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作者：劉佳寧 (清華大學(xué))
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編者按：本文主要參考自下文，特此致謝！
Source：

• Zhou X. Understanding the determinants of managerial ownership and the link between ownership and performance: comment[J]. Journal of financial economics, 2001, 62(3): 559-571. -PDF-
• deHaan E. Using and interpreting fixed effects models[J]. Available at SSRN 3699777, 2021. -PDF-
• 知乎推文：固定效應(yīng)回歸的兩種實(shí)現(xiàn)方法 -Link-

目錄

• 1. 引言

• 2. 固定效應(yīng)模型理解

• 2.1 最小二乘虛擬變量估計(jì)法

• 2.2 個(gè)體內(nèi)差分估計(jì)法

• 3. 固定效應(yīng)模型顆粒度選擇

• 4. 總結(jié)

• 5. 相關(guān)推文

1. 引言

在實(shí)證研究中，時(shí)間和個(gè)體雙重固定效應(yīng)模型隨處可見(jiàn)。但在對(duì)個(gè)體固定效應(yīng)選擇時(shí)，究竟是選擇更細(xì)的公司固定效應(yīng)還是更粗的行業(yè)固定效應(yīng)？為什么有時(shí)兩種控制方法會(huì)使結(jié)果產(chǎn)生顯著性變化，甚至符號(hào)變化？本文進(jìn)一步總結(jié)了實(shí)踐中固定效應(yīng)模型的使用，并結(jié)合具體問(wèn)題探討了 “個(gè)體” 固定效應(yīng)選擇層級(jí)的問(wèn)題。

2. 固定效應(yīng)模型理解

2.1 最小二乘虛擬變量估計(jì)法

固定效應(yīng)可以在一定程度上解決遺漏變量帶來(lái)的估計(jì)偏差。在實(shí)踐中，我們通常生成一系列的虛擬變量來(lái)建立一個(gè)大型變量矩陣進(jìn)行回歸。對(duì)于個(gè)體 ，虛擬變量定義為 ，如果是其他個(gè)體，則 。包含虛擬變量的固定效應(yīng)模型如下：

該方法的基本 Stata 命令為 reg Y X Z i.id。

2.2 個(gè)體內(nèi)差分估計(jì)法

固定效應(yīng)回歸命令通常使用一種數(shù)學(xué)技巧產(chǎn)生與原模型相同的系數(shù)，但計(jì)算更容易。具體地，將個(gè)體不可觀測(cè)且不隨時(shí)間變化的變量表示為 ，個(gè)體可觀測(cè)不隨時(shí)間變化的變量表示為 ，可以通過(guò)組內(nèi)離差變換消除 和 ：

其中，，， 為個(gè)體內(nèi)差值，即去除個(gè)體均值后的值。通過(guò)個(gè)體變換，不僅去除了不可觀測(cè)的固定效應(yīng) ，同時(shí)去除了可觀測(cè)的不隨時(shí)間變化的變量 。該方法的 Stata 命令包含三種等價(jià)的基本代碼 xtreg Y X, fe、areg Y X, absorb(id)、reghdfe Y X, absorb(id)。

接下來(lái)，我們以 Kleiber 和 Zeileis (2008) 的 Grunfeld.dta 數(shù)據(jù)集為例，對(duì)兩種回歸結(jié)果進(jìn)行比較分析。其中，被解釋變量是 invest，解釋變量是 mvalue 和 kstock，個(gè)體變量是 company，時(shí)間變量是 year。

3. 固定效應(yīng)模型顆粒度選擇

在固定效應(yīng)模型選擇，特別是對(duì)于個(gè)體固定效應(yīng)的選擇時(shí)，我們需要著重考慮數(shù)據(jù)的組間、組內(nèi)變異情況和回歸的經(jīng)濟(jì)含義。以 Zhou (2001) 的文章內(nèi)容為例：

在探究公司績(jī)效與管理層持股之間的關(guān)系時(shí)，實(shí)證研究出現(xiàn)了不一致的結(jié)果。這被解釋為內(nèi)部所有權(quán)的復(fù)雜作用：一方面管理層持股的增加協(xié)調(diào)了管理者和股東的利益，從而提高了績(jī)效；另一方面也促進(jìn)了管理防御，并對(duì)績(jī)效產(chǎn)生負(fù)面影響。在實(shí)證過(guò)程中，控制與不控制公司的固定效應(yīng)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生了不同的影響。

管理層所有權(quán)雖然在不同公司之間有很大的不同，但在一個(gè)公司內(nèi)部，管理層所有權(quán)通常每年變化緩慢。由于理性的管理者將預(yù)期的長(zhǎng)期利益最大化，因此尚不清楚的是，一年內(nèi)所有權(quán)的微小變化是否預(yù)示著管理激勵(lì)機(jī)制的顯著變化。即使隨著時(shí)間的推移，管理層所有權(quán)增加會(huì)提高公司績(jī)效，這種影響預(yù)計(jì)會(huì)在橫截面數(shù)據(jù)中顯示出來(lái)。

一個(gè)例子有助于說(shuō)明這一點(diǎn)，比較兩個(gè) CEO：

• CEO A 平均持有公司 10% 的股票；
• CEO B 平均持有公司 0.1% 的股票。

假設(shè) CEO 的持股比例每年的變化很小，比如小于 10% ，而且在一個(gè)變化緩慢且受控制的世界中基本上是隨機(jī)的。然后，觀察到的所有權(quán)分配為：

• CEO A 在 9% - 11% 之間；
• CEO B 在 0.09% - 0.11% 之間。

如果管理層持股提供了重要的激勵(lì)因素，可以預(yù)計(jì)兩位 CEO 的業(yè)績(jī)會(huì)有顯著差異。但對(duì)于兩家公司來(lái)說(shuō)，每家公司的業(yè)績(jī)并不會(huì)因管理層持股在一年內(nèi)的微小變化而發(fā)生明顯變化。當(dāng)加入公司固定效應(yīng)時(shí)，我們探究的是每家公司內(nèi)部管理層持股變化對(duì)該公司績(jī)效的影響，因此可能不會(huì)得到管理層持股增加能夠有效提高公司業(yè)績(jī)的結(jié)論。

如果施加公司固定效應(yīng)能夠解決因未觀察到的企業(yè)異質(zhì)性而產(chǎn)生的內(nèi)生性問(wèn)題，那么使用工具變量對(duì) OLS 回歸結(jié)果的改善將和固定效應(yīng)模型的結(jié)果類(lèi)似，但研究中發(fā)現(xiàn)所有權(quán)-績(jī)效之間的關(guān)系在固定效應(yīng)回歸中消失，但在工具變量回歸中變得更強(qiáng)。

Zhou (2001) 使用來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)普爾 1993-1997 年 ExecuComp 數(shù)據(jù)集對(duì) CEO 持股占比數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。

Table 1 顯示了 CEO 所有權(quán)的內(nèi)部變化和橫截面變化之間的顯著差異。表格中顯示的持股數(shù)據(jù)是 CEO 所持有的公司總股份的百分比。可以看出管理層所有權(quán)的變化通常會(huì)隨著時(shí)間的推移而緩慢變化，但不同公司之間差異巨大。這些數(shù)字表明，所有權(quán)的微小內(nèi)部變化似乎不太可能意味著激勵(lì)機(jī)制的實(shí)質(zhì)性變化，并在年內(nèi)對(duì)業(yè)績(jī)產(chǎn)生可察覺(jué)的影響。

Table 2 顯示了 CEO 持股比例逐年變化的分布情況。這些變化的計(jì)算方法是用年末-年初所有權(quán)的差額除以前一年的所有權(quán)。對(duì)于全部樣本，近一半的絕對(duì)變化小于 10%。表中還報(bào)告了平均持股比例分別超過(guò) 1% 和 10% 的 CEO 分布情況。如第三和第四列所示，對(duì)于持有較高股權(quán)的首席執(zhí)行官來(lái)說(shuō)，CEO 持股變化明顯更小。在持有公司 10% 以上股份的 CEO 中，約有四分之三變動(dòng)幅度小于 10%。

CEO 所有權(quán)如此微小的變化，并不支持管理層股權(quán)激勵(lì)每年都有顯著變化的觀點(diǎn)。在長(zhǎng)期的雇傭關(guān)系中，經(jīng)理的行為不太可能因?yàn)楣蓹?quán)的微小且可能是暫時(shí)的變化而改變。例如，人們不會(huì)期望一個(gè)經(jīng)理在一年內(nèi)因?yàn)楣ぷ髋Χ黾恿?5% 的持股，然后在第二年賣(mài)出 5% 的股份后放松。樣本中的大多數(shù)公司似乎都有一個(gè) CEO 所有權(quán)的目標(biāo)水平，該目標(biāo)水平不隨時(shí)間變化或變化緩慢。這是有道理的，因?yàn)樗袡?quán)可用于激勵(lì)管理層穩(wěn)定努力工作，以使公司的長(zhǎng)期價(jià)值最大化。

與小的內(nèi)部變異形成鮮明對(duì)比的是，公司間的 CEO 持股權(quán)變化非常大。Table 3 比較了 CEO 的平均所有權(quán)。根據(jù)每個(gè) CEO 在樣本期內(nèi)的平均持股情況，整個(gè)樣本被分成十分位數(shù)。表格顯示了十分位數(shù)之間的巨大差異。最高的十分位數(shù)的股票持有量大約是最低的十分位數(shù)的 1000 倍。

因此在實(shí)踐過(guò)程中，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)的橫截面變異和組內(nèi)變異情況進(jìn)行有效匯報(bào)，并根據(jù)經(jīng)濟(jì)含義來(lái)選擇到底應(yīng)該采用顆粒度更細(xì)的固定效應(yīng) (公司、個(gè)體固定效應(yīng)) 還是顆粒度更粗的固定效應(yīng) (行業(yè)、城市固定效應(yīng))。

4. 總結(jié)

本文總結(jié)了固定效應(yīng)的兩種估計(jì)方式，并著重解釋了為什么研究人員經(jīng)常將固定效應(yīng)描述為對(duì) X 的組內(nèi)變異分析。進(jìn)一步基于 Zhou (2001) 的 “所有權(quán)-績(jī)效” 研究，分析了固定效應(yīng)顆粒度結(jié)果選擇對(duì)回歸結(jié)果的可能影響。在未來(lái)研究中，建議匯報(bào)數(shù)據(jù)的橫截面、組內(nèi)變異情況，并針對(duì)具體研究問(wèn)題考慮固定效應(yīng)選擇的合理性。

5. 相關(guān)推文

Note：產(chǎn)生如下推文列表的 Stata 命令為：
? lianxh 固定效應(yīng), m
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? ssc install lianxh, replace

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