中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化

融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的若干路徑

汪曉勤

摘要：讓中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程(教材),不僅僅是一句口號(hào)。中國(guó)古代數(shù)學(xué)有著悠久的歷史、輝煌的成就和獨(dú)特的價(jià)值取向。其中不乏與中小學(xué)數(shù)學(xué)課程密切相關(guān)的內(nèi)容。從新知引入、問(wèn)題設(shè)計(jì)、概念辨析、定理證明、公式推導(dǎo)以及德育實(shí)施六個(gè)方面，說(shuō)明中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的問(wèn)題、概念、思想、方法以及人物故事等在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：中國(guó)古代數(shù)學(xué)史中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化數(shù)學(xué)文化初中數(shù)學(xué)

科學(xué)史家薩頓(G.Sarton, 1884—1956)說(shuō)過(guò)，科學(xué)史是文化史的核心。在提倡中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程(教材)的當(dāng)下(1),中國(guó)古代科學(xué)史料業(yè)已成為重要的中小學(xué)課程資源。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)(以下簡(jiǎn)稱“中算”)有著悠久的歷史、輝煌的成就和獨(dú)特的價(jià)值取向。十進(jìn)位值制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、比例算法、平面多邊形面積、多面體體積、線性方程組的解法、天元術(shù)、開(kāi)高次方、高次方程數(shù)值解、一次同余組的解法……都曾是領(lǐng)先于世界的數(shù)學(xué)杰作，其中不乏與中小學(xué)數(shù)學(xué)課程密切相關(guān)的內(nèi)容。本文試從新知引入、問(wèn)題設(shè)計(jì)、概念辨析、定理證明、公式推導(dǎo)以及德育實(shí)施六個(gè)方面，說(shuō)明中算史上的問(wèn)題、概念、思想、方法以及人物故事等在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

新知引入方面

運(yùn)用中算史料引入新課的方式有問(wèn)題引入、方法引入、法則引入等。

有關(guān)方程的主題，可以采用中國(guó)古代數(shù)學(xué)名題來(lái)引入。例如，可用學(xué)生耳熟能詳?shù)摹半u兔同籠”或“僧分饅頭”問(wèn)題來(lái)引入二元一次方程，或用《唐闕史》中記載的一道“公務(wù)員”考試題來(lái)引入：“一位行人傍晚經(jīng)過(guò)一片樹(shù)林，忽聽(tīng)得林間有人在說(shuō)話，細(xì)聽(tīng)方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽(tīng)得一個(gè)竊賊說(shuō)：'每人6匹(布),則多出5匹；每人7匹，則少了8匹。’試問(wèn)：共有幾個(gè)竊賊，幾匹贓物?”學(xué)生之前接觸過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題，且能夠用算術(shù)方法或一元一次方程加以解決。但在只設(shè)一個(gè)未知數(shù)的情況下，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系并不簡(jiǎn)易，列方程顯得很不方便；而引入兩個(gè)未知數(shù)后，用符號(hào)語(yǔ)言呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系就變得一目了然，從而可以揭示多設(shè)一個(gè)未知數(shù)的必要性。

有關(guān)幾何定理的主題，可以采用公式或方法來(lái)引入。例如，《九章算術(shù)》中給出了“圭田”(三角形)的面積公式“半廣以乘正從”(半底乘高)。對(duì)此，劉徽(約225—約295)的推導(dǎo)方法是“半廣知，以盈補(bǔ)虛為直田也”,也就是通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”(出入相補(bǔ)，如圖1所示),將三角形轉(zhuǎn)化為矩形，從而得到三角形的面積公式。據(jù)此，教師可以從《九章算術(shù)》中的三角形面積公式出發(fā)，讓學(xué)生推導(dǎo)公式，從中引出中位線概念，并由此猜想中位線與底邊的位置和大小關(guān)系。

有關(guān)有理數(shù)運(yùn)算的主題，可以采用運(yùn)算法則來(lái)引入。《九章算術(shù)》中的“正負(fù)術(shù)”給出了有理數(shù)的加減運(yùn)算法則：做加法運(yùn)算時(shí)，“異名相除，同名相益”;做減法運(yùn)算時(shí)，“同名相除，異名相益”。例如，(-5)+(+3)=-(5-3)=-2(異名相除),(-5)+(-3)=-(5+3)=-8(同名相益),(+5)-(+3)=+(5-3)=+2(同名相除),(+5)-(-3)=+(5+3)=+8(異名相益)?？梢?jiàn)，正負(fù)數(shù)相加減，可以通過(guò)去符號(hào)后的數(shù)相加減，結(jié)果再加上一個(gè)符號(hào)來(lái)完成。因此，我們需要給正數(shù)或負(fù)數(shù)去符號(hào)后的數(shù)取個(gè)名字。由此，可以引出絕對(duì)值的概念。

問(wèn)題設(shè)計(jì)方面

根據(jù)數(shù)學(xué)史料編制數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略，有再現(xiàn)式、情境式、條件式、目標(biāo)式、對(duì)稱式、串聯(lián)式和自由式七種。(2)

再現(xiàn)式指的是直接采用歷史上的問(wèn)題，除了文字翻譯以外，原題中的條件和目標(biāo)保持不變。以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍往往都是以問(wèn)題集的形式呈現(xiàn)的，為今日的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富多彩的問(wèn)題。

以二元一次方程組為例，中國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)記載了很多典型的二元問(wèn)題——

盈虧問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的解法被《九章算術(shù)》列為數(shù)學(xué)的九個(gè)門(mén)類(lèi)之一。例如：“今有共買(mǎi)雞，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。問(wèn)：人數(shù)、雞價(jià)各幾何?”程大位(1533—1606)在《算法統(tǒng)宗》中也收錄了這類(lèi)問(wèn)題。例如：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中。一房七客多七客，一房九客一房空?！庇媒裉斓拇鷶?shù)符號(hào)表達(dá)，這類(lèi)問(wèn)題涉及的方程為

合成問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題涉及兩種不同物質(zhì)的重量或兩種不同商品的價(jià)格的計(jì)算。例如，《九章算術(shù)》提出：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。問(wèn)：玉、石重各幾何?”用“盈不足術(shù)”解決。再如，《算法統(tǒng)宗》提出：“今有布絹三十疋，共買(mǎi)價(jià)鈔五百七，四疋絹價(jià)九十貫，三疋布價(jià)該五十。欲問(wèn)絹布各幾何，價(jià)鈔各該分端的，若人算得無(wú)差訛，堪把芳名題郡邑?！睂?wèn)題歸入“方程”類(lèi)，用今天的代數(shù)符號(hào)表達(dá)，這類(lèi)問(wèn)題涉及的方程為

群物問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題涉及兩種物品的價(jià)格、容積的計(jì)算。例如，《九章算術(shù)》記載：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛。問(wèn)：大、小器各容幾何?”“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩。問(wèn)：牛、羊各直金幾何?”《孫子算經(jīng)》記載：“今有獸六首四足，禽二首二足，上有七十六首，下有四十六足，問(wèn)：禽、獸各幾何?”用今天的代數(shù)符號(hào)表達(dá)，這類(lèi)問(wèn)題涉及的方程為

互給問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題說(shuō)的是，已知甲、乙二人互給對(duì)方部分錢(qián)后各自擁有的錢(qián)數(shù)，求二人原有的錢(qián)數(shù)。例如，《九章算術(shù)》記載：“今有甲、乙二人持錢(qián)不知其數(shù)。甲得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而亦錢(qián)五十。問(wèn)：甲、乙持錢(qián)各幾何?”用今天的代數(shù)符號(hào)表達(dá)，這類(lèi)問(wèn)題涉及的方程為

(mi、ni∈N^*,mi與ni互素，i=1、 2)。

教師可以按照不同類(lèi)型來(lái)選取史料中的問(wèn)題，作為二元一次方程組的例題或習(xí)題。

但在很多情況下，需要采用有關(guān)策略對(duì)古代問(wèn)題做適當(dāng)?shù)母木帲蚋鶕?jù)史料編制全新的問(wèn)題。

例如，根據(jù)《九章算術(shù)》中的“勾股容方”問(wèn)題(“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾股容方幾何?”),運(yùn)用條件式策略和串聯(lián)式策略，可以設(shè)計(jì)關(guān)于相似三角形應(yīng)用的問(wèn)題：

1.如圖2,已知直角三角形的勾和股分別為a和b,求與直角三角形有公共直角的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)。

2.如圖3,已知銳角三角形的底和高分別為a和h,求銳角三角形內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)。

3.根據(jù)上題結(jié)果，你能用直尺和圓規(guī)作出銳角三角形的內(nèi)接正方形嗎?

自由式是根據(jù)史料來(lái)設(shè)定條件和目標(biāo)，與其他策略相比，發(fā)揮的空間更大。

例如，劉徽用兩種方法證明了《九章算術(shù)》中的“勾股容圓”公式(直角三角形的內(nèi)切圓直徑為直角邊長(zhǎng)乘積的2倍除以直角三角形的周長(zhǎng))。

第一種方法是，從直角三角形的內(nèi)心出發(fā)，將直角三角形分割成兩對(duì)小直角三角形和一個(gè)小正方形(如圖4所示),用4對(duì)同樣的小直角三角形各拼成4個(gè)長(zhǎng)方形，用4個(gè)同樣的小正方形拼成一個(gè)大正方形，再將它們拼成一個(gè)長(zhǎng)為直角三角形的周長(zhǎng)、寬為所求內(nèi)切圓直徑的大長(zhǎng)方形。根據(jù)圖4,可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：

1.已知BD=3,AE=4,求Rt△ACB的面積。

2.已知CD=1,BD=x,AE=y,求(x-1)(y-1)的值。

第二種方法是，過(guò)直角三角形的內(nèi)心作斜邊的平行線(如圖5所示),利用相似三角形的性質(zhì)以及比例的性質(zhì)求得內(nèi)切圓的直徑。具體地，設(shè)CB=a,CA=b,AB=c,內(nèi)切圓的半徑為r,因?yàn)镽t△GEO與Rt△ACB相似，故得 r a = GE b = GΟ c ,由等比定律得 r a = r+GE+GΟ a+b+c = b a+b+c ,于是得 r= ab a+b+c 。這里，劉徽利用了結(jié)論OG=AG,但沒(méi)有說(shuō)明為什么這個(gè)結(jié)論成立。據(jù)此，可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：

1.如圖5,已知O為Rt△ACB的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O作斜邊AB的平行線，分別交AC和BC于點(diǎn)G和H,證明：OG=AG,OH=BH。

2.如圖5,在Rt△ACB中，CB=5,CA=12,DH=x,EG=y,已知 x+y= 71 12 ,求x和y。

概念辨析方面

中算史料在數(shù)學(xué)教學(xué)中也可用于概念的辨析。

例如，關(guān)于二元一次方程組是否只能含兩個(gè)二元一次方程，不同教材的說(shuō)法不一。我們可以從劉徽的定義中尋找答案。劉徽注《九章算術(shù)》時(shí)指出：“群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之。并列為行，故謂之方程。”根據(jù)劉徽的方程(即今天所說(shuō)的方程組)定義，二元一次方程組含兩個(gè)方程——有幾個(gè)未知數(shù)，就有幾個(gè)方程。也就是說(shuō)，劉徽定義的方程是適定的。我們可以沿用劉徽的定義。

劉徽的定義也為我們揭開(kāi)了方程中“方”的含義。例如，前述《九章算術(shù)》中的牛羊問(wèn)題(屬于物群?jiǎn)栴})的方程表達(dá)如圖6所示。由于古人書(shū)寫(xiě)文字(擺算籌)是自上而下、自右而左的，按照我們今天的寫(xiě)法，就是圖7所示的增廣矩陣。所以，“方程”表達(dá)的是數(shù)量關(guān)系，但呈現(xiàn)的是方陣的形狀——實(shí)際上，現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)中的矩陣正源于方程。

雖然我們今天使用的大多數(shù)數(shù)學(xué)名詞都是西方數(shù)學(xué)的譯名，但也有不少名詞源于中國(guó)古代數(shù)學(xué)，不過(guò)內(nèi)涵已發(fā)生了變化，如“小數(shù)”“冪”之類(lèi)。

定理證明方面

平面幾何教學(xué)中，可以用中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的方法證明一些定理。通常有以下兩種情形：

首先，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家證明了某個(gè)定理，教師在教學(xué)中可以用同樣的方法證明同樣的定理。例如，關(guān)于勾股定理，可以用趙爽(約182—約250)的“弦圖”或劉徽的“出入相補(bǔ)”方法，分別如圖8、下頁(yè)圖9所示。

其次，教師在教學(xué)中可以用中國(guó)古代數(shù)學(xué)家證明某個(gè)定理的方法證明別的定理。例如，楊輝(約13世紀(jì)中葉)曾用“勾中容橫、股中容直”原理(如下頁(yè)圖10,O是矩形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別作一組鄰邊的平行線PQ、RS,則SOPDS=SOQBR)(3)推導(dǎo)測(cè)量日高的公式。教師在教學(xué)中可以用同樣的原理證明三角形一邊平行線定理：如圖11所示，在△ABC中，已知FG//BC,AD為BC上的高，由“勾中容橫、股中容直”原理，知S?FD=S?FM,S?GD=S?GQ,得S?NI=S?MR,即FG·AD=BC·AE,有 FG BC = AE AD ,又由 FE BD = EG DC = AE AD 以及勾股定理，可得 AF AB = AG AC 。

公式推導(dǎo)方面

代數(shù)教學(xué)中，可以用中國(guó)古代數(shù)學(xué)家慣用的方法推導(dǎo)某些公式。

例如，楊輝在《田畝比類(lèi)乘除捷法》一書(shū)中記載了以下問(wèn)題與解法(4):(1)“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)十二步，問(wèn)長(zhǎng)闊共幾何?術(shù)曰：四因積步，以差步自乘，并而開(kāi)平方除之，得長(zhǎng)闊共步。”意思是，已知長(zhǎng)方形的面積為864步(平方),長(zhǎng)寬之差為12步，求長(zhǎng)寬之和；如圖12所示，將四個(gè)長(zhǎng)方形連同以長(zhǎng)寬之差為邊長(zhǎng)的小正方形拼成一個(gè)大正方形，其邊長(zhǎng)即為長(zhǎng)寬之和，故得所求長(zhǎng)寬之和為 4×864+ 12 2 =60 (步)。(2)“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何?術(shù)曰：四之積步，減和自乘之積，余，開(kāi)平方除之，得長(zhǎng)闊差步?！币馑际?，已知長(zhǎng)方形的面積為864步(平方),長(zhǎng)寬之和為60步，求長(zhǎng)寬之差；同樣利用圖12,可得長(zhǎng)寬之差為 60 2 -4×864 =12 (步)。

這里，楊輝的幾何解法實(shí)際上對(duì)應(yīng)于解一元二次方程的配方法(該方法可以上溯至趙爽的《〈周髀算經(jīng)〉注》):如圖13所示，若所解方程為x²+px=q,則對(duì)方程變形得4x(x+p)=4q,進(jìn)一步變形得4x(x+p)+p²=p²+4q,即(2x+p)²=p²+4q ,于是原方程的正根為 x= -p+ p 2 +4q 2 ;類(lèi)似地，方程x²-px=q的正根為 x= p+ p 2 +4q 2 。

德育實(shí)施方面

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的故事是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施德育的理想素材。

例如，教學(xué)“平方差公式”時(shí)，可以在引導(dǎo)學(xué)生用幾何方法證明平方差公式后，將學(xué)生的方法進(jìn)行古今對(duì)照，指出其中一種方法(如下頁(yè)圖14所示)是三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的；接著，講述布衣數(shù)學(xué)家趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”的故事，告訴學(xué)生：古代數(shù)學(xué)家為生計(jì)而辛勞，卻珍惜光陰，勤奮鉆研學(xué)問(wèn)，最終取得杰出成就。

再如，中國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的一些測(cè)量問(wèn)題是教學(xué)“相似三角形應(yīng)用”的理想素材。早在西漢時(shí)期，天文學(xué)家就提出了一種測(cè)量日高的公式——“重差術(shù)”。如圖15所示，用長(zhǎng)度為a的竿子(“表”)在間距為d的兩個(gè)地點(diǎn)測(cè)日影，得影長(zhǎng)s1和s2,則日高為 Η=a+ ad s 2 -s 1 。由于大地并非如西漢時(shí)期人們想象的那樣是“平”的，故用上述公式測(cè)日高顯然是荒唐的。到了三國(guó)時(shí)期，劉徽將“重差術(shù)”用于海島高度的測(cè)量，并著《海島算經(jīng)》一書(shū)。南宋時(shí)期，楊輝在閱讀《海島算經(jīng)》時(shí)，對(duì)“重差術(shù)”產(chǎn)生了濃厚的興趣。他在《續(xù)古摘奇算法》一書(shū)中寫(xiě)道：“輝嘗置海島小圖于座右，乃是先賢作法之萬(wàn)一?！?5)可想而知，楊輝每天對(duì)著海島小圖苦思冥想，尋求古人“秘旨”,直到有一天，終于恍然大悟，獲得了“重差術(shù)”的推導(dǎo)方法。楊輝所據(jù)即上文所說(shuō)的“勾中容橫、股中容直”原理。利用該原理，圖15中有兩對(duì)等面積的矩形，分別相減，即得“重差術(shù)”。楊輝的故事，可以讓學(xué)生看到古代數(shù)學(xué)家精思致力、孜孜以求的探究精神。

又如，徐光啟(1562—1633)翻譯《幾何原本》的故事是初中平面幾何序言課的好素材。利瑪竇(M.Ricci, 1552—1610)在漢譯《幾何原本》(前六卷)的序言中說(shuō)道：“客秋，乃詢西庠舉業(yè)，余以格物實(shí)義應(yīng)。及譚幾何家之說(shuō)，余為述此書(shū)之精，且陳翻譯之難及向來(lái)中輟狀。先生曰：'吾先正有言，一物不知，儒者之恥。僅此一家已失傳，為其學(xué)者，皆暗中摸索耳。既遇此書(shū)，又遇子不驕不吝，欲相指授，豈可畏勞玩日，當(dāng)吾世而失之!嗚呼!吾避難，難自長(zhǎng)大，吾迎難，難自消微，必成之?！?6)利瑪竇的這段回憶中，我們看到徐光啟當(dāng)時(shí)心中那份沉甸甸的責(zé)任感和攻堅(jiān)克難的巨大勇氣。今天的學(xué)生完全可以從古代數(shù)學(xué)家的故事中汲取精神的力量。

結(jié)語(yǔ)

以上我們看到，讓中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程(教材),不僅僅是一句口號(hào)。就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，作為傳統(tǒng)文化不可分割的一部分，中算史為教師提供了豐富多彩的素材和思想養(yǎng)料，可以用于各種課型和課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。和世界數(shù)學(xué)史料所具有的教育價(jià)值一樣，中算史可以幫助教師構(gòu)建知識(shí)之諧、彰顯方法之美、營(yíng)造探究之樂(lè)、實(shí)現(xiàn)能力之助、展示文化之魅，而在達(dá)成德育之效方面更具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

就像一個(gè)人的思維方式會(huì)打上民族文化的烙印一樣，一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教育也絕不可能脫離本國(guó)的歷史和文化。誠(chéng)然，中國(guó)古代數(shù)學(xué)注重實(shí)用，注重算法，沒(méi)有建立起自己的演繹體系，但這絕不是我們數(shù)典忘祖、崇洋媚外的理由。中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化博大精深，本文所舉只是滄海一粟。我們有理由相信，教育取向的中算史研究、中算史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐和評(píng)價(jià)都將是未來(lái)HPM領(lǐng)域的重要課題。

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