本篇有一難一易兩個(gè)例題，分別說(shuō)明手拉手模型在其中所起的作用。

一．例4：

       已知，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，AD=DE，∠ADE=∠BAC=α。

（1）如圖1，若α=90°，求∠DCE。

解析：

       若連A、E，則有兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，而且頂角是90°。但這兩個(gè)頂角頂點(diǎn)并不重合，所以這兩個(gè)三角形并不構(gòu)成一個(gè)手拉手模型。

       在D點(diǎn)為BC上任意一點(diǎn)的情況下，我們可以猜測(cè)所求∠DCE為45°。而已知的兩個(gè)等腰直角三角形的底角都為45°，因此，我們優(yōu)先考慮通過(guò)手拉手模型的構(gòu)造，造出兩個(gè)全等三角形，轉(zhuǎn)移角度，使得所求角和已知的某一個(gè)等腰直角三角形的底角相等。

       因?yàn)橐延袃蓚€(gè)等腰直角三角形，所以存在一個(gè)選擇問(wèn)題，新構(gòu)造的一個(gè)等腰直角三角形是與△ABC還是與△ADE共頂角頂點(diǎn)。

       不妨兩個(gè)方案都試一試，都比較簡(jiǎn)單。

       最后可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造一個(gè)以DC為腰，以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，是可行的方案。這個(gè)方案的好處是可以將所求角∠DCE轉(zhuǎn)移出去，使得它和構(gòu)造出的一個(gè)已知角相等。而另一個(gè)方案則沒(méi)有這樣的效果。

       所以，過(guò)D點(diǎn)作DF垂直于DC，交CA的延長(zhǎng)線于F，則△FDC和△ADE構(gòu)成一個(gè)手拉手模型。

       因此，△CDE≌△FDA。所以∠DCE=∠DFA=45°。

（2）如圖2，若α=120°，求∠DCE。

              解析：

       同（1），過(guò)D作射線DF，使∠FDB=60°，射線DF交CA延長(zhǎng)線于F。

       則，∠FDC=120，∠DFC=180°-120°-30°=30°=∠DCF，所以△FDC也是要給以120°角為頂角的等腰三角形。所以，它和△ADE形成一個(gè)手拉手模型。

       所以，∠DCE=∠DFA=30°。

（3）如圖3，點(diǎn)E在直線BC的下方，∠DCE于∠ACB是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？試說(shuō)明理由。

       解析：

       在（1）和（2）這兩個(gè)頂角分別為90°和120°的特例中，我們發(fā)現(xiàn)∠DCE都等于∠ACB。如果在兩個(gè)已有等腰三角形的頂角相等但并未告知具體角度的情況下，∠DCE和∠ACB還是相等關(guān)系嗎？

       只要繼續(xù)按照前面兩例的思路構(gòu)造類似的手拉手模型，是可以證明這個(gè)相等關(guān)系是仍然存在的。證明細(xì)節(jié)同學(xué)們可自行完成。

二．例5：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-2,0)，B(0,2 )，∠ABO=30°，R(-6,0)，點(diǎn)P為線段BR上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊作等腰△APQ，PA=PQ，且∠APQ=∠RAB，連接AQ，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABQ的面積是否變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍。

解析：

       按慣例，解題從分析題設(shè)開始。

       題目問(wèn)，△ABQ的面積是否隨著D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化。那我們就分析這個(gè)三角形及其面積。

       一個(gè)三角形的面積是否變化，可以有兩個(gè)角度，一個(gè)是分析三角形本身，一個(gè)是把這個(gè)三角形置身于一個(gè)合適的模型當(dāng)中，看這個(gè)模型除去這個(gè)三角形后剩余的面積是否變化，即有些同學(xué)了解的”割補(bǔ)法“的應(yīng)用。

       我們首先考察這個(gè)三角形本身。一個(gè)三角形的面積等于底邊長(zhǎng)乘以高的積的一半?？疾焖拿娣e變還是不變，我們優(yōu)先的思路是在這個(gè)三角形中找一條定邊作為底邊，然后考察它上面的高。如果高也是確定長(zhǎng)度的，就可以斷定面積是定值了。

       剛好，我們就發(fā)現(xiàn)了△ABQ就有一條底邊AB是定長(zhǎng)，順理成章，我們就要考察AB上的高，比如說(shuō)是QM，是否是一個(gè)定長(zhǎng)。一點(diǎn)（Q）到一條定直線（AB）的距離是否變化，就看這個(gè)點(diǎn)是否在一條與AB平行且距離保持不變的定直線上。

       顯然，本例中，Q是隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，它是一個(gè)隨動(dòng)點(diǎn)。所以，我們要考察Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是不是一條和AB平行且距離保持不變的定直線。

       現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了考察Q點(diǎn)的軌跡是不是一條直線，且它是否和AB的距離為定值。

       考察一個(gè)點(diǎn)的軌跡是否是一條定直線，在實(shí)戰(zhàn)中，一般可以考察它是否是在一個(gè)定角的某一條確定的夾邊上運(yùn)動(dòng)。比如說(shuō)，現(xiàn)在RB就是一條定直線，R是一個(gè)頂點(diǎn)，如果∠QRB是一個(gè)定角，那么Q就一定是在直線RQ上運(yùn)動(dòng)。如果直線RQ還∥AB，則Q到AB的距離就是定值了，即AB上的高就是定值。

   所以，問(wèn)題現(xiàn)在又轉(zhuǎn)化成了，如果將Q點(diǎn)和一條定線段的端點(diǎn)連接，能夠確定所形成的以這個(gè)端點(diǎn)為頂角的角是一個(gè)定角，且連接的線段和AB平行，就大功告成。

   本例中定線段有幾條，但滿足和Q一起形成一個(gè)定角的線段我們則要好好思考一下，哪一條可以滿足。

   我們現(xiàn)在需要讓我們新造的這個(gè)角等于一個(gè)確定的角度，一般應(yīng)以兩個(gè)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)。而圖形中已經(jīng)給出了兩個(gè)頂角相等的兩個(gè)等腰三角形，所以我們大概率應(yīng)該是通過(guò)手拉手模型來(lái)構(gòu)造這兩個(gè)全等的三角形。

   可以把P、Q的位置多變化幾次，取一些極端位置來(lái)考察“以Q所在直線為一條夾邊，以已知定線段為另一條夾邊，以這條定線段的端點(diǎn)為角頂點(diǎn)的角”的變化，如果有某一條定線段使得這個(gè)角似乎是不變的，那我們就證明這個(gè)角確實(shí)是不變的。

   這個(gè)過(guò)程不需太長(zhǎng)，應(yīng)該就可以找到∠QRB。它應(yīng)該總是等于30°。如果它確實(shí)是等于30°，那么，由于直線RQ還是和AB平行的，這樣就打通了整個(gè)解題思路了。

   現(xiàn)在就假設(shè)我們要證明∠QRB=30°，那么怎么樣構(gòu)造出一個(gè)什么樣的手拉手模型來(lái)造出兩個(gè)全等的三角形，而且∠QRB是其中的一個(gè)角呢？

   既然目標(biāo)很明確，實(shí)現(xiàn)路徑就不難找到。顯然，我們可以過(guò)P向下作射線PN∥y軸，且使PN=PR。這樣三角形△PRN就是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形，而且和頂角同為120°的等腰三角形APQ共頂點(diǎn)，這樣，這兩個(gè)三角形就構(gòu)成了一個(gè)手拉手模型。

   所以，△PAR≌△OQN

   所以，∠PNQ=∠PRA=30°。

   這個(gè)結(jié)果離我們證明∠PRQ=30°還有距離。

   因?yàn)?/span>∠PRN=∠PNR=30°，如果要證明∠PRQ=30°，其實(shí)是要證明Q在直線RN上。

   因?yàn)?/span>∠PNQ=∠PNR=30°，所以Q就是在射線NR上。

   所以∠PRQ=∠PRN=30°。

   解題的具體過(guò)程略去，請(qǐng)同學(xué)們自行完成。