角動(dòng)量守恒定律

八算八中 2023-09-08 發(fā)布于廣東

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當(dāng)行星繞太陽(yáng)運(yùn)行時(shí)，太陽(yáng)和行星之間的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過相等的面積。自從開普勒闡述了他的第二行星運(yùn)動(dòng)定律以來，這一點(diǎn)就為人所知^[7]。牛頓得出了獨(dú)特的幾何證明，并繼續(xù)證明太陽(yáng)引力的吸引力是所有開普勒定律的原因。牛頓在《原理》中，在他的第一運(yùn)動(dòng)定律的例子中暗示了角動(dòng)量。他對(duì)面積定律的幾何證明間接證明了中心力情況下的角動(dòng)量守恒^[3]。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）、丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）和帕特里克·達(dá)西都（Patrick Darcy）從面速度守恒的角度理解角動(dòng)量，這是他們對(duì)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律分析的結(jié)果。1736 年，歐拉和牛頓一樣，在他的《力學(xué)》中觸及了一些角動(dòng)量方程，但沒有進(jìn)一步發(fā)展它們^[14]。伯努利在 1744 年的一封信中寫到了“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的力矩”，這可能是我們現(xiàn)在理解的第一個(gè)角動(dòng)量概念^[15]。1799 年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)首次意識(shí)到固定平面與旋轉(zhuǎn)相關(guān)——他的不變平面^[16]。路易·波因索（Louis Poinsot）于1803年開始將旋轉(zhuǎn)表示為垂直于旋轉(zhuǎn)的線段，并詳細(xì)闡述了“力矩守恒”^[17]。1852 年，萊昂·?？拢↙eon Foucault）在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中使用陀螺儀來顯示地球的自轉(zhuǎn)^[18]。

威廉·蘭金（William Rankine）在1858 年的《應(yīng)用力學(xué)手冊(cè)》首次定義了現(xiàn)代意義上的角動(dòng)量：一條線，其長(zhǎng)度與角動(dòng)量的大小成正比，其方向垂直于物體和固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面。當(dāng)從線的末端觀察物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的半徑矢量符合右螺旋法則^[19]。

定義

經(jīng)典力學(xué)中的定義

二維軌道角動(dòng)量

角動(dòng)量是一個(gè)矢量（更準(zhǔn)確地說，是偽矢量），表示物體繞特定軸的旋轉(zhuǎn)慣量和旋轉(zhuǎn)速度（以弧度/秒為單位）的乘積。然而，如果粒子的軌跡位于單個(gè)平面內(nèi)，則足以丟棄角動(dòng)量的矢量性質(zhì)，并將其視為標(biāo)量（更準(zhǔn)確地說，偽標(biāo)量）^[20]。角動(dòng)量可以被認(rèn)為是線性動(dòng)量的旋轉(zhuǎn)模擬。因此，正如線性動(dòng)量

與質(zhì)量

和線速度

成正比，

，

角動(dòng)量

與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

和以弧度/秒為單位的角速度

成正比，

^[21]。

與僅取決于物質(zhì)數(shù)量的質(zhì)量不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量還取決于旋轉(zhuǎn)軸的位置和物質(zhì)的分布。與不依賴于原點(diǎn)選擇的線速度不同，軌道角速度始終相對(duì)于固定原點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。因此，嚴(yán)格來說，

應(yīng)該是指相對(duì)于該中心的角動(dòng)量^[22]。

對(duì)于單個(gè)粒子的圓周運(yùn)動(dòng)，我們可以使用

和

將角動(dòng)量化簡(jiǎn)為：

。

如果使用垂直于半徑向量的運(yùn)動(dòng)分量，這一簡(jiǎn)單的分析也適用于非圓周運(yùn)動(dòng)：

其中

是運(yùn)動(dòng)的垂直分量重新排列，代入到原式，得到：

，

其中

是力臂的長(zhǎng)度，是從原點(diǎn)垂直落到粒子路徑上的一條線。術(shù)語(yǔ)動(dòng)量矩定義為力臂長(zhǎng)度與線性動(dòng)量的叉積^[23]。

三維軌道角動(dòng)量

若物體運(yùn)動(dòng)時(shí)有一點(diǎn)固定不動(dòng)，則相對(duì)于該點(diǎn)的總角動(dòng)量為：

，

由于

是一個(gè)相對(duì)于物體的固定矢量，所以，相對(duì)于空間坐標(biāo)系的速度

完全由剛體繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)所引起。因此上式可以寫成：

L=\Sigma m_i\left[ r_i\times(\omega\times r_i) \right]

，

把三重矢積展開，即有：

L=\Sigma m_i\left[\omega r_i^2-r_i(r_i\cdot\omega) \right]

，

再次展開，角動(dòng)量的x分量為：

L_x=\omega_xm_i(r_i^2-x_i^2)-\omega_ym_ix_iy_i-\omega_zm_ix_iz_i

^[24]。

角動(dòng)量的每一個(gè)分量都是角速度的所有分量的線性函數(shù)，角動(dòng)量矢量通過線性變換與角速度矢量相關(guān)聯(lián)。為了強(qiáng)調(diào)其與線性變換式的相似性，我們可以將角動(dòng)量的x分量寫成：

L_x=I_{xx}\omega_x I_{xy}\omega_y I_{xz}\omega_z

，

等九個(gè)系數(shù)是變換矩陣的九個(gè)元素，其中對(duì)角元就是通常所說的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系數(shù)，其形式為：

，

而那些非對(duì)角元?jiǎng)t稱為慣量積：

。

對(duì)連續(xù)體來說，應(yīng)以體積分代替求和，而質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量應(yīng)該為質(zhì)量密度。因此，如果用

表示坐標(biāo)軸，則矩陣元

能表示為：

I_{ik}=\int_{v}\rho(r)(r^2\delta_{ik}-x_ix_k)dV

^[25]。

拉格朗日力學(xué)中的角動(dòng)量

在拉格朗日力學(xué)中，圍繞給定軸旋轉(zhuǎn)的角動(dòng)量是圍繞同一軸的角度的廣義坐標(biāo)和共軛動(dòng)量：

L_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_z}}

，

其中

是圍繞z軸旋轉(zhuǎn)角度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即角速度

。通常，拉格朗日量取決于通過動(dòng)能的角速度。對(duì)于密度為

非點(diǎn)狀物體，在其物體區(qū)域上進(jìn)行積分，有：

\frac{1}{2}\int\rho(x,y,z)(x_i^2 y_i^2)\omega_{zi}^2dxdy=\frac{1}{2}I_{zi}\omega_{zi}^2

^[26]。

哈密頓力學(xué)中的角動(dòng)量

哈密頓力學(xué)中引入了新的獨(dú)立變量——廣義動(dòng)量p，并引入新的特征函數(shù)H(q, p, t)^[27]。哈密頓方程將繞z軸的角度與其共軛動(dòng)量（繞同一軸的角動(dòng)量）聯(lián)系起來：

\frac{dL_{zi}}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial\theta_{zi}}

，

以及：

\frac{d\theta_{zi}}{dt}=\frac{\partial H}{\partial L_{zi}}=\frac{\partial L_{zi}}{\partial I_{zi}}

，

因此我們得到了以下結(jié)果：

L_{zi}=I_{zi}\cdot\dot{\theta_z}=I_{zi}\cdot\omega_{zi}

^[28]。

軌道力學(xué)中的角動(dòng)量

在軌道力學(xué)計(jì)算中，質(zhì)量通常并不重要，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)是由重力決定的。系統(tǒng)的主體通常比周圍運(yùn)動(dòng)的任何物體都大得多，因此可以忽略較小物體對(duì)其的引力影響；實(shí)際上，它保持恒定的速度。無論質(zhì)量如何，所有物體的運(yùn)動(dòng)都以相同的方式受到重力的影響，因此在相同的條件下，所有物體的運(yùn)動(dòng)方式大致相同。在天體動(dòng)力學(xué)和天體力學(xué)中，與角動(dòng)量密切相關(guān)的量被定義為：

，

稱為比角動(dòng)量。注意

^[29]。

廣義相對(duì)論中的角動(dòng)量

對(duì)于粒子系統(tǒng)，總角動(dòng)量只是各個(gè)粒子角動(dòng)量的總和，并且質(zhì)心是系統(tǒng)的質(zhì)心。在笛卡爾坐標(biāo)系中：

L=(xp_y-yp_x)e_x\wedge e_y (yp_z-zp_y)e_y\wedge e_z (zp_x-xp_z)e_z\wedge e_x

，

即：

L=L_{xy}e_x\wedge e_y L_{yz}e_y\wedge e_z L_{zx}e_z\wedge e_x

，

角速度也可以定義為反對(duì)稱二階張量，其分量為

.兩個(gè)反對(duì)稱張量之間的關(guān)系由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量給出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量現(xiàn)在必須是一個(gè)四階張量^[30]：

。

在相對(duì)論力學(xué)中，粒子的相對(duì)論角動(dòng)量表示為二階反對(duì)稱張量：

M_{\alpha\beta}=X_\alpha P_\beta-X_\beta P_\alpha

，

用四個(gè)矢量表示，即四個(gè)位置的

和四個(gè)動(dòng)量的

，并將上述

質(zhì)矩，即粒子的相對(duì)論質(zhì)量與其質(zhì)心的乘積一起吸收，可以被認(rèn)為是對(duì)其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的描述，因?yàn)橘|(zhì)能是守恒的^[31]。

電動(dòng)力學(xué)中的角動(dòng)量

在電磁體系中，電磁場(chǎng)對(duì)帶電體的作用力為：

，

故力矩為：

dL=r\times dF=r\times(\rho E j\times B )d\tau

。

設(shè)帶電體的機(jī)械角動(dòng)量

，角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于作用在該體系上的合力矩，故：

\frac{dL_m}{dt}=-\fracemgciqa{dt}\int r\times(\rho E j\times B)d\tau

^[32]。

量子力學(xué)中的定義

經(jīng)典上，一個(gè)粒子的軌道角動(dòng)量（相對(duì)于原點(diǎn)）由下式給出：

其分量形式為，

L_x=yp_z-zp_y,L_y=zp_x-xp_z,L_x=xp_y-yp_x.

對(duì)應(yīng)的量子算符由

p_x\rightarrow -i\bar{h}\partial/\partial x

，

p_y\rightarrow -i\bar{h}\partial/\partial y

，

p_z\rightarrow -i\bar{h}\partial/\partial z

得到，其中

為約化普朗克常數(shù)，

為虛數(shù)^[10]。

在量子物理學(xué)中，還有另一種角動(dòng)量，稱為自旋角動(dòng)量，用自旋算子

表示。自旋通常被描述為繞軸旋轉(zhuǎn)的粒子，但事實(shí)上，自旋是粒子的固有屬性，與空間中的任何運(yùn)動(dòng)無關(guān)，并且與軌道角動(dòng)量根本不同。所有基本粒子都具有特征自旋（可能為零）^[33]，并且?guī)缀跛谢玖Ｗ佣季哂蟹橇阕孕?/span>^[34]。

對(duì)于一個(gè)粒子，總角動(dòng)量

結(jié)合了所有粒子和場(chǎng)的自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量。角動(dòng)量守恒適用于

，但不適用于

或

。例如，自旋軌道相互作用允許角動(dòng)量在

和

之間來回轉(zhuǎn)移，而總角動(dòng)量保持恒定。電子和光子不需要具有基于整數(shù)的總角動(dòng)量值^[35]。

原理

牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律的旋轉(zhuǎn)模擬可以這樣寫：“在封閉系統(tǒng)中，如果不對(duì)其他物質(zhì)施加繞同一軸的相等且相反的扭矩，則任何物質(zhì)都不能施加扭矩?！?^[36]因此，角動(dòng)量可以在封閉系統(tǒng)中的物體之間進(jìn)行交換，但交換前后的總角動(dòng)量保持不變（守恒）^[37]。

從另一個(gè)角度來看，牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的旋轉(zhuǎn)類比可以寫成：“除非受到外部影響，否則剛體將繼續(xù)處于勻速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。” ^[36]因此，在沒有外部影響作用的情況下，系統(tǒng)的原始角動(dòng)量保持恒定^[38]。

諾特定理指出，每個(gè)守恒定律都與基礎(chǔ)物理的對(duì)稱性（不變量）相關(guān)。與角動(dòng)量守恒相關(guān)的對(duì)稱性是旋轉(zhuǎn)不變性。如果一個(gè)系統(tǒng)繞軸旋轉(zhuǎn)任何角度，其物理性質(zhì)都不會(huì)改變，則意味著角動(dòng)量是守恒的^[39]。

角動(dòng)量守恒定律也可以從牛頓第二定律中推導(dǎo)出來。假設(shè)某一剛體由大量質(zhì)點(diǎn)組成，某時(shí)刻角速度為

，角加速度為

?，F(xiàn)研究質(zhì)量為

、距轉(zhuǎn)軸垂直距離為

的任意質(zhì)點(diǎn)k，作用在k上的力可以分為外力

（來自剛體以外一切力的合力）以及內(nèi)力

（來自剛體以內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)k作用力的合力），按牛頓第二定律，有：

，

將兩邊投影到質(zhì)點(diǎn)k圓軌跡切線方向，有：

，

對(duì)兩邊乘以

，并對(duì)整個(gè)剛體求和，則有：

(\sum_{k}{\Delta m_kr_k^2})\beta=\sum_{k}{F_{k\tau}r_k} \sum_{k}{f_{k\tau}r_k}

，

其中等式右邊第一項(xiàng)為合外力矩，第二項(xiàng)為所有內(nèi)力對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的力矩總和。由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，而且大小相等、方向相反，因此所有內(nèi)力對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的力矩總和恒等于0^[40]。

應(yīng)用

自然現(xiàn)象

角動(dòng)量守恒用于分析中心力運(yùn)動(dòng)。行星和衛(wèi)星軌道上的引力就是這種情況，其中引力總是指向主星體，而繞軌道運(yùn)行的天體在圍繞主星體移動(dòng)時(shí)通過交換距離和速度來守恒角動(dòng)量。對(duì)于行星來說，角動(dòng)量分布在行星的自轉(zhuǎn)和軌道公轉(zhuǎn)之間，并且這些經(jīng)常通過各種機(jī)制進(jìn)行交換。由于月球?qū)Φ厍蚴┘拥某毕ぞ?，地月系統(tǒng)中的角動(dòng)量守恒導(dǎo)致角動(dòng)量從地球轉(zhuǎn)移到月球。這反過來導(dǎo)致地球自轉(zhuǎn)速度減慢，約為每天 65.7 納秒^[11]，并導(dǎo)致月球軌道半徑逐漸增加，約為每年 3.82 厘米^[41]。

花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員或芭蕾舞蹈演員快速旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是先將手腳伸開，以一定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，然后迅速收回手腳，轉(zhuǎn)速就顯然增加了。半徑縮小時(shí)角速度增大，這同樣是角動(dòng)量守恒的體現(xiàn)^[42]；它同樣體現(xiàn)在恒星的激烈旋轉(zhuǎn)階段。恒星是由一團(tuán)不斷收縮的氣體和塵埃演化而來的，它的旋轉(zhuǎn)起始于引力收縮作用和角動(dòng)量守恒原理。正如滑冰者將雙手并攏后旋轉(zhuǎn)得更快一樣，恒星的旋轉(zhuǎn)速度也隨著其直徑的收縮而越來越快。只是后來恒星燃起了熱核反應(yīng)的烈火時(shí)，其旋轉(zhuǎn)速度才逐漸減緩^[43]。

工業(yè)技術(shù)

利用角動(dòng)量守恒獲得實(shí)際優(yōu)勢(shì)的例子有很多。在蒸汽機(jī)或內(nèi)燃機(jī)等發(fā)動(dòng)機(jī)中，需要飛輪來有效地將活塞的橫向運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)明確利用了角動(dòng)量相對(duì)于空間慣性系守恒的事實(shí)。慣性導(dǎo)航使?jié)撏軌蛟跇O地冰蓋下航行，但對(duì)所有形式的現(xiàn)代導(dǎo)航也至關(guān)重要^[44]。線膛子彈利用角動(dòng)量守恒提供的穩(wěn)定性使其彈道更加真實(shí)。線膛槍和大炮的發(fā)明為使用者在戰(zhàn)斗中提供了顯著的戰(zhàn)略優(yōu)勢(shì)，成為歷史上的一個(gè)技術(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)^[45]。

陀螺效應(yīng)也是角動(dòng)量定理的表現(xiàn)。在外力矩作用下，旋轉(zhuǎn)物體角動(dòng)量改變，產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)角動(dòng)量。也就是說，在陀螺效應(yīng)的作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)的物體不會(huì)直接倒下，而是發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)方向的改變。陀螺儀就是利用了陀螺效應(yīng)，可以維持很大質(zhì)量的物體不倒。我們?cè)隍T車的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)騎得越快，越容易保持平衡，是因?yàn)樵谕勇菪?yīng)的作用下，輪子克服了重力，形成了進(jìn)動(dòng)，通過改變方向維持了自身平衡。而這種平衡狀態(tài)與車輪的速度有關(guān)，速度越快，車輪的傾角越小，車身越穩(wěn)定^[46]。

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