專題 1 ：數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算、常見(jiàn)的量的內(nèi)容分析與建議

在這個(gè)模塊中 我們主要和大家交流數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算和常見(jiàn)的量的內(nèi)容，關(guān)于這部分內(nèi)容，我們一線教師作了交流，主要集中在以下四個(gè)問(wèn)題。

1. 如何建立“數(shù)”的概念？

2. 如何處理運(yùn)算教學(xué)中的算理與算法的關(guān)系？

3. 如何落實(shí)新課標(biāo)對(duì)估算的要求？

4. 如何依托現(xiàn)實(shí)情境幫助學(xué)生體現(xiàn)和理解常見(jiàn)的量。

問(wèn)題一： 如何建立“數(shù)”的概念

一、《課標(biāo)》中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”有何變化

數(shù)的概念是學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的開(kāi)始，理解數(shù)的意義伴隨著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整個(gè)過(guò)程，從自然數(shù)逐步擴(kuò)展到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，學(xué)生將不斷增加對(duì)數(shù)的理解和運(yùn)用。在小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí) 包括 整數(shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的整除性相關(guān)的內(nèi)容、數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。在教材的安排中， 整數(shù)的認(rèn)識(shí)中分為 10 以內(nèi)認(rèn)識(shí)、 20 以內(nèi)的認(rèn)識(shí)、 100 以內(nèi)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)的認(rèn)識(shí)、大數(shù)的認(rèn)識(shí)等；分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識(shí)都為兩個(gè)階段、一個(gè)是初步的認(rèn)識(shí)，另一個(gè)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義。整體來(lái)說(shuō)新課標(biāo)中對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的要求變化和調(diào)整不大，主要有以下幾點(diǎn)，在教學(xué)中我們要加以注意。

在數(shù)的認(rèn)識(shí)中要關(guān)注數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)與數(shù)的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用。其中我們要特別關(guān)注數(shù)的意義，也就是數(shù)的概念的建立。在教學(xué)中如何建立數(shù)的概念是教學(xué)的重點(diǎn)， 面對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)這一重要內(nèi)容，我們又該怎樣幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)概念，理解數(shù)的意義呢？

二、在建立數(shù)概念中要注意的問(wèn)題

（一） 在整數(shù)的認(rèn)識(shí)中要注意的問(wèn)題

建立正確的數(shù)的概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn) 。 理解數(shù)的意義一般有兩個(gè)角度 ， 一是從數(shù)的組成去理解，通過(guò)組成理解數(shù)的大小和多少，加強(qiáng)對(duì)數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實(shí)際來(lái)體會(huì) ，通過(guò)在具體的現(xiàn)實(shí)情境中，理解數(shù)在生活實(shí)際中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機(jī)的結(jié)合，進(jìn)一步理解數(shù)的意義。在實(shí)際教學(xué)中 我們要把這兩種方式有機(jī)地結(jié)合起來(lái) ，這樣 更有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)的意義，建立數(shù)的概念。在整數(shù)數(shù)概念的建立過(guò)程中要注意以下幾點(diǎn)：

1. 依托多種形式建立整數(shù)數(shù)概念

（ 1 ）在具體情境中理解數(shù)的意義

學(xué)生對(duì)數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對(duì)具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會(huì)讀、會(huì)寫(xiě)，會(huì)說(shuō)一些具體的數(shù)。我們?cè)诮虒W(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實(shí)情景抽象出數(shù)的過(guò)程，例 如從具體的 2 匹馬， 2 棵樹(shù)， 2 頭牛， 2 個(gè)人，抽象為 2 這個(gè)數(shù)。這時(shí)用一個(gè)數(shù)字也是一個(gè)特殊的符號(hào)來(lái)表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個(gè)數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“ 2 ”。反過(guò)來(lái)， 2 可以表示任何具有 2 這樣數(shù)量特征的事物，例如 2 只鉛筆， 2 個(gè)人、 2 只小動(dòng)物……，隨著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的豐富含義，比如 計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計(jì)算的數(shù)。

（ 2 ）用操作幫助學(xué)生具體感知

自然數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)重點(diǎn)在于使學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)， 抽象離不開(kāi)直觀的支撐和 操作，例如：計(jì)數(shù)器、小棒、圖形等等，讓學(xué)生親自的數(shù)一數(shù)，擺一擺，圈一圈、畫(huà)一畫(huà)，學(xué)生數(shù)的過(guò)程也是一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程，同時(shí)感受具體的數(shù)量。

（ 3 ）多種模型的表征

在數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，我們要注意運(yùn)用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義建立數(shù)的概念，比如說(shuō)：計(jì)數(shù)器、數(shù)位桶，方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸 建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道這個(gè)大小和現(xiàn)實(shí)中的多少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問(wèn)題。例如，一位老師在教學(xué)《萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)》時(shí)，就運(yùn)用方塊模型幫助學(xué)生建立一萬(wàn)的概念，理解數(shù)的意義。

通過(guò)方格模型的演示，讓學(xué)生體會(huì) 10 個(gè)一是十， 10 個(gè)十是一百， 10 個(gè)一百是一千， 10 個(gè)一千是一萬(wàn)……，通過(guò)幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體，使學(xué)生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時(shí)建立十個(gè)千就是一個(gè)萬(wàn)，在學(xué)生的頭腦中建立一個(gè)清晰的模型“滿十進(jìn)一”，對(duì)于學(xué)生理解基數(shù)單位和位值制是有很大好處的。

2. 把握核心概念， 重視數(shù)位和位置值的理解

為了表示更大的數(shù)，數(shù)位概念的建立是十分重要的。數(shù)位的含意是不同位置上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，沒(méi)有數(shù)位的規(guī)定就沒(méi)有辦法表示更大的數(shù)。認(rèn)識(shí)個(gè)、十、百、千、萬(wàn)等不同的數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，是理解整數(shù)概念所必須的。學(xué)生必須清楚地了解，同樣一個(gè)數(shù)字“ 3 ” ，在個(gè)位上表示 3 個(gè)一；在十位上表示 30 ，即 3 個(gè)十；在百位上表示 300 ，即 3 個(gè)百。第一學(xué)段完成整數(shù)萬(wàn)級(jí)的認(rèn)識(shí)，第二學(xué)段認(rèn)識(shí)萬(wàn)以上的數(shù)，進(jìn)而整理十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。我國(guó)的計(jì)數(shù)單位是每四位一級(jí)，萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的個(gè)位、十位、百位、千位為個(gè)級(jí)，學(xué)生理解各級(jí)上的每個(gè)數(shù)字的意義，這是理解多位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字意義的前提條件。我國(guó)計(jì)數(shù)單位是四位一級(jí)，在國(guó)際上普遍使用的是三位一級(jí)，在學(xué)習(xí)時(shí)可以讓學(xué)生了解。 在歷史上，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)以 2 、 3 、 4 為原始的數(shù)基，比較多的是以 5 、 20 、 60 為數(shù)基，即五進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制。當(dāng)然，最多的是以 10 為數(shù)基，即現(xiàn)在世界各國(guó)通用的十進(jìn)制，即 重要的“滿十進(jìn)一”的方法。

在古代文明中，世界各國(guó)大多數(shù)都是采用十進(jìn)制，例如中國(guó)、古羅馬。但十進(jìn)位記數(shù)法，離十進(jìn)位值制還有關(guān)鍵的一步“位置值制要走。所謂“位值制”，是指相同的計(jì)數(shù)符號(hào)由于所處的位置不同可以表示大小不同的數(shù)目。有了位值制，就可以用有限的數(shù)字表示出無(wú)限的自然數(shù)，這是記數(shù)歷史上的一個(gè)創(chuàng)造，一個(gè)奇跡。因此馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》一書(shū)中稱十進(jìn)位值制記數(shù)法為“最妙的發(fā)明之一”。

（ 1 ）重視 10 的概念的建立

一個(gè) 十 和幾個(gè) 一 是十幾 ， 這就是位值制的基礎(chǔ) ， 這樣 10 個(gè)數(shù)字就可以表示出生活中無(wú)限多的物。教學(xué)中建立好概念非常重要。在教學(xué) 10 的認(rèn)識(shí)時(shí)要讓學(xué)生親自感受到由 9 再加 1 變成 10 的過(guò)程，可以通過(guò)數(shù)、擺、捆、撥、說(shuō)等活動(dòng)，讓學(xué)生感受 10 個(gè)一是 1 個(gè)十。在 11-20 各數(shù)的認(rèn)識(shí)中仍然要關(guān)注 10 的概念的建立，讓學(xué)生體會(huì)滿十進(jìn)一的過(guò)程。

（ 2 ）重視數(shù)計(jì)數(shù)單位：

為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法 和位值制。要重視數(shù)計(jì)數(shù)單位 逐步建立新的計(jì)數(shù)單位，10 個(gè)一是 1 個(gè)十，10 個(gè)十是一百，10 個(gè)百是一千，10 個(gè)千是一萬(wàn)，10 個(gè)萬(wàn)是十萬(wàn)，10 個(gè)十萬(wàn)是一百萬(wàn)，10 個(gè)百萬(wàn)是一千萬(wàn)，從而引出新的計(jì)數(shù)單位十萬(wàn)，在一個(gè)單位、一個(gè)單位地?cái)?shù)的活動(dòng)中，學(xué)生充分體會(huì)每數(shù)滿 10 個(gè)單位就產(chǎn)生一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，感受了兩個(gè)相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十。

（ 3 ）重視數(shù)位順序表的使用

隨著認(rèn)識(shí)的數(shù)越來(lái)越大教師應(yīng)不斷擴(kuò)充完善數(shù)位順序表，從認(rèn)識(shí) 20 以內(nèi) 的數(shù)起就讓學(xué)生了解個(gè)位和十位，認(rèn)識(shí)百以內(nèi)數(shù)時(shí)補(bǔ)充認(rèn)識(shí)百位，在認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的時(shí)候第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表，在認(rèn)識(shí)整數(shù)的最后一個(gè)單元里學(xué)生將認(rèn)識(shí)萬(wàn)級(jí)和億級(jí)的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴(kuò)展，先擴(kuò)展到萬(wàn)級(jí)，再擴(kuò)展到億級(jí)。數(shù)位順序表有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀、寫(xiě)數(shù)的方法。

3. 關(guān)注對(duì)大數(shù)的感受

在第一、二學(xué)段都提出感受大數(shù)意義和對(duì)大數(shù)進(jìn)行估計(jì)的要求。第一學(xué)段是要求在生活情境中感受大數(shù)的意義，第二學(xué)段情境的范圍有所擴(kuò)大，要求在現(xiàn)實(shí)情境中感受大數(shù)的意義。其本質(zhì)是相同，都是希望通過(guò)具體的情境對(duì)大數(shù)加以感受，增加學(xué)生的數(shù)感。感受大數(shù)與情境的具體內(nèi)容有關(guān)， 1200 張紙大約有多厚？你的 1200 步大約有多長(zhǎng)？ 1200 名學(xué)生站成做廣播操的隊(duì)形需要多大的場(chǎng)地？這些具體的情境學(xué)生可以通過(guò)實(shí)際操作和觀察感受。有時(shí)還要加入想象的成份， 1200 名學(xué)生需要多大場(chǎng)地，許多學(xué)?？赡軟](méi)有這么多人，學(xué)生就需要了解自己的學(xué)校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人會(huì)占多大地方。

這個(gè)抽象過(guò)程在小學(xué)一年級(jí)開(kāi)始認(rèn)識(shí)數(shù)時(shí)就強(qiáng)調(diào)，直到認(rèn)識(shí)較大的數(shù)。學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)數(shù)的抽象表示，逐步建立數(shù)概念。

（二）在建立分?jǐn)?shù)概念中要注意的問(wèn)題

教師在數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)中 普遍認(rèn)為分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)認(rèn)識(shí)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。 分?jǐn)?shù)起源于分，當(dāng)平均分出現(xiàn)不是整數(shù)結(jié)果的時(shí)候，逐漸有了分?jǐn)?shù)的概念。后來(lái)，在土地測(cè)量、產(chǎn)品分配等過(guò)程中 , 常常得到不是整數(shù)的結(jié)果，便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，分?jǐn)?shù)的真正來(lái)源在于自然數(shù)除法的推廣。

1. 加強(qiáng)對(duì)分?jǐn)?shù)豐富意義的理解

教師要了解分?jǐn)?shù)意義的多重多元性，才能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)的意義。 對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注以下兩個(gè)主線和四個(gè)層面：

兩個(gè)主線

即“比的線索”和“數(shù)的線索”?！氨取敝傅氖且徊糠峙c另一部分之間的關(guān)系；“數(shù)”指的是以有理數(shù)形式出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)，此時(shí)的分?jǐn)?shù)表現(xiàn)的是一個(gè)結(jié)果。

分?jǐn)?shù)意義理解的四個(gè)層面

“比率” 是指部分與整體的關(guān)系和部分與部分的關(guān)系。其中部分與整體的關(guān)系更多地體現(xiàn)在真分?jǐn)?shù)的含義中。例如一個(gè)圓平均分成 4 份，每一份是整體的 。又例如，長(zhǎng)方形中的一部分是整個(gè)長(zhǎng)方形的 ，整體圖形的面積應(yīng)該是多少？顯然，整體圖形的面積應(yīng)該是這樣的三份。這里的 和 所反映的就是取的份數(shù)與整體份數(shù)之間的關(guān)系。 而部分與部分之間的關(guān)系更多地表現(xiàn)為是一種“記號(hào)”。例如小紅有 5 個(gè)蘋(píng)果，小麗有 3 個(gè)蘋(píng)果，小紅的蘋(píng)果是小麗的 倍。對(duì)比率維度的理解，可以幫助學(xué)生完成對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分等相關(guān)知識(shí)的正確認(rèn)識(shí)。

“度量” 指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。例如 里面有 3 個(gè) ，就是用分?jǐn)?shù) 作為單位度量 3 次的結(jié)果。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量?！睂?duì)度量維度的研究，可以大大豐富學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。度量維度的體驗(yàn)也可以直接作用于分?jǐn)?shù)加（減）法的學(xué)習(xí)中。

“運(yùn)作” 主要指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過(guò)程。例如，求 6 張紙的 是多少?gòu)埣垼瑢W(xué)生將 理解為整體 6 張紙的 ，即將 6 張紙這個(gè)整體平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 ÷ 3 × 2 ，也就是 6 × 。

“商” 這個(gè)維度主要是指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果，它使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)由“過(guò)程”凝聚到“對(duì)象”，即分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，也可以和其他數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。

以上這四個(gè)維度沒(méi)有先后之分，主次之別，它們對(duì)學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)都發(fā)揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)內(nèi)涵豐富性認(rèn)識(shí)的建構(gòu)。

2． 利用多種模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義

在小學(xué)階段教材中往往以學(xué)生熟悉的日常事物與活動(dòng)為模型，建立分?jǐn)?shù)的概念。例如把一個(gè)月餅平均分為兩份，其中的一份是 個(gè)，把一張紙平均分為為四份其中的一份是 ，這僅僅是從“面積模型”的角度來(lái)理解分?jǐn)?shù)，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以借助于多種“模型”。

（ 1 ）分?jǐn)?shù)的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)

兒童最早是通過(guò)“部分—整體” 來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，因此在教材中分?jǐn)?shù)概念的引入是通過(guò)“平均分”某個(gè)“正方形”或者“圓”取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。

（ 2 ）分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集—全集”來(lái)表示分?jǐn)?shù)

這是“部分—整體”的另外一種形式，與分?jǐn)?shù)的面積模型聯(lián)系密切，但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是“單位 1 ” 不再真正是“ 1 個(gè)整體”了，而是把幾個(gè)物體看作“ 1 個(gè)整體”，作為一個(gè)“單位”，所取的“一份”也不是“一個(gè)”，可能是“幾個(gè)”作為“一份”，例如，把 4 個(gè)桃子看作“單位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 個(gè)占整體的 。分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個(gè)”看作“整體 1 ”。

（ 3 ） 分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)

3. 把握好每一階段完成的任務(wù)

在小學(xué)階段，對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，教材一般“顯性”地分為兩個(gè)階段：第一學(xué)段分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)和第二階段分?jǐn)?shù)的意義。但實(shí)際上，基于對(duì)于分?jǐn)?shù)意義內(nèi)涵豐富性的理解，我們逐步認(rèn)識(shí)到，對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，決不是一兩次教學(xué)所能全部承載和實(shí)現(xiàn)的，需要通過(guò)系列設(shè)計(jì)，逐步滲透、多維度建立，將教材中的“顯性”和“隱性”結(jié)合起來(lái)。我們應(yīng)該如何把握每一階段的教學(xué)呢？

第一階段：認(rèn)識(shí)平均分。

第二階段：在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)教學(xué)中，幫助學(xué)生初步建立部分與整體關(guān)系的認(rèn)識(shí)，感受分?jǐn)?shù)。

第三階段：在分?jǐn)?shù)意義和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)中，重點(diǎn)使學(xué)生發(fā)展對(duì)于分?jǐn)?shù)理解的比率、度量的維度。

第四階段：在分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的教學(xué)中，重點(diǎn)使學(xué)生發(fā)展對(duì)于分?jǐn)?shù)理解的運(yùn)作、商的， 第五階段：在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算及解決問(wèn)題的教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生綜合運(yùn)用對(duì)于分?jǐn)?shù)意義理解

的多個(gè)維度。

必須指出的是，這五個(gè)階段不是相對(duì)孤立的，更不是線性排列的，不能僵化地理解為到了某一階段就必須或者只能達(dá)成對(duì)某維度的學(xué)習(xí)，其他維度將不再涉及。這四個(gè)階段在完成對(duì)分?jǐn)?shù)意義豐富認(rèn)識(shí)方面各有側(cè)重，相互滲透，相互補(bǔ)充，共同幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的不斷發(fā)展和整體建構(gòu)。

總之分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，需要系統(tǒng)的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能使學(xué)生真正理解熟練運(yùn)用。

（三）在建立小數(shù)數(shù)概念中要注意的問(wèn)題

在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教材安排了小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)。 小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制記數(shù)法從整數(shù)（自然數(shù)）擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。由此可見(jiàn) 小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系。

1. 利用知識(shí)遷移建立小數(shù)概念

分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)對(duì)小數(shù)的學(xué)習(xí)特別是小數(shù)意義的理解有直接顯著的影響 ， 后者的學(xué)習(xí)對(duì)前者也有促進(jìn)作用 ， 例如 8 分米是十分之八米是學(xué)生已有的知識(shí) ， 只要通過(guò)提問(wèn) ， 引起學(xué)生的回憶和思考 ， 還可以寫(xiě)成 0.8 米 ， 也就是同一對(duì)象的兩種不同形式 ， 使小數(shù)和分?jǐn)?shù)建立起直接的聯(lián)系 ， 使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到 ： 十分之幾和一位小數(shù) ， 百分之幾和兩位小數(shù)之間的關(guān)系 。

再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用數(shù)軸表示數(shù)，這是認(rèn)識(shí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí)常用的模型 ， 可以將其拓展到小數(shù) 。 例如：把一個(gè)正方形平均分成 10 份 100 份 ， 其中的若干份既可以用分?jǐn)?shù)表示 ， 也可以用小數(shù)表示 ，這樣能夠 幫助學(xué)生理解的小數(shù)意義，建立小數(shù)的模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感 。

2. 溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系

（ 1 ） 溝通整數(shù)和小數(shù)的關(guān)系。 整數(shù)與小數(shù)的計(jì)數(shù)方法是一致的 ， 相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是 10 ， 小數(shù)的計(jì)數(shù)方法是整數(shù)計(jì)數(shù)方法的擴(kuò)展 ， 教學(xué)中要設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)將整數(shù)的計(jì)數(shù)方法遷移到小數(shù) ， 為學(xué)生在計(jì)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和方法上建立聯(lián)系 ， 不僅如此 ， 還要利用這些活動(dòng)幫助學(xué)生整理認(rèn)數(shù)系統(tǒng) ， 把原來(lái)認(rèn)識(shí)的整數(shù)數(shù)位表擴(kuò)充到小數(shù) 。

（ 2 ）溝通分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系： 小數(shù)和分?jǐn)?shù)上的溝通，主要是意義上的溝通，使學(xué)生理解小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。

（ 3 ）溝通分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)之間的關(guān)系。

關(guān)于小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，在整數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了小數(shù)， 小數(shù)的表征形式與整數(shù)相似， 數(shù)位順序表得到補(bǔ)充， 都是十進(jìn)制。如果以個(gè)位為基礎(chǔ)，向右擴(kuò)展就是十位、百位、千位；如果向左擴(kuò)展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。 換句話說(shuō)：以個(gè)位為對(duì)稱軸，兩邊的數(shù)位呈現(xiàn)了對(duì)稱的關(guān)系，只是小數(shù)部分在位前增加了“分”；這樣“每相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10 ”得到了全面的概括；小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。 從這個(gè)意義上說(shuō)，對(duì)小數(shù)的理解比對(duì)分?jǐn)?shù)的理解更容易一些。

整數(shù)可以數(shù)，一個(gè)一個(gè)地， 一十一十地?cái)?shù)，一百一百地?cái)?shù)， 小數(shù)可以數(shù)： 0.1 、 0.2 、 0.3 、 0.4 、 0.5 、 0.6 、 0.7 ……分?jǐn)?shù)可以數(shù)：……

以此類推。這列數(shù)是按照一個(gè)單位進(jìn)行數(shù)數(shù)的，無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)它們都是計(jì)數(shù)單位的累加。

3. 把握好小數(shù)認(rèn)識(shí)的兩個(gè)階段的教學(xué)

我們知道關(guān)于小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)可以從學(xué)生熟悉的計(jì)量單位：元、角、分和米制系統(tǒng)（米、分米、厘米）來(lái)幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。并不涉及到小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和數(shù)位；到了第二學(xué)段學(xué)習(xí)小數(shù)的意義時(shí)，才抽象出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和數(shù)位，以及完善數(shù)位順序表…… 兩個(gè)學(xué)段的重點(diǎn)不同，呈現(xiàn)的方式和學(xué)習(xí)的方式也應(yīng)當(dāng)有區(qū)別。要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際選擇合適的學(xué)習(xí)方法，幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義。

三、 建立數(shù)概念教學(xué)的具體建議

（一）在數(shù)認(rèn)識(shí)中體現(xiàn)數(shù)感。 數(shù)感的建立非常重要，教師要設(shè)計(jì)多種活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（二） 整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系： 兩個(gè)學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的整體把握和遞進(jìn)與銜接。

（三）鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，關(guān)注數(shù)的應(yīng)用 。關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)包括從數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用；其中數(shù)的應(yīng)用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個(gè)學(xué)習(xí)中。教學(xué)中要提供機(jī)會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)來(lái)表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流。

問(wèn)題二： 如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系

一、 《課標(biāo)》對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”有什么新要求

新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。 運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。 培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。同時(shí)在《課標(biāo)解讀》中也強(qiáng)調(diào)“應(yīng)當(dāng)?shù)瘜?duì)運(yùn)算的熟練程度的要求，選擇正確的計(jì)算方法，準(zhǔn)確地得到運(yùn)算結(jié)果，比運(yùn)算的熟練程度更重要。應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運(yùn)算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度?！边@一目標(biāo)的提出就要求教師在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，不能僅僅關(guān)注于學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算例、掌握算法的學(xué)習(xí)過(guò)程，也就是在教學(xué)中要注重將算理與算法有機(jī)的結(jié)合在一起，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的過(guò)程就是發(fā)展邏輯思維能力的過(guò)程，數(shù)的運(yùn)算的概念、性質(zhì)、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系，存在著嚴(yán)密的邏輯性。每個(gè)概念、性質(zhì)、法則、公式的引入與建立，都要經(jīng)過(guò)抽象、概括、判斷、推理的思維過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容時(shí)都要經(jīng)過(guò)從具體到抽象、從感性到理性的過(guò)程，學(xué)生把這些應(yīng)用到實(shí)際中去， 還要經(jīng)過(guò)由一般到特殊的演繹過(guò)程。因此，數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。這就需要教師在教學(xué)的過(guò)程中不僅僅關(guān)注結(jié)果、關(guān)注方法更要關(guān)注得到結(jié)果、得到方法的思維過(guò)程，這個(gè)思維過(guò)程就是學(xué)生理解算理、掌握算法的過(guò)程。小學(xué)生仍然以直觀形象思維為主，而算理、算法又十分抽象，因此如何結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系，往往就是教學(xué)的難點(diǎn)所在。我們可以結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)借助生動(dòng)有趣的童話情境、借助直觀模型、借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。

二、如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系

（一）借助生動(dòng)有趣的童話情境，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。

小學(xué)生，尤其是低年級(jí)的學(xué)生，他們更多的是以形象思維為主，因此創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的童話情境，不僅能夠很好地調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性，更能夠借助童話情境幫助他們理解算例、掌握算法。

北京小學(xué) 魏來(lái)紅 老師在教學(xué)《 20 以內(nèi)進(jìn)位加法》一課中，就是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜愛(ài)的小動(dòng)物上車的童話情境（ PPT ）。首先 魏 老師通過(guò)讓學(xué)生在第一站幫助 9 個(gè)小動(dòng)物上車，來(lái)復(fù)習(xí)十加幾的口算，學(xué)生的積極性一下子就被調(diào)動(dòng)了起來(lái)，為他們能夠運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)幫助小動(dòng)物而感到高興。接下來(lái)再通過(guò)第二站幫助 5 個(gè)小動(dòng)物上車，復(fù)習(xí)連加，并通過(guò)追問(wèn)“有什么好方法能讓我們算得又對(duì)又快？”使學(xué)生感受到先湊“十”再算“十加幾”簡(jiǎn)便快捷，為理解“進(jìn)位加”的算理做好了孕伏。 5 個(gè)小動(dòng)物上車后，與在第一站上車的 9 個(gè)小動(dòng)物合起來(lái)，這時(shí)車上一共有多少個(gè)小動(dòng)物？從而引出了 9+5= ？這一進(jìn)位加法。如何計(jì)算 9+5= ？學(xué)生結(jié)合生動(dòng)、形象、具體的現(xiàn)實(shí)情境，很快就想到把 5 分成 1 和 4 ， 1 和 9 組成 10 ， 10 加 4 等于 14 。就這樣學(xué)生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的理解和掌握了進(jìn)位加的算理與算法。

通過(guò)這節(jié)課我們看到，魏老師正是能夠很好的結(jié)合學(xué)生的年齡和心理需求以及他們的思維特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣、喜愛(ài)的童話情境，使枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)有趣，使抽象的算理變得直觀形象，使學(xué)生在明理中順利、自然的掌握了算法。

（二）借助直觀模型，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。

在皇城根小學(xué)史冬梅老師上的《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課中，史老師結(jié)合三年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，借助直觀模型較好地處理了算理與算法的關(guān)系。史老師在這節(jié)課上沒(méi)有將會(huì)寫(xiě)“豎式”作為最終的教學(xué)目標(biāo)，而是在學(xué)生已經(jīng)能夠初步掌握豎式計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探尋方法背后的道理。并提供給學(xué)生直觀的點(diǎn)子圖作為研究素材，在研究中，學(xué)生們呈現(xiàn)了豐富多彩的成果。雖然學(xué)生們的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的，這一點(diǎn)恰恰就是乘法豎式運(yùn)算的基本思路。在這之后，史老師再次將分點(diǎn)子圖與豎式中的四句口訣進(jìn)行了對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生一步步深入地理解豎式計(jì)算中每一個(gè)細(xì)節(jié)背后的道理。“分點(diǎn)子圖”不僅給學(xué)生創(chuàng)造了積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的寶貴機(jī)會(huì)，同時(shí)又使學(xué)生能夠借助直觀模型，較好的理解了兩位數(shù)乘法算法背后的道理。

在我們以往的教學(xué)中，不少老師或者不重視引導(dǎo)學(xué)生探索計(jì)算的過(guò)程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算的每個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有真正理解的情況下就開(kāi)始追求計(jì)算方法。這就很可能造成學(xué)生在沒(méi)有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來(lái)習(xí)得方法和技能。這顯然對(duì)學(xué)生的發(fā)展是不利的，史老師這節(jié)課恰恰是為學(xué)生真正地、扎扎實(shí)實(shí)地經(jīng)歷理解的過(guò)程提供了鮮活而典型的案例。在教學(xué)中教師要舍得拿出時(shí)間讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷，有機(jī)會(huì)感受，有機(jī)會(huì)理解，有機(jī)會(huì)創(chuàng)造。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出了學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)，它背后深遠(yuǎn)的意義還需要廣大教師在自己的實(shí)踐中開(kāi)動(dòng)腦筋，深入挖掘，潛心感悟。

（三）借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。

北京小學(xué)于萍老師曾經(jīng)上過(guò)的《小數(shù)加減法》一課，在這節(jié)課中于老師就是借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的算理。于老師讓學(xué)生自主進(jìn)行編題，其中就有一名學(xué)生編出了一道 0.8+3.74= ，這種類型將要揭示的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”是本節(jié)課的重點(diǎn)所在，也是小數(shù)加減法總結(jié)算法的重要時(shí)機(jī)。為了讓學(xué)生有機(jī)會(huì)調(diào)動(dòng)已有的整數(shù)加減法的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過(guò)程，于老師就讓每個(gè)學(xué)生自己試做，并說(shuō)明自己這樣做的道理。

師：你們以前做過(guò)很多很多加減法題，無(wú)一例外的都是把末位的兩個(gè)數(shù)字對(duì)齊，可這道題為什么不末位對(duì)齊呢？

生：整數(shù)的末位是個(gè)位，末位對(duì)齊也就是個(gè)位對(duì)齊了。而小數(shù)的末位不一定是相同的，所以不能末位對(duì)齊。

師：你們雖然沒(méi)把末位對(duì)齊，但把誰(shuí)對(duì)齊了？

生：把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，也就是相同數(shù)位對(duì)齊。

師：你看得很深、很準(zhǔn)，這樣做肯定有這樣做的道理?？蔀槭裁匆欢ㄒ?shù)點(diǎn)對(duì)齊、要相同數(shù)位對(duì)齊呢？

生 1 ：如果不對(duì)齊算出來(lái)就錯(cuò)了。

生 2 ：如果不把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，而把末位對(duì)齊的話，十分位的 8 就和百分位的 4 對(duì)齊了，相加之后肯定就不對(duì)了。

生 3 ：我舉個(gè)例子說(shuō)吧，比如買(mǎi)兩樣?xùn)|西，一個(gè)是 0.8 元，另一個(gè) 3.74 元，如果把末位的 8 和 4 相加，就是用 8 角加 4 分，那肯定不對(duì)了。

師：我們研究同一個(gè)問(wèn)題時(shí)可以從不同角度研究，比如，可以講道理，也可以舉例子。剛才這道題，就有同學(xué)想到了用我們都熟悉的“元角分”舉例子來(lái)解釋，簡(jiǎn)單的事說(shuō)明了深?yuàn)W的道理，你真棒。看來(lái)只有相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)才能夠相加減。

小結(jié)：原來(lái)看似和整數(shù)加減法不太一樣的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”其實(shí)和“末位對(duì)齊”一樣，都是為了確?！跋嗤瑪?shù)位對(duì)齊”，而相同數(shù)位對(duì)齊背后的道理就是“相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)直接相加減”。你們不僅找到了方法，還理解了方法背后的數(shù)學(xué)道理，真了不起。

小數(shù)加減法在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域中占有什么位置？如何把握它與整數(shù)加減法的關(guān)系？在這節(jié)課中又該如何呈現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)，抓住核心概念進(jìn)行教學(xué)？ 于萍 老師的教學(xué)實(shí)踐回答了上面的問(wèn)題。教師在引導(dǎo)學(xué)生探究小數(shù)加減法計(jì)算方法的過(guò)程中，始終抓住了本節(jié)課知識(shí)的“魂”實(shí)施教學(xué)，她沒(méi)有滿足學(xué)生能正確地計(jì)算出結(jié)果，而是步步深入引導(dǎo)學(xué)生逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。引發(fā)學(xué)生對(duì)小數(shù)加減計(jì)算道理的深刻理解，即：小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的本質(zhì)意義是一致的，即相同的計(jì)數(shù)單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機(jī)的結(jié)合，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，有助于學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)核心概念，才能夠更好地 實(shí)現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力?！钡哪繕?biāo)。

三、 對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)的建議

（一）處理好算理直觀與算法抽象的關(guān)系 。這個(gè)理是學(xué)生不容易理解的，教師可以通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境、直觀的圖、學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)等幫助學(xué)生去理解。

（二）處理好算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系 。算法多樣化，要關(guān)注學(xué)生的個(gè)性，可能這個(gè)學(xué)生適合這樣的方法，那個(gè)學(xué)生喜歡另一種方法，但是它們背后的道理是一樣的，老師要想辦法通過(guò)不同的方法，讓學(xué)生去理解這個(gè)道理，使學(xué)生能夠更有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（三）處理好技能訓(xùn)練與思維訓(xùn)練的關(guān)系 。它不是一種單純的、機(jī)械的、做題量的積累，在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，要注重幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維。

（四）注重計(jì)算與日常生活以及解決問(wèn)題的聯(lián)系 。學(xué)習(xí)加減乘除的計(jì)算，最終要為解決問(wèn)題服務(wù)，在解決問(wèn)題過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到計(jì)算方法的實(shí)際價(jià)值。

問(wèn)題三 如何落實(shí)新課標(biāo)對(duì)估算的要求

一、《課標(biāo)》對(duì)“估算”有什么新要求

課標(biāo)修訂版中加強(qiáng)了對(duì)“估計(jì)”以及“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡(jiǎn)單估算。如何理解“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算？

例如：學(xué)校組織 987 名學(xué)生去公園游玩。如果公園的門(mén)票每張 8 元，帶 8000 元錢(qián)夠不夠？

解決此題的適當(dāng)方法是把 987 人看成 1000 人，所以適當(dāng)?shù)膯挝皇恰?1000 人”。結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝皇堑谝粚W(xué)段估算的核心。在對(duì)大數(shù)進(jìn)行估計(jì)的時(shí)候，選擇合適的單位也很重要。教室到學(xué)校體育館有多遠(yuǎn)，就應(yīng)當(dāng)選用米作單位。而從家到學(xué)校有多遠(yuǎn)，就要選擇千米作單位。太陽(yáng)到地球的距離就要用光年作單位。

第一學(xué)段的估算強(qiáng)調(diào)在具體的情境中選擇合適的單位，剛才的例子是選擇了 1000 人作單位。一般來(lái)說(shuō)，估計(jì)教室的長(zhǎng)度時(shí)，通常以“米”為單位；估計(jì)書(shū)本的長(zhǎng)度時(shí)，通常以“厘米”為單位。也可以用身邊熟悉的物體的長(zhǎng)度為單位，如步長(zhǎng)、臂長(zhǎng)等。教學(xué)中，要讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際熟悉一些常見(jiàn)的計(jì)量單位真正了解其長(zhǎng)短，大小和輕重等，并在頭腦中建立起相應(yīng)的表象。

二、如何把握估算教學(xué)的內(nèi)容及其要求

（一）為什么教

  估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。

  有利于人們事先把握運(yùn)算結(jié)果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的重要方面。

  為判斷計(jì)算器、口算和筆算結(jié)果是否合理提供了依據(jù)。

  在具體情境中估算，有利于學(xué)生提高判斷、選擇的能力。

  估算有利于培養(yǎng)學(xué)生做事的計(jì)劃性。

  估算對(duì)學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用。

（二）教什么

關(guān)于“教什么”要依據(jù)新課標(biāo)中的要求，展開(kāi)教學(xué)。至少教學(xué)要涉及“估算方法”、“估算策略”。

估算方法：

①湊整的方法。 如湊成一個(gè)整十、整百的數(shù)。

②取一個(gè)中間數(shù)。 如32、37、 30 和39這四個(gè)數(shù)求和，這些數(shù)都很接近35，有的比35多一點(diǎn)，有的比35少一點(diǎn)，就取一個(gè)中間數(shù)35，直接用35×4，就大約地計(jì)算出了這幾個(gè)數(shù)相加的結(jié)果。

③用特殊的數(shù)據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行估數(shù)。如126 × 8，就可以想到125 × 8，125的8倍，就得到1000。

④尋找區(qū)間。 也就是說(shuō)叫尋找它的范圍，也叫做去尾進(jìn)一，去尾就是只看首位，那么只看首位的時(shí)候，估得的結(jié)果就是它的至少是多少；進(jìn)一就是首位加一，假如說(shuō)278，就看成了300，首位加一，這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個(gè)范圍，就是尋找它的區(qū)間范圍。

⑤ 大小協(xié)調(diào)。 兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù) 往大了估，一個(gè)數(shù)往小了估，或者一個(gè)數(shù)估一個(gè)數(shù)不估。

⑥先估后調(diào)。

⑦利用乘法口訣湊數(shù)。 這種方法一般用于除法的估算，一般用除數(shù)乘一個(gè)整十?dāng)?shù)、整百數(shù)或整百整十?dāng)?shù)，如果乘積最接近被除數(shù)，則這個(gè)數(shù)就是除法估算的商。如 358÷6 ，用除數(shù) 6 乘整十?dāng)?shù) 60 ，其積 360 最接近被除數(shù) 358 ，那么整十?dāng)?shù) 60 即是所求的商。

（三）怎么教？

估算教學(xué)，不是單純的教給學(xué)生記住一種估算的方法，而是通過(guò)我們的課堂教學(xué)，使

學(xué)生逐步地去理解估算的意義和價(jià)值，發(fā)展學(xué)生估算的意識(shí)。在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)多增加一些學(xué)生的體驗(yàn)，不斷地豐富學(xué)生這方面的經(jīng)驗(yàn)，并逐步加以積累。

教學(xué)建議：

1. 整體把握估算教學(xué)，把估算意識(shí)的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo)

所謂整體把握估算教學(xué)，就是要把握自己所教估算教學(xué)部分的知識(shí)結(jié)構(gòu)與地位，要知道自己所教學(xué)的估算知識(shí)部分在整個(gè)小學(xué)階段處于什么位置 ? 對(duì)今后的估算學(xué)習(xí)能起到什么作用 ? 要在自己所教的一段達(dá)到什么樣的目標(biāo) ? 這樣一來(lái)在教學(xué)中就會(huì)做到游刃有余，心中有數(shù)。

學(xué)習(xí)估算的開(kāi)始階段，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可能有一定的難度，或許會(huì)影響一點(diǎn)教學(xué)進(jìn)度或計(jì)算速度，這時(shí)老師不能為了趕進(jìn)度而著急，應(yīng)該給學(xué)生充分理解的空間和時(shí)間。要知道開(kāi)頭的 “ 慢 ” 正是為了不久之后的 “ 快 ” 和 “ 好 ” 。

在教學(xué)中 首先要考慮估算的教學(xué)目標(biāo)，如果把目標(biāo)僅僅定位在就教會(huì)湊整估算，或是見(jiàn)到 “ 大約 ” 就要估算，做一些機(jī)械的訓(xùn)練，可能就會(huì)給學(xué)生形成一種錯(cuò)誤的定勢(shì)。而估算教學(xué)中，首要重要的如何培養(yǎng)學(xué)生近似的意識(shí)，這是我們數(shù)學(xué)教學(xué)本身應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題，應(yīng)該作為重要的教學(xué)目標(biāo)來(lái)進(jìn)行實(shí)施。

引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題情境的對(duì)比中，選擇估算或精確計(jì)算，不斷地積累這方面的經(jīng)驗(yàn)。作為數(shù)學(xué)教師，要想辦法搜集或者捕捉一些好的素材，在具體的問(wèn)題情境當(dāng)中讓學(xué)生去感受，什么樣的問(wèn)題解決需要近似值，就是需要估算，哪些問(wèn)題解決一定要算出精確值，比如“全家吃飯”飯費(fèi)大約200元，就是估算。沒(méi)有必要精確地計(jì)算。但作為飯店的收銀員就需要精確計(jì)算，估算顯然不行。

2. 要選好題目，提出好問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)估算的意義和價(jià)值。

作為教師，在教學(xué)設(shè)計(jì)當(dāng)中，首先要選好題目，提出有估算價(jià)值的問(wèn)題。比如，三位數(shù)除以兩位數(shù)，你估一估這道題，它的商是幾位數(shù)？這個(gè)問(wèn)題就有價(jià)值。另外，只有選好題目、提出好問(wèn)題學(xué)生才能自覺(jué)體會(huì)到估算的價(jià)值，學(xué)生有了對(duì)估算價(jià)值這種體驗(yàn)以后，他的估算意識(shí)才能不斷增強(qiáng)。

另外，鼓勵(lì)學(xué)生利用估算來(lái)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果，養(yǎng)成好習(xí)慣。估算教學(xué)，要結(jié)合具體的問(wèn)題情境讓學(xué)生體會(huì)到估算的意義和價(jià)值，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，尤其是已有的知識(shí)水平和生活經(jīng)驗(yàn)提出合適的問(wèn)題，才能使得學(xué)生對(duì)估算的意義有深刻的體會(huì)，尤為重要的是，給學(xué)生充分的交流時(shí)間和空間，通過(guò)學(xué)生的交流讓學(xué)生解釋過(guò)算的過(guò)程。

面對(duì)不同的算式，學(xué)生有時(shí)用計(jì)算器計(jì)算，有時(shí)用精確筆算，結(jié)果對(duì)不對(duì)，特別是積的位數(shù)、商的位數(shù)，準(zhǔn)確不準(zhǔn)確，可以先用估算的方法，來(lái)確定一下它大致的取值范圍，這樣可以幫助學(xué)生來(lái)驗(yàn)證計(jì)算的結(jié)果。估算意識(shí)的培養(yǎng)，應(yīng)該從點(diǎn)點(diǎn)滴滴做起，使學(xué)生逐步地養(yǎng)成一種習(xí)慣，形成這種良好的習(xí)慣以后，他會(huì)自覺(jué)地進(jìn)行估算。

3. 鼓勵(lì)方法多樣化，重視交流、解釋過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)行合理估算。

由于學(xué)生對(duì)于相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的掌握情況及思維方式、水平不同，在估算中方法會(huì)多種多樣。教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生估算方法多樣化，應(yīng)讓學(xué)生充分交流，表達(dá)自己的想法，了解他人的算法，使學(xué)生體會(huì)到解決同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的方法，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行比較和優(yōu)化。

估算結(jié)果是多樣的，要關(guān)注估算結(jié)果是否合情合理。在估算教學(xué)中讓學(xué)生交流估算方

法尤其重要，只要切合估算的目的或解決問(wèn)題的需要就是好方法。因此不同的情境會(huì)選擇不同的估算方法。

教師教學(xué)中要強(qiáng)化估算意識(shí)并結(jié)合教學(xué)內(nèi)容作好估算示范。這種示范并不是包辦，而是給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生在科學(xué)的范圍內(nèi)進(jìn)行估算，同時(shí)對(duì)好的方法加以強(qiáng)調(diào)，進(jìn)行合理的估算。

4. 做好對(duì)估算的有效評(píng)價(jià)

（ 1 ）對(duì)估算意識(shí)的評(píng)價(jià)

首先看一個(gè)案例，摘自 TIMSS 的測(cè)試：

保羅用 $5 去購(gòu)買(mǎi)牛奶、面包和雞蛋。當(dāng)他到達(dá)商店時(shí)，發(fā)現(xiàn)這三種食品的價(jià)格如下圖所示：

在下列哪種情況下使用估算比精確計(jì)算有意義？

A. 當(dāng)保羅試圖確認(rèn) $5 是否夠用時(shí)；

B. 當(dāng)銷售員將每種食品的價(jià)錢(qián)輸入收銀機(jī)時(shí)；

C. 當(dāng)保羅被告知應(yīng)付多少錢(qián)時(shí)；

D. 當(dāng)銷售員數(shù)保羅所付的費(fèi)用時(shí)。

這個(gè)題目設(shè)計(jì)的比較巧妙，它通過(guò)一個(gè)具體問(wèn)題，考察學(xué)生能否在具體情境下對(duì)是否需要計(jì)算估算進(jìn)行判斷，也就是考察學(xué)生是否具備了一定的估算意識(shí)。此題對(duì)我們的最大啟發(fā)是，估算意識(shí)也是可以考察的。因此在進(jìn)行估算評(píng)價(jià)時(shí)，也要重視對(duì)估算意識(shí)的考察。

（ 2 ）對(duì)估算策略的評(píng)價(jià)

估算分為：一種是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)進(jìn)行估算，一種是脫離實(shí)際問(wèn)題的情境，純算式的進(jìn)行估算。

  根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，選擇合理的估算策略，結(jié)果合理即為正確

學(xué)生只要能夠解決實(shí)際問(wèn)題，那這個(gè)估算就應(yīng)該是合理的，這是針對(duì)著解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)的。老師需要認(rèn)識(shí)到，估算結(jié)果并不是與實(shí)際情況越接近就越好，只要合理即為正確。什么是合理，只要估算的結(jié)果，能夠有效地解決問(wèn)題就是合理。

  純?cè)囶}的估算，只要結(jié)果落在一定的區(qū)間內(nèi)，即為正確；但要根據(jù)不同年齡的學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際，給予針對(duì)性的評(píng)價(jià)

有一些題目，脫離了實(shí)際問(wèn)題情境，屬于純算式的估算，在這種情況下，我們提出：不能簡(jiǎn)單地把估算結(jié)果是否與精確值最接近作為唯一的標(biāo)準(zhǔn)， 只要能夠落在區(qū)間內(nèi)，就視為是合理的。 這個(gè)區(qū)間，也就是它的取值范圍。

同時(shí)，不同年齡的學(xué)生，要有不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。如低年級(jí)學(xué)生剛剛接觸估算，它的估算結(jié)果落在一個(gè)范圍比較大的區(qū)間內(nèi)，我們覺(jué)得就可以。高年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算經(jīng)驗(yàn)，就要引導(dǎo)他不斷地進(jìn)行再反思，再調(diào)整。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)： 78 × 365 積大約是多少，剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)候，學(xué)生可能這樣估 70 × 300 ，或者 80 × 300 ，或者 80 × 400 ，這樣我們都可以視為是合理的。有了一定的計(jì)算技能以后，老師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地去進(jìn)行反思，還可以估成 80 × 350 ，這時(shí)候的范圍就比原來(lái)要小多了。

  數(shù)學(xué)中比較重視估算結(jié)果是否落在了合適的數(shù)量級(jí)中

數(shù)量級(jí)也就是十、百、千，萬(wàn)……，換句話說(shuō)就可以用 10 的多少次次方。如上面提出的 TIMSS 測(cè)試題中有一道題的備選答案很有意思，“史密斯家每星期的用水量是 6000 升 ，他家每年的用水量大約是多少升？”讓學(xué)生從下面的答案進(jìn)行選擇。

A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000

這正是在考察學(xué)生對(duì)數(shù)量級(jí)的了解。一年 52 個(gè)星期， 52 × 6000 ，結(jié)果為十萬(wàn)數(shù)量級(jí)，再加上肯定比三十萬(wàn)大，所以結(jié)果為 C 。

關(guān)于評(píng)價(jià)估算策略的問(wèn)題，我們認(rèn)為學(xué)生們估算的策略不同，只要是合理的，就應(yīng)當(dāng)

鼓勵(lì)他們大膽地嘗試，鼓勵(lì)他們積極解釋自己的觀點(diǎn)，交流自己的看法。在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，肯定會(huì)有很多有價(jià)值的東西在課堂中涌現(xiàn)出來(lái)，教師要小心翼翼地去呵護(hù)住學(xué)生們的這份探究的精神，不要輕易地用一兩句話就否定一種方法。教師不要急于給予評(píng)判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學(xué)會(huì)調(diào)整，不斷地學(xué)會(huì)反思，提升孩子這種判斷的能力。

問(wèn)題四：如何依托現(xiàn)實(shí)情境，幫助學(xué)生理解常見(jiàn)的量

一、《課標(biāo)》中對(duì)“常見(jiàn)的量”的要求是什么

在小學(xué)階段“常見(jiàn)的量”基本在第一學(xué)段出現(xiàn)，主要有貨幣單位、時(shí)間單位和重量單位。《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂版》中這一部分內(nèi)容并沒(méi)有太大的變化。而在以往的教學(xué)中，一些教師對(duì)于《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“理解常見(jiàn)的量”的具體要求，落實(shí)得還不夠到位。對(duì)這一部分內(nèi)容的教學(xué)，有的教師僅僅停留在讓學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)這些常見(jiàn)的量，并能夠進(jìn)行單位間的簡(jiǎn)單換算。那么針對(duì)這一問(wèn)題，我們?cè)谡n堂教學(xué)中應(yīng)如何準(zhǔn)確的落實(shí)“理解常見(jiàn)的量”這一具體目標(biāo)呢？

二、如何幫助學(xué)生理解常見(jiàn)的量

（一）依托現(xiàn)實(shí)生活情境， 幫助學(xué)生理解常見(jiàn)的量。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提倡讓學(xué)生在生活情境中感受數(shù)學(xué)。北京市宣武師范附屬第一小學(xué)耿爽老師上的《克和千克》，和北京小學(xué)走讀部朱潔老師上的《認(rèn)識(shí)時(shí)間》，都能夠依托現(xiàn)實(shí)生活情境，幫助學(xué)生體現(xiàn)和理解常見(jiàn)的量。

在《克和千克》一課中 耿 老師注重依托現(xiàn)實(shí)生活情境，從學(xué)生熟悉的生活情境引入學(xué)習(xí)（從超市中買(mǎi)回的各種商品及生活中常見(jiàn)的與克和千克有關(guān)的情境），揭示本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這樣的引入能較好的 激發(fā)學(xué)生興趣，同時(shí)給孩子發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)會(huì)，也讓學(xué)生感受到“克和千克”與日常生活的密切聯(lián)系。

在《認(rèn)識(shí)時(shí)間》一課中，朱老師將認(rèn)識(shí)時(shí)間與學(xué)生在學(xué)校的作息時(shí)間相結(jié)合，這樣就能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的、熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)，幫助他們認(rèn)識(shí)鐘表，理解常見(jiàn)的時(shí)間單位。

（二）依托現(xiàn)實(shí)活動(dòng)情境， 幫助學(xué)生理解常見(jiàn)的量。

實(shí)踐是最好的老師，只有學(xué)生們親身經(jīng)歷了才會(huì)印象更深。因此 除了依托現(xiàn)實(shí)的生活情境，我們還可以依托現(xiàn)實(shí)的活動(dòng)情境，幫助學(xué)生理解常見(jiàn)的量，建立正確的質(zhì)量觀念、時(shí)間觀念等。

例如： “ 克和千克”的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定困難，學(xué)生雖然在生活中接觸過(guò)質(zhì)量問(wèn)題， 感知過(guò)輕和重，也曾經(jīng)在商品標(biāo)識(shí)上看見(jiàn)過(guò)千克、克，但多數(shù)學(xué)生都不知道它們是質(zhì)量單位，不知道它們之間的進(jìn)率 ，對(duì)于 1 克 或 1 千克 到底有多重，更是知之甚少。并且人們對(duì)質(zhì)量的感受力并不強(qiáng)，同一物品掂與提、左手與右手、每人的承受力等，感受結(jié)果不同。同時(shí)物體的體積與物體的質(zhì)量不一定是統(tǒng)一的，這些都給學(xué)生認(rèn)識(shí)質(zhì)量單位造成了困難。 宣武師范附屬第一小學(xué) 的 耿 老師，在教學(xué)《克和千克》一課中，就為學(xué)生準(zhǔn)備了大量的可操作的物品，為學(xué)生留出探究的空間，使學(xué)生能夠通過(guò)掂一掂、稱一稱等活動(dòng)，在感受 1 千克 和 1 克 的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)克和千克，同時(shí)幫助學(xué)生 建立正確的質(zhì)量觀念。

再如：時(shí)間單位的認(rèn)識(shí) 對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是很抽象的概念，沒(méi)有可視可觸的形狀與顏色，看不見(jiàn)、摸不著，讓他們來(lái)掌握抽象的時(shí)間概念難度很大。所以發(fā)展孩子的時(shí)間感必須與日常生活的具體事件聯(lián)系起來(lái)，使之有可以感知的具體內(nèi)容。 在《認(rèn)識(shí)時(shí)間》一課中，通過(guò)讓學(xué)生體驗(yàn) 1 分鐘能干什么？（拍球能拍多少下，跳繩能跳多少下，寫(xiě)字能寫(xiě)多少個(gè)），使學(xué)生體會(huì)、感受、理解 1 分鐘有多長(zhǎng)，幫助學(xué)生建立時(shí)間觀念。

三、有關(guān)“常見(jiàn)的量”的教學(xué)建議

（一）爭(zhēng)取家長(zhǎng)的配合與支持，提前為學(xué)生學(xué)習(xí)“常見(jiàn)的量”積累生活經(jīng)驗(yàn)。

由于“常見(jiàn)的量”這一部分內(nèi)容對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，因此生活經(jīng)驗(yàn)是否充足，將會(huì)影響到學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)。如果學(xué)生平時(shí)在生活中能經(jīng)常接觸到相關(guān)知識(shí)，他就能在這一方面學(xué)得很好，例如：學(xué)生平時(shí)有經(jīng)常跟隨家長(zhǎng)購(gòu)物的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)人民幣的相關(guān)知識(shí)就會(huì)輕松很多。反之，生活經(jīng)驗(yàn)的缺失會(huì)使學(xué)生不易理解，造成學(xué)習(xí)上的困難。

（二）運(yùn)用多種教學(xué)策略，將“常見(jiàn)的量”與現(xiàn)實(shí)生活有機(jī)結(jié)合。

教學(xué)中應(yīng)注重運(yùn)用多種教學(xué)策略，使“常見(jiàn)的量”的學(xué)習(xí)更貼近學(xué)生。要注重為學(xué)生提供多重學(xué)習(xí)素材，充分利用好學(xué)具，調(diào)動(dòng)學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、觀察與思考、發(fā)現(xiàn)、表達(dá)的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)和積極性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在實(shí)際中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。