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牛吃草問題 牛吃草問題是一個(gè)很有趣的問題，關(guān)鍵在于牧場每天都長新草，通過兩組條件的比較，先求出每天（周）長牧草的新草量，然后把牛分成兩部分，一部分吃新草，一部分吃舊草，從而求出吃草的天數(shù)。顯然牛實(shí)際上是不能這樣分成兩部分去吃草的，但在解數(shù)學(xué)問題中，這種分成幾部分去解決問題的方法，可以使復(fù)雜的問題變成簡單的問題，化繁為簡是常常應(yīng)用的技巧之一。 例1 牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。如果27頭牛6周吃完，23頭牛9周吃完，那么21頭牛幾周吃完？ 解：設(shè)1頭牛1周吃的草為1份，27頭牛6周吃27×6=162（份），23頭牛9周吃23×9=207（份），這說明牧場每周長新草（207－162）÷（9－6）=15（份）。原來（牛吃前）牧場有草 162－15×6=72（份） 吃新草的牛需要 15÷1=15（頭）吃舊草的牛有 21－15=6（頭） 吃完草的時(shí)間 72÷6=12（周） 例2 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃10天？ 解：20頭牛5天吃草20×5=100（份）15頭牛6天吃草15×6=90（份） 青草每天減少（100－90）÷（6－5）=10（份）牛吃草前牧場有草100＋10×5=150（份）150份草吃10天本可供150÷10=15（頭）因每天減少10份草，相當(dāng)于10頭牛吃掉，所以只能供牛15－10=5（頭） 牛吃草問題概念及公式 牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場 牛吃草問題的·歷史起源：英國數(shù)學(xué)家牛頓(1642—1727)說過：“在學(xué)習(xí)科學(xué)的時(shí)候，題目比規(guī)則還有用些”因此在他的著作中，每當(dāng)闡述理論時(shí)，總是把許多實(shí)例放在一起。在牛頓的《普遍的算術(shù)》一書中，有一個(gè)關(guān)于求牛和頭數(shù)的題目，人們稱之為牛頓的牛吃草問題。，是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。 解決牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式，分別是︰ 假設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1” 1）草的生長速度＝（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）； 2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；` 3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）； 4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。 這四個(gè)公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。 由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個(gè)不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€(gè)基本公式。 牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。 解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。 這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是： 1.(牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù))÷（吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù))=草地每天新長草的量。 2.牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草量。 例題 有三塊草地，面積分別是5，15，24畝。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，問第三塊地可供多少頭牛吃80天？ 這是一道牛吃草問題，是比較復(fù)雜的牛吃草問題。 把每頭牛每天吃的草看作1份。 因?yàn)榈谝粔K草地5畝面積原有草量＋5畝面積30天長的草＝10×30＝300份 所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300÷5＝60份 因?yàn)榈诙K草地15畝面積原有草量＋15畝面積45天長的草＝28×45＝1260份 所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長的草是1260÷15＝84份 所以45－30＝15天，每畝面積長84－60＝24份 所以，每畝面積每天長24÷15＝1.6份 所以，每畝原有草量60－30×1.6＝12份 第三塊地面積是24畝，所以每天要長1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份 新生長的每天就要用38.4頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃80天，因此288÷80＝3.6頭牛 所以，一共需要38.4＋3.6＝42頭牛來吃。 兩種解法： 解法一： 設(shè)每頭牛每天的吃草量為1，則每畝30天的總草量為：10*30/5=60；每畝45天的總草量為：28*45/15=84那么每畝每天的新生長草量為(84-60)/(45-30)=1.6每畝原有草量為60-1.6*30=12，那么24畝原有草量為12*24=288，24畝80天新長草量為24*1.6*80=3072，24畝80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(頭) 解法二：10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據(jù)28頭牛45天吃15畝，可以推出15畝每天新長草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24；15畝原有草量：1260-24×45=180；15畝80天所需牛180/80+24(頭)24畝需牛：(180/80+24)*(24/15)=42頭 |
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