數學中的各種常數是最令人敬畏的東西，它們似乎是宇宙誕生之初上帝就已經精心選擇好了的。

那一串無限不循環(huán)的數字往往會讓人陷入一種無底洞般的沉思——為什么這串數字就不是別的，偏偏就是這個樣呢。除了那些眾所周知的基本常數之外，還有很多非主流的數學常數，它們的存在性和無理性同樣給它們賦予了濃重的神秘色彩。

今天，就讓我們一起來看一看，數學當中到底有哪些神秘的無理常數。

√2 ≈ 1.4142135623730950488

古希臘的大哲學家 畢達哥斯拉（Pythagoras ）很早就注意到了數學與大千世界的聯系，對數學科學的發(fā)展有著功不可沒的貢獻。

他還創(chuàng)立了在古希臘影響最深遠的學派之一—— Pythagoras 學派。 Pythagoras 學派對數字的認識達到了審美的高度。他們相信，在這個世界中“萬物皆數”，所有事物都可以用整數或者整數之比來描述。

第一個無理數 √2 的發(fā)現者就是一位 Pythagoras 學派的學者，他叫做 Hippasus 。據說，一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了這樣的問題：邊長為 1 的正方形，對角線長度能用整數之比來表示嗎？

Pythagoras 自己做了一些思考，證明了這個數確實無法用整數之比來表示。由于這一發(fā)現觸犯了學派的信條，因此 Pythagoras 殺害了 Hippasus 。

利用勾股定理可知，這個數是方程 x^2 = 2 的唯一正數解，我們通常就記作 √2 。 √2 可能是最具代表性的無理數了，我們之前曾經介紹過很多 √2 的無理性的證明。無理數的出現推翻了古希臘數學體系中的一個最基本的假設，直接導致了第一次數學危機，整座數學大廈險些轟然倒塌。

無理數雖說無理，在生產生活中的用途卻是相當廣泛。例如，量一量你手邊的書本雜志的長與寬，你會發(fā)現它們的比值就約為 1.414 。這是因為通常印刷用的紙張都滿足這么一個性質：把兩條寬邊對折到一起，得到一個新的長方形，則新長方形的長寬之比和原來一樣。因此，如果原來的長寬比為 x : 1 ，新的長寬比就是 1 : x/2 。解方程 x : 1 = 1 : x/2 就能得到 x = √2 。

圓周率 π ≈ 3.1415926535897932385

不管圓有多大，它的周長與直徑的比值總是一個固定的數，我們就把這個數叫做圓周率，用希臘字母 π 來表示。人們很早就認識到了圓周率的存在，對圓周率的研究甚至可以追溯到公元以前；從那以后，人類對圓周率的探索就從未停止過。

幾千年過去了，人類對圓周率的了解越來越多，但卻一直被圓周率是否有理的問題所困擾。直到 1761 年，德國數學家 Lambert 才證明了 π 是一個無理數。

π 是數學中最基本、最重要、最神奇的常數之一，它常常出現在一些與幾何毫無關系的場合中。例如，任意取出兩個正整數，則它們互質（最大公約數為 1 ）的概率為 6 / π^2 。

自然底數 e ≈ 2.7182818284590452354

在 17 世紀末，瑞士數學家 Bernoulli 注意到了一個有趣的現象：當 x 越大時， (1 + 1/x)^x 將會越接近某個固定的數。例如， (1 + 1/100)^100 ≈ 2.70481 ， (1 + 1/1000)^1000 ≈ 2.71692 ，而 (1 + 1/10000)^10000 則約為 2.71815 。

18 世紀的大數學家 Euler 仔細研究了這個問題，并第一次用字母 e 來表示當 x 無窮大時 (1 + 1/x)^x 的值。他不但求出了 e ≈ 2.718，還證明了 e 是一個無理數。

e 的用途也十分廣泛，很多公式里都有 e 的身影。比方說，如果把前 n 個正整數的乘積記作 n! ，則有 Stirling 近似公式 n! ≈ √2 π n (n / e)^n 。在微積分中，無理數 e 更是大顯神通，這使得它也成為了高等數學中最重要的無理數之一。

黃金分割 φ = (1 + √5)/2

≈ 1.6180339887498948482

把一根線段分為兩段，分割點在什么位置時最為美觀？

分在中點處，似乎太對稱了不好看；分在三等分點處，似乎又顯得有些偏了。人們公認，最完美的分割點應該滿足這樣一種性質：較長段與較短段的長度比，正好等于整條線段與較長段的長度比。這個比值就叫做黃金分割，用希臘字母 φ 來表示。若令線段的較短段的長度為 1 ，則 φ 就滿足方程 φ = (1 + φ) / φ ，可解出 φ = (1 + √5)/2 。

在美學中，黃金分割有著不可估量的意義。在那些最偉大的美術作品中，每一個細節(jié)的構圖都充分展示了黃金分割之美。在人體中，黃金分割也無處不在——肘關節(jié)就是整只手臂的黃金分割點，膝關節(jié)就是整條腿的黃金分割點，而肚臍則位于整個人的黃金分割點處。

在數學中，黃金分割 φ 也展示出了它的無窮魅力。例如，在正五角星中，同一條線上三個點 A 、 B 、 C 就滿足 AB : BC = φ 。再比如，在 Fibonacci 數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 中，相鄰兩數之比將會越來越接近于 φ 。

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