二元一次方程組及其解法
　　　　　　　　　　撰稿：范興亞　　　 審稿：董萍　　　 責(zé)編：孫景艷
教學(xué)目標(biāo)：
　　了解二元一次方程（組）及解的定義，熟練掌握用代入法和加減法解二元一次方程組的方法并能靈活運(yùn)用。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：
　　1．二元一次方程（組）及解的應(yīng)用
　　　 注意：方程（組）的解適合于方程，任何一個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)個(gè)解，有時(shí)考查其整數(shù)解的情
　　　 　　　況，還經(jīng)常應(yīng)用方程組的概念巧求代數(shù)式的值。
　　2．解二元一次方程組
　　　 解方程組的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加減消元，轉(zhuǎn)化思想和整體思想也是本章重點(diǎn).

教學(xué)內(nèi)容解析：
一、二元一次方程組的有關(guān)概念復(fù)習(xí)：
　　1. 二元一次方程
　　　 含有 兩個(gè) 未知數(shù)，并且未知數(shù)的 項(xiàng) 的次數(shù)都是 一次，這樣的方程叫做二元一次方程.
　　2. 二元一次方程組
　　　 由 幾 個(gè) 一 次方程組成，并且含有 兩 個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組.
　　　 在初中只研究由兩個(gè)二元一次方程組成的二元一次方程組，它的一般形式是
　　　 （其中是不全為零）
　　3．方程組的解
　　　 方程組里 各個(gè) 方程的 公共 解叫做這個(gè)方程組的解.
　　4．解方程組
　　　 求方程組的 解 或判斷該方程組 無(wú)解 的過(guò)程叫做解方程組.

　　【例1】 已知方程.
　?、艑?xiě)出用表示的式子; ⑵寫(xiě)出方程的4個(gè)解來(lái).
　　解：⑴原方程可化為:,移項(xiàng),得:,
　　　　　所以. ①
　　　?、圃冖僦蟹謩e給一些數(shù)值,就可以求出的對(duì)應(yīng)值,把它們放在一起就是原方程的一個(gè)解.
　　　　　于是可以求出原方程的4個(gè)解為:
　　　　　;;;.
　　說(shuō)明：①原方程去括號(hào)時(shí),要乘以括號(hào)中的每一項(xiàng);②移項(xiàng)時(shí)要注意改變符號(hào);③第⑵小題的解有無(wú)數(shù)對(duì).

　　【例2】 選擇題:
　?、畔铝蟹匠讨?二元一次方程是( )
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　⑵下列六個(gè)方程組中,是二元一次方程組的有( )
　　?、?img doc360img-src='http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2916/10455326_18.gif' align=absMiddle src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" width=101 height=69> 　?、?img doc360img-src='http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2916/10455326_19.gif' align=absMiddle src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" width=85 height=48>　　　 ③
　　?、?img doc360img-src='http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2916/10455326_21.gif' align=absMiddle src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" width=85 height=48> 　　?、?img doc360img-src='http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2916/10455326_22.gif' align=absMiddle src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" width=47 height=48>　　　　　　 ⑥
　　A．1個(gè)　　　 B．2個(gè)　　　 C．3個(gè)　　　 D．4個(gè)

　　⑶下列各組數(shù)中① ② ③ ④是方程的解的有( )
　　A．1個(gè)　　　 B．2個(gè)　　　 C．3個(gè) 　　　D．4個(gè)
　　解：⑴在B中,項(xiàng)是二次的,不是一次,應(yīng)排除;
　　　　　在C中, 項(xiàng)是二次的,不是一次,應(yīng)排除;
　　　　　在D中,只有一個(gè)未知數(shù),少另一個(gè)未知數(shù),不是二元,應(yīng)排除;
　　　　　而A確是二元一次方程,故應(yīng)選A.
　　　?、脾俨皇钦椒匠?故不是二元一次方程組;②中求知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)出現(xiàn)了2次,故也不是二元一次方
　　　　　程組;③中一共出現(xiàn)了3個(gè)未知數(shù),故也不是二元一次方程組;④、⑤、⑥均是二元一次方程組.
　　　　　故應(yīng)選擇C項(xiàng).
　　　?、前癣俅敕匠?左邊=,右邊=10.
　　　　　因?yàn)樽筮?右邊,所以①是方程的解.
　　　　　同理可知④也是方程的解,而②和③不滿足方程.故應(yīng)選擇B項(xiàng).
　　說(shuō)明：
　?、甯鶕?jù)下列兩條來(lái)判斷一個(gè)方程是不是二元一次方程:①方程中是否只含有兩個(gè)未知數(shù);②未知項(xiàng)的次數(shù)
　　　是否為1.
　　㈡判斷方程組是否是二元一次方程組,按照其定義看方程組中的方程是不是整式方程,是否一共只有兩個(gè)
　　　未知數(shù),且未知項(xiàng)的次數(shù)是否為1.
　?、缗袛嘁唤M數(shù)是不是二元一次方程的解,只要把這一組數(shù)代入方程左右兩邊,若能使兩邊相等,則是方程
　　　的解,若兩邊不相等,則不是方程的解.

　　【例3】下列每個(gè)方程組后的一對(duì)數(shù)值是不是這個(gè)方程組的解?
　?、?img doc360img-src='http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2916/10455326_32.gif' align=absMiddle src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" width=91 height=48>,
　　⑵ ,
　　解：⑴因?yàn)?img doc360img-src='http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2916/10455326_36.gif' align=absMiddle src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" width=184 height=21>,所以是方程組的解.
　　　?、埔?yàn)?img doc360img-src='http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2916/10455326_37.gif' align=absMiddle src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" width=227 height=23>,所以不是的解.
　　說(shuō)明：判斷一對(duì)數(shù)是不是方程組的解,按照定義只需看它是不是方程組中每一個(gè)方程的解.具體方法是把這一對(duì)數(shù)值代入方程組中進(jìn)行檢驗(yàn),只要不是其中一個(gè)方程的解,那么它就不是方程組的解.

二、二元一次方程組的解法
1. 解二元一次方程組的基本思想是
　　

2. 解二元一次方程組的基本方法
　　(1) 代入消元法：
　　【例1】用代入法解方程組
　　　　　
　　解：把①代入②，得
　　　　
　　　　所以
　　　　把代人①，得.
　　　　所以

　　【例2】（為例1的變式）解方程組
　　　　　
　　分析：
　　(1)從方程的結(jié)構(gòu)來(lái)看：例2與例1有什么不同？
　　 　例1是用直接代人②的．而例2的兩個(gè)方程都不具備這樣的條件都不能直接代入另一條方程
　　(2)如何變形？
　　　 把一個(gè)方程變形為用含的式子表示（或含的式子表示）．
　　(3)那么選用哪個(gè)方程變形較簡(jiǎn)便呢？
　　　 通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)方程①中的系數(shù)為－1，因此，可先將方程①變形，用含的代數(shù)式表示，再代
　　　 入方程②求解．
　　解：由①得， ③ ，
　　　　把③代人②，得（問(wèn)：能否代入①中？）
　　　　，
　　　　所以,
　　　　.
　　　?。▎?wèn)：本題解完了嗎？把代入哪個(gè)方程求較簡(jiǎn)單？）
　　　　把代入③，得
　　　　
　　　　所以
　　　　所以

　　(2) 加減消元法：
　　【例3】解方程組
　　解法一：由①得： 代人方程②，消去.
　　解法二：把看作一個(gè)整體，由①得,代入方程②，消去.
　　　　　　肯定兩解法均正確，并比較兩種方法的優(yōu)劣．解法二整體代入更簡(jiǎn)便，準(zhǔn)確率更高．
　　　　　　有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的解法呢？教師可做以下啟發(fā)：
　　問(wèn)題1．觀察上述方程組，未知數(shù)x的系數(shù)有什么點(diǎn)？（相等）
　　問(wèn)題2．除了代入消元，你還有別的辦法消去嗎？
　?。▋蓚€(gè)方程的兩邊分別對(duì)應(yīng)相減，就可消去x，得到一個(gè)一元一次方程．）
　　解法三：①－②得：,所以
　　　　　　代人①或②，得到
　　　　　　所以原方程組的解為

　　[變式一]：
　　啟發(fā)：
　　問(wèn)題1．觀察上述方程組，未知數(shù)的系數(shù)有什么特點(diǎn)？（互為相反數(shù)）
　　問(wèn)題2．除了代入消元，你還有別的辦法消去嗎？
　?。▋蓚€(gè)方程的兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，就可消去，得到一個(gè)一元一次方程．）
　　解后反思：從上面的解答過(guò)程來(lái)看，對(duì)某些二元一次方程組可通過(guò)兩個(gè)方程兩邊分別相加或相減，消去其中一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，從而求出它的解．這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法．
　　想一想：能用加減消元法解二元一次方程組的前提是什么？
　　兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等.
　　[變式二]：
　　觀察：本例可以用加減消元法來(lái)做嗎？
　　必要時(shí)作啟發(fā)引導(dǎo)：
　　問(wèn)題1．這兩個(gè)方程直接相加減能消去未知數(shù)嗎？為什么？
　　問(wèn)題2．那么怎樣使方程組中某一未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值相等呢？
　　仔細(xì)觀察方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)的系數(shù)成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系．
　　因此：②×2，得
　　由①－③即可消去，從而使問(wèn)題得解．
　?。ㄗ穯?wèn)：③－①可以嗎？怎樣更好？）
　　[變式三]：
　　想一想：本例題可以用加減消元法來(lái)做嗎？
　　怎樣變形才能使方程組中某一未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值相等呢？
　　分析得出解題方法：
　　解法1：通過(guò)由①×3，②×2，使關(guān)于的系數(shù)絕對(duì)值相等，從而可用加減法解得．
　　解法2：通過(guò)由①×5，②×3，使關(guān)于的系數(shù)絕對(duì)值相等，從而可用加減法解得．
　　怎樣更好呢？
　　通過(guò)對(duì)比，總結(jié)出應(yīng)選擇方程組中同一未知數(shù)系數(shù)絕對(duì)值的最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)消元．
　　解后反思：用加減法解同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值不相等，且不成整數(shù)倍的二元一次方程組時(shí)，把一個(gè)（或兩個(gè)）方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等，從而化為第一類(lèi)型方程組求解．
　　從例1、例2、例3可知，只要方程組中未知數(shù)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一旦確定，那么它的解也就隨著確定了，這就使我們思考一個(gè)問(wèn)題：二元一次方程組的解與及這六個(gè)系數(shù)之間有什么樣的關(guān)系？如果找到這個(gè)關(guān)系，我們就可不再?gòu)念^一步一步地解，可直接利用這個(gè)關(guān)系得到方程組的解.
　　解：
　　　　若先消去y,
　　　　得：
　　　　得：
　　　　③+④得：
　　　　當(dāng)時(shí)，.
　　　　若消去，
　　　　得：
　　　　得：
　　　　⑤+⑥得：
　　　　當(dāng)時(shí)，.
　　　　∴ 當(dāng)時(shí)，原方程組的解為
　　　　這就是我們所要得到的結(jié)果.

　　練習(xí)：用上面的結(jié)果解方程組
　　解：
　　　　
　　　　∴ 原方程組的解為

　　【例4】已知關(guān)于的方程組和的解相同，求的值. 分析：既然兩個(gè)方程組的解相同，那么兩個(gè)方程組的解也應(yīng)與方程組的解相同，將此方程組的解代入含有、的另兩個(gè)方程，則解關(guān)于、的二元一次方程組，從而求出、的值.
　　解：求得方程組的解為，將其代入和可得：
　　　　
　　　　，得： ，
　　　　將 代入①得, 所以