課上有三個很重要的原理：功能原理、動量原理和角動量原理。我將跳過功能原理，因?yàn)樗谶@里不太重要。你可能熟悉動量原理，基本上，動量定理講的是施加在物體上的合外力會改變該物體的動量。我可以寫下像這樣的公式：

誠然，動量的表達(dá)式不總是這樣的，不過這是個好的起點(diǎn)。那么角動量原理講了什么呢？本質(zhì)上看，它就講了物體有一個叫“角動量”的性質(zhì)……你可以通過對物體施加力矩來改變其角動量。對地球旋轉(zhuǎn)的問題，我們不需考慮力矩（沒有凈力矩），因此我會將力矩形容為一個轉(zhuǎn)動的力。現(xiàn)在我可以寫下角動量原理：

上述等式中，τ代表力矩。那么，下標(biāo)o是什么意思？當(dāng)我們討論旋轉(zhuǎn)問題時，我們必須定下一個點(diǎn)，使得我們可以計(jì)算關(guān)于這個點(diǎn)的力矩和動量，而這個點(diǎn)就用o表示。此外，L是角動量，ω是角速度，I是則轉(zhuǎn)動慣量。不過我喜歡稱之為“轉(zhuǎn)動質(zhì)量”，因?yàn)樗?lián)系了角動量和角速度，就像質(zhì)量聯(lián)系了線動量和線速度一樣。

有一點(diǎn)需要注意，在上面的等式中，I是個標(biāo)量。事實(shí)上，只當(dāng)物體圍繞固定軸旋轉(zhuǎn)時I才是標(biāo)量，而地球肯定不滿足這個條件。但不管怎樣，在這里我就把I當(dāng)標(biāo)量了——相信我吧，這行得通。

現(xiàn)在回來說說線動量：假設(shè)我現(xiàn)在坐在一輛在做勻速直線運(yùn)動（沒有引擎）的火車上，在忽略摩擦力的條件下，如果我在車行駛時往車頭跑，會發(fā)生什么？由于沒有外力施加到這個系統(tǒng)（火車和我），它就會維持恒定的總動量——當(dāng)我往前跑時，我會有一個向前的動量，而唯一能使總動量維持恒定的方法就是火車減速。

對于角動量來說，道理也是一樣的。

角動量的例子

以下是一個展示角動量守恒的快速演示。

作者自己制作的角動量守恒演示。視頻來源：Rhett Allain

這不是最好的演示，但我很快就把它裝好了。讓我們來看看這是怎么工作的：在第一個例子里，大輪和小圓盤都是靜止的，這意味著他們的總角動量為零。而由于沒有力矩施加到這個系統(tǒng)上，總角動量必然保持為零。我可以用圖畫表示出來，不過有些東西你需要先知道：角動量是個矢量，這個矢量和轉(zhuǎn)軸平行。如果你將你右手手指向旋轉(zhuǎn)方向彎曲，那么你的拇指就會指向角動量的方向。

當(dāng)這個小圓盤開始旋轉(zhuǎn)后，大輪必須以相反方向旋轉(zhuǎn)，這樣兩者的角動量矢量相加為0（矢量）。

圖片來源：Rhett Allain

當(dāng)我關(guān)掉小圓盤的開關(guān)，小圓盤會減速，其角動量的減少會使大輪的角動量減少。反之亦然。如果大輪開始旋轉(zhuǎn)而小圓盤也啟動旋轉(zhuǎn)，它會減慢大輪的旋轉(zhuǎn)。

但是如果我將小圓盤翻起90度呢（就像我在視頻里所做的）？在這種情況下，當(dāng)小圓盤角動量增加時，大輪不旋轉(zhuǎn)。為什么？答案在于力矩。這是一張小圓盤以另一個方向旋轉(zhuǎn)的圖：

圖片來源：Rhett Allain

如果可以，平臺會朝相反方向旋轉(zhuǎn)，但它不可以。地面推著平臺并施加一個力矩來抵消角動量的變化。但是如果小圓盤處于其他角度呢？在這種情況下，只有角動量在垂直方向上的分向量會對平臺產(chǎn)生影響。

讓一天過得更慢？

現(xiàn)在我們來回答關(guān)于xkcd 那張漫畫的問題：我可以讓一天變慢嗎？

可以。

但能變慢多少？這才是有趣的部分——如果一個人的角動量增加，地球的角動量也一定改變——地球和人的總角動量是個常量。

我首先得做一些假設(shè)：首先，關(guān)于地球，我將把地球簡化為密度均勻的實(shí)心球體（事實(shí)上它并不是這樣）。其次，我將假設(shè)地球處于一個固定且不擺動的轉(zhuǎn)軸上（事實(shí)上它也并不是這樣的）。噢，地球的角速度大概是1/24 轉(zhuǎn)每小時。我猜我可以忽略地球圍繞太陽旋轉(zhuǎn)的角動量。

是的，假設(shè)的確挺多的。但現(xiàn)在我可以算出實(shí)心球體的轉(zhuǎn)動慣量：

但是那個旋轉(zhuǎn)的人怎么辦呢？讓我們假設(shè)這個人是個圓柱吧：一個有著70kg質(zhì)量和0.15m半徑的圓柱（這個半徑假設(shè)可能太高了，不過這只是個假設(shè)而已）?，F(xiàn)在，這個人能轉(zhuǎn)多快呢？一個花樣溜冰選手最快可以以每分鐘400 轉(zhuǎn)（41.9弧度每秒）的速度旋轉(zhuǎn)。

最后還有一樣?xùn)|西需要考慮：這個旋轉(zhuǎn)的人在地球的什么地方？如果他們直立在赤道上，那么他們的旋轉(zhuǎn)就不會對一天的長度有任何影響。準(zhǔn)確來說，影響還是有的：由于地球是一個力矩為零的系統(tǒng)，它將改變地球的旋轉(zhuǎn)軸。然而，由于我只考慮日子的長度，我將忽略這一點(diǎn)。

對一天長度有影響的只有旋轉(zhuǎn)者的角動量在地球角動量方向上的分向量。因此，如果這個人在新奧爾良（緯度大約是30度）而我將地球的旋轉(zhuǎn)軸定為z軸，那么我可以這樣寫：

其中，θ是緯度。現(xiàn)在我可以寫地球加上人的角動量（只寫z軸的分量）：

因?yàn)闆]有力矩，地球在人旋轉(zhuǎn)之前的角動量，將等于之后地球的新角動量加上人旋轉(zhuǎn)的角動量：

大概就是這樣了。我掌握了要填進(jìn)這個等式中的所有數(shù)值。注意，人的角動量在z軸上的分量必須是正的，這樣才能減少地球的角速度。

現(xiàn)在，準(zhǔn)備好聽壞消息了嗎？

即使我將這個人放到北極點(diǎn)上，即使這個人旋轉(zhuǎn)速度達(dá)到每分鐘40萬轉(zhuǎn)，也基本不會改變地球的角速度——至少從python算出來的結(jié)果看，地球角速度的改變量小于10^-19 弧度每秒。

所以我還是直接說了吧：你不能讓日子過得慢一點(diǎn)。

對不起，活在當(dāng)下吧。

編譯自：Rhett Allain. Can You Slow Down a Day Using Angular Momentum? WIRED

文章題圖：NASA