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在廣袤的數(shù)學(xué)世界，一些重要的數(shù)字反復(fù)出現(xiàn)，為我們展現(xiàn)出不同領(lǐng)域的密切聯(lián)系，引起我們的驚嘆。這其中有一些整數(shù)是不足為奇的，因?yàn)楫吘瓜鄬?duì)于所有數(shù)字來(lái)說(shuō)，整數(shù)太“稀疏”了，所以每個(gè)整數(shù)實(shí)際上都很特殊——甚至連這樣在數(shù)學(xué)家哈代眼里乏味的整數(shù)也是特殊的——但是，無(wú)理數(shù)里也有一些有趣的數(shù)字。 不過(guò)，談到“無(wú)理數(shù)”的時(shí)候，你千萬(wàn)不要覺(jué)得這是“沒(méi)有道理”的數(shù)，而應(yīng)該理解為“不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)比值”的數(shù)，這是要牢記的。 一個(gè)重要的無(wú)理數(shù)就是圓周率。我們最初是在學(xué)習(xí)圓的時(shí)候遇到它的。這可能也是今天很多人遇到的第一個(gè)無(wú)理數(shù)——甚至在此之前我們連都還沒(méi)有接觸過(guò)。每年的月日，喜歡數(shù)學(xué)的人們總要聚集在一起吃掉圓圓的餡餅，表示“已經(jīng)把'派（）’吃下去了”。
雖然和圓密不可分，但是今天你見(jiàn)到這個(gè)數(shù)字如果只能聯(lián)想到圓，那可就不行了。至少，你應(yīng)該知道它和一系列級(jí)數(shù)有關(guān)。稍微深入一點(diǎn)的話，你還應(yīng)該知道它是一個(gè)“超越數(shù)”——它不是任何整數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式方程的解。嗯，證明這一點(diǎn)確實(shí)是很不容易的。
另一個(gè)常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底。數(shù)學(xué)江湖上長(zhǎng)久地流傳著它的傳奇。但這部分是由于，咳咳，怎么說(shuō)呢？很多時(shí)候人們只是因?yàn)椴辉敢庥?jì)算或者，而把底數(shù)換成而已。至少我是這么認(rèn)為的，呵呵。和圓周率相同的是，也是一個(gè)“超越數(shù)”。關(guān)于這個(gè)數(shù)的最有趣之處，就是所謂的歐拉公式：指數(shù)居然可以是虛數(shù)，真讓人瞠目結(jié)舌。第三個(gè)出場(chǎng)的是黃金分割，它是方程的解。這顯然是一個(gè)代數(shù)式了。已經(jīng)有太多的文章介紹過(guò)這個(gè)數(shù)，我們這里只介紹其中的幾點(diǎn)：一是這個(gè)數(shù)和所謂的斐波那契數(shù)列有密切的關(guān)系，而斐波那契數(shù)列在自然界分布很廣；二是它不但和正五邊形有密切的關(guān)系，還和正十二面體以及正二十面體聯(lián)系緊密。
黃金分割與正五邊形
黃金分割矩形
黃金分割螺旋這里我們要說(shuō)一下什么叫黃金矩形和黃金菱形，前者指的是長(zhǎng)寬之比為黃金分割率，后者則是對(duì)角線之比為黃金分割率。顯然，后者是前者中點(diǎn)連線之比。
接下來(lái)我們繼續(xù)關(guān)注三角形。一種非常特別的三角形的三邊之比為，顯然這是個(gè)直角三角形，非常經(jīng)典，在正方體中就存在。這里就有兩個(gè)無(wú)理數(shù)。
知道怎樣快速獲得這個(gè)角嗎？容易得很：拿出一張A4紙，沿著對(duì)角線對(duì)折，就得到了這個(gè)三角形。這是因?yàn)锳4紙的長(zhǎng)寬之比就是。
圖中所示角的倍就是，從正四面體的中心向它的四個(gè)頂點(diǎn)作連線，任意兩條連線的夾角即為此值。也許你在生活中很少遇到正四面體？那么你家里做飯的時(shí)候是不是用天然氣取暖？天然氣的主要成分是甲烷，而一個(gè)甲烷分子是由一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子構(gòu)成的，這些氫原子位于正四面體的頂點(diǎn)位置，碳原子位于正四面體的中心。在立體幾何里，有一種特殊的幾何體叫做“菱形十二面體”（下圖中紅色頂點(diǎn)處的平面角即是此角，由于立體圖有一定的變形，有的角看上去像是銳角了），每個(gè)面都包含這個(gè)角度。不但如此，蜂巢的底部也含有這個(gè)角度。
菱形十二面體
來(lái)源：遇見(jiàn)數(shù)學(xué)
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