三元一次方程組的解法(二)

教學目標

1．使學生熟練地掌握用消元法解簡單的三元一次方程組的一般方法；

2．通過對問題的一題多解，培養(yǎng)學生觀察、分析問題及靈活地解題的能力；

3．進一步理解消元法解方程組時體現(xiàn)的化歸意識．

教學重點和難點

重點：靈活地用代入法或加減法解三元一次方程組．

難點：正確地選擇消元的方法．

課堂教學過程設計

一、從學生原有的認知結(jié)構(gòu)提出問題

不解方程組，指出下列方程組中先消去哪個未知數(shù)，使得求解方程組較為簡便？(投影)

結(jié)合學生的回答情況，教師指出，第1題由②×2+③×7，消去z，得到方程④，由④與①組成關于x、y的二元一次方程組；第2題由①-②消去y，得方程④，④與③組成關于x、z的二元一次方程組，或由①-③消去x，得方程④，④與②組成關于y、z的二元一次方程組，或由②-③消z，得方程④，④與①組成關于x，y的二元一次方程組．

教師進一步追問：對上述方程組是否還有簡便方法求解呢？先由學生思考回答，然后教師補充小結(jié)：通過觀察方程組的構(gòu)成特點，發(fā)現(xiàn)第1題方程①、③中x與y的系數(shù)對應相等，因此可由③-①消去x與y項，求出z值，再將z值代入②得方程④，④與①組成關于x，y的二元一次方程組．第2題由①+②+③，得

x+y+z=30，                                       ④

再由④-①，④-②，④-③分別求出x，y，z．

二、講授新課

本節(jié)課，我們繼續(xù)來學習三元一次方程組的解法．

例1  解方程組

分析時，引導學生觀察方程組中每一個方程的構(gòu)成情況，并提出以下問題：

1．每個方程是否有缺項？

2．怎樣通過消元，使“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”？用代入法解行嗎？

(由于方程組中每個方程中的每一未知數(shù)的系數(shù)絕對值都不是1，因此將某一方程變形用代入法解較繁，用加減法解較好)

3．用加減法解消哪個未知數(shù)求解較為簡捷呢？

(用加減法解，應選擇消去系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)的最小的未知數(shù))

解：①+③，得 5x+5y=25．                                                        ④

②+③×2，得 5x+7y=31．                                                          ⑤

由④與⑤組成方程組

把x=2，y=3代入①，得

3×2+2×3+z=13，

所以 z=1．

此時，結(jié)合上述例題的解答過程，教師應再次提出問題：

1．先消未知數(shù)x或y可以嗎？比較上述三種不同的消元選擇，哪種消元選擇更好呢？

例2

解方程組

將④，⑤分別代入①，得

所以                                           y=45．

把y=45分別代入④、⑤，得

x=30，y=36．

本題也可作以下分析：

y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15 ∶12．因此，可設x=10k，y=15k，z=12k．將它們一起代入①中求出k值，從而求出x、y、z值．

解法二：由②，得x∶y=2∶3，

即                    x∶y=10∶15．

由③，得         y∶z=5∶4，

即                   y∶z=15∶12．

所以                x∶y∶z=10∶15∶12．

設，x=10k，y=15k，z=12k，代入①中得 10k+15k+12k=111，

所以                                       k=3．

故 x=30，y=45，z=36．

三、課堂練習

A．先消去x；                 B．先消去y；

C．先消去z；                 D．以上說法都不對．

3．解下列方程組：

四、師生共同小結(jié)

在師生共同回顧本節(jié)課所學內(nèi)容的基礎上，教師指出，一般地，用消元法解三元一次方程組，要先觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)情況，然后再決定是用代入法還是用加減法來解．對于方程組中方程間系數(shù)成比例，或具有一定聯(lián)系的特殊情況，可采取觀察、分析，巧解的程序來求解．

五、作業(yè)

解下列方程組：