在全等三角形的學習中，我們經常會遇到一類全等的圖形，其形狀像旋轉的表針，通常被稱為“手拉手模型”。

所謂手拉手模型，是指有公共頂點的兩個等腰三角形，頂角相等.頂點相連的四條邊形象的可以看作兩雙手.善于發(fā)現(xiàn)和應用這個模型，有助于提高七年級學生的解題能力，同時也為后續(xù)相似三角形的學習打下基礎。

下面以一道幾何題為例淺析手拉手模型在全等三角形中的應用，希望能為大家提供些許破解之術.

例題講解

1. 已知：△ABC，△EDC均為等邊三角形. 求證：（1）△ACD≌△BCE. （2）∠APB=60°（3）PC平分∠BPD.

學情分析

（1）此問要求學生會用SAS定理判定△ACD與△BCE全等.考生此問不得分可能有以下原因：

①知道用SAS判定方法，但是找不到相等的一組角作為全等條件.

②答題時沒有按照字母對應順序書寫.

③不能發(fā)現(xiàn)△ABC和△EDC圖形的特殊性，沒有得到相等的邊.

通過讀題我們發(fā)現(xiàn)第一問難度不大，應是所有學生都得到分數(shù)的題目，學生完成此問要具備扎實的幾何基礎知識.此問最易錯的地方是找不到相等的一組角.

（2）根據(jù)第一問由全等性質，得出∠CAD=∠CBE，再依據(jù)“蝴蝶型”得出AD和BE的夾角∠APB=60°，這個結論不隨等邊三角形的位置變化而變化，具有不變性.此問學生不得分可能有以下原因：

①幾何基礎較差，沒有在已知條件的幫助下得出∠CAD=∠CBE.

②思路正確的前提下沒有識別出“蝴蝶型”.

③思考占用過多時間，以致影響后面的答題時間.

這道題是第二問，臨場大部分考生應該得分。否則會影響到第三問.但是一部分考生沒有看出“蝴蝶型”，進而思路受阻.

（3）此問較難，七年級的學生會感覺綜合性較強.此問既可以通過分別作BE和AD的垂線段，根據(jù)角平分線的判定定理解決問題.亦可以截取，構建等邊三角形解決問題.學生不得分的主要原因是輔助線的添加方法想不到.

破解策略

原題延伸

變形延伸一：

圖（1）中，C 點為線段AB 上一點，△ACM，△CBN 是等邊三角形，AN與BM 相等嗎？說明理由；

圖（ 2） C 點為線段AB 上一點，等邊三角形ACM 和等邊三角形CBN 在AB 的異側，此時AN 與BM 相等嗎？說明理由；

如圖（3）C 點為線段AB 外一點，△ACM，△CBN 是等邊三角形，AN 與BM相等嗎？說明理由．

解析：題中三問均是對等邊三角形性質的考查以及全等三角形的證明，由已知條件，利用等邊三角形的性質可找出對應邊及夾角相等，證明全等，即可得到線段相等．

變形延伸二：

（1）如圖1，點C 是線段AB 上一點，分別以AC，BC 為邊在AB 的同側作等邊△ACM 和△CBN，連接AN，BM．分別取BM，AN 的中點E，F(xiàn)，連接CE，CF，EF．觀察并猜想△CEF 的形狀，并說明理由．

（2） 若將（ 1） 中的“ 以AC， BC 為邊作等邊△ ACM 和△CBN”改為“以AC，BC 為腰在AB 的同側作等腰△ACM 和△CBN，”如圖2，其他條件不變，那么（1）中的結論還成立嗎？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．

解析：此題綜合考查等邊三角形的性質與判定，三角形全等的判定與性質，等腰三角形的性質等知識點．（1） 先求證△ACN≌△MCB ， 得出AN=BM ， ∠ANC=∠MBA ， 再證

△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，得出∠ECF=60°，證得結論成立；

（2）證明過程如上（1）中的結論只有CE=CF，而∠ECF 等于等腰三角形的頂角≠60°，得出結論不成立．

1、（2）、（3）

變形延伸一：

如圖兩個等邊三角形△ABD與△BCE，連結AE與CD，

證明：

(1)AE與DC之間的夾角為60°．

(2)AE與DC的交點設為H,BH平分∠AHC．

變形延伸二：

如圖，兩個正方形ABCD與DEFG,連結AG，CE，二者相交于點H．

問：

（1）AG與CE之間的夾角為多少度？

（2）HD是否平分∠AHE？

變形延伸三：

如圖兩個等腰直角三角形ADC與EDG，連結AG，CE,二者相交于點H

問：

（1）AG與CE之間的夾角為多少度？

（2）HD是否平分∠AHE？

變形延伸四：

兩個等腰三角形△ABD與△BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=α連接AE與CD，

問：

（1）△ABE≌△DBC是否成立？

（2）AE是否與CD相等？

（3）AE與CD之間的夾角為多少度？

（4）HB是否平分∠AHC？

模型抽象

手拉手模型

特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點 ．

結論：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC

變形：

小試身手

1、如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=8，點A為頂點，AC為腰，作等腰△ACD，且∠DAC=120°，則BD的長為__________.

2、如圖，已知A、C是半徑為2的⊙O上的兩動點，以AC為直角邊在⊙O內作等腰Rt△ABC，∠C=90°，連接OB，則OB的最小值為__________．

3、將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB＝2AD＝4．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉一個角度α（0°≤α≤180°），BD的延長線交直線CE于點P.

（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關系是 , 位置關系是 ；

（2）在旋轉的過程中，當AD⊥BD時，求出CP的長；

4、【問題探究】

（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由．

【深入探究】

（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45o，求BD的長．

（3）如圖3，在（2）的條件下，當△ACD在線段AC的左側時，求BD的長．

參考答案

1、試題解析：

本題與上述模型看似無關，但其實滿足手拉手模型的特征，如共頂點，等線段，需要轉化邊，但是缺少一組全等，因此本題的關鍵在于添加輔助線，構造手拉手模型。因為△CAD是一個頂角為120°的等腰三角形，且D與B已經連起來，故我們可以以A為頂點，AB為腰也構造一個頂角為120°的等腰三角形，這樣就構成了手拉手模型，出來了與BD相等的邊.以A為頂點，AB為邊作一個頂角為120°的等腰三角形ABE，連接CE，故有△BAD≌△EAC，所以就將我們要求的線段BD轉化為求EC.再根據(jù)△EBC是一個直角三角形來求EC的長.答案為10.

2、試題解析：

點A、C在運動的時候△ABC始終是一個等腰直角三角形，直角頂點是C，就可以以OC為直角邊作一個等腰直角三角形，構造手拉手模型將OB邊進行轉化.連接OC，以OC為直角邊作等腰直角三角形OCD，連接OA、AD，故有△OBC≌△DAC，求OB的最小值就轉化為了求AD的最小值，即當O、A、D三點共線的時候AD最短.答案為2根號2-2.

3、試題解析：

（1）BD=EC，BD⊥CE．

（2）如圖3所示：

∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE.

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE.

∵∠1=∠2，∴BP⊥CE.

∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四邊形ADPE為正方形．∴AD=PE=2.

∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°.

∴BD=CE=2根號3.∴CP=CE-PE=2根號3-2.

4、試題解析：

（1）BD=CE

（2）根號107cm

（3）（7根號2-3）cm

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