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點(diǎn)擊上方「襄子的箱子」→右上角菜單欄→設(shè)為星標(biāo)【瘋狂的中國數(shù)學(xué)家】第 04 篇文章 《九章算術(shù)》是我國古代難得的一本數(shù)學(xué)著作，在唐朝時(shí)與其他九本《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、和《緝古算經(jīng)》被國子監(jiān)列為算術(shù)的教科書，合稱《算經(jīng)十書》。
有關(guān)《九章算術(shù)》最早由何人所作，目前已不可知，有人說是其誕生于黃帝時(shí)期，有人說是出自西周初年，但這兩種說法也大都只是傳說，不足為信。 對于《九章算術(shù)》，有廣義與狹義之分，廣義上來講，《九章算術(shù)》包含了由三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的注，還有初唐李淳風(fēng)等人的注釋。狹義上來講，《九章算術(shù)》僅指西漢張蒼和耿壽昌等編撰的文本。張蒼是先秦荀子的學(xué)生，據(jù)說荀子將《左傳》傳給了張蒼，張蒼又傳給了賈誼。張蒼是今天的河南人，出生于大概公元前252年左右，此時(shí)還處于戰(zhàn)國時(shí)期，當(dāng)秦始皇嬴政于公元前221年統(tǒng)一中國的時(shí)候，張蒼已到了而立之年。年少時(shí)，張蒼師從荀子，從老師那里得到了《左氏春秋傳》的承襲。后來，他在秦國為官，掌管文書、記事及官藏圖書，明悉天下圖書計(jì)籍。后來，也不知犯了什么罪，張蒼逃回了家鄉(xiāng)，幾近過著東躲西藏的日子。公元前207年，張蒼參加劉邦的起義軍，一直跟隨在劉邦身邊，直到進(jìn)入咸陽。參加起義軍兩年后，即公元前205年，張蒼因功被封為常山郡太守，后又跟隨韓信攻趙，取得陳余，張蒼也被任為代相。公元前203年，張蒼又為趙相，后跟隨劉邦平臧荼，因功受封為北平侯。同年，張蒼遷為計(jì)相，以列侯的身份于丞相蕭何府中做事，掌管各郡國的財(cái)政統(tǒng)計(jì)工作。史書中記載他善于計(jì)算，精通律歷，因此又被劉邦派去定章程。公元前196年，平定黥布之亂后，張蒼又被任命為淮南王相。劉邦去世后，呂氏當(dāng)政，張蒼又于公元前195年升遷為御史大夫。呂氏覆滅后，張蒼輔佐文帝，公元前176年又當(dāng)上了大漢朝的丞相。公元前162年，張蒼因?yàn)橛萌瞬划?dāng)，遭到了政敵的攻擊，被文帝指責(zé)。自此之后，年老的張蒼便以病辭職，最終于公元前152年去世，活了大概一百歲。張蒼自幼敏而好學(xué)，好讀書，且來者不拒，沒有什么是不看的，也沒有什么是不通的，其中，他最擅長律歷?；钪臅r(shí)候，張蒼留有著作十八篇，被《漢書·藝文志》歸入陰陽類。定章程是張蒼一生中最重要且最具有科學(xué)性質(zhì)的工作，其中包括算學(xué)、歷法、度量衡等幾個(gè)方面，從而確立了漢初所使用的歷法。（承襲秦制）在這些工作之余，張蒼整理了《九章算術(shù)》，為這本書的流傳起到了重要的作用。與古希臘時(shí)期的數(shù)學(xué)相比，中國古代的數(shù)學(xué)與古埃及的數(shù)學(xué)更為相近，以實(shí)用為主。古希臘人愛思辨，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是人們頭腦思辨的產(chǎn)物，因此重形式而輕實(shí)用。而《九章算術(shù)》里面的內(nèi)容很接地氣，重視算術(shù)，其中的大部分文本也都以抽象的計(jì)算公式為主。兩者有著重要的區(qū)別，古希臘只考慮數(shù)和圖形的性質(zhì)，而很少去考慮具體數(shù)值的計(jì)算。比如他們知道圓的周長和其直徑之比是一個(gè)常數(shù)，但這個(gè)常數(shù)具體是多少，一直都無人問津，一直到阿基米德才去計(jì)算這個(gè)數(shù)值。總的來說，《九章算術(shù)》包含九大章節(jié)，有：- 1. 方田，其中以算面積為主，還有世界上最早的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算；
- 3. 衰分，主要是以比例分配算法，以及若干異乘同除問題；
- 4. 少廣，主要是面積與體積的逆運(yùn)算，其中包括了世界上最早的開平方與開立方程序；
- 6. 均輸，包含賦稅的算法，以及一些算術(shù)難題；
- 7. 盈不足，主要是盈虧類的問題在數(shù)學(xué)上的各種算法；
- 8. 方程，是現(xiàn)在的線性方程組的解法和正負(fù)數(shù)加減法則；
- 9. 勾股，包括勾股定理、解勾股形、勾股容方、勾股容圓以及簡單的測望問題。
《九章算術(shù)》全書共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)問題并提供了其解法，當(dāng)然，其中的具體解法是由劉徽后來加進(jìn)去的。在最初的《九章算術(shù)》中，只有例題與答案，至于如何得到答案的，則一直是一片空白。比如在《九章算術(shù)》的第一章，有關(guān)“方田”的篇章中，大都是計(jì)算一些田地的面積問題：意思是說，假如有一塊田，寬十五步，長十六步，問，田的面積有多少？這就是一例非常簡單且常見的求面積數(shù)學(xué)應(yīng)用題，長乘以寬就是田的面積。在《九章算術(shù)》的第一章，還有關(guān)于分?jǐn)?shù)約分的問題，比如：這類問題非常直觀，但具體分?jǐn)?shù)的約分要怎么約呢？在劉徽的注中，他寫道“術(shù)曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。等數(shù)約之，即除也。其所以相減者，皆等數(shù)之重疊，故以等數(shù)約之?！?o:p>意思是說，可以取分子、分母一半的，就取它們的一半；如果不能取它們的一半，就在旁邊布置分母、分子的數(shù)值，以小減大，輾轉(zhuǎn)相減，求出它們的等數(shù)。用等數(shù)約簡之。用等數(shù)約簡之，就是除。之所以用它們輾轉(zhuǎn)相減，是因?yàn)榉肿?、分母都是等?shù)的重疊。所以用等數(shù)約簡之。實(shí)際上，東西方在這上面有著驚人的一致性，在歐幾里得的《幾何原本》中，給出了一個(gè)求最大公約數(shù)的具體操作方法。兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，就是同時(shí)被這兩個(gè)數(shù)整除的最大的數(shù)。很多人其實(shí)都不明白如何求最大公約數(shù)，都是靠直覺一個(gè)一個(gè)代入。使用歐幾里得給出的這種方法，你只需要做減法就能得到最大公約數(shù)，這里舉個(gè)例子。比如我們要求數(shù)字48和18之間的最大公約數(shù)，則：（48,18）=（30,18）=（18,12）=（12,6）=（6,6），由此得知，48和18的最大公約數(shù)是6。分?jǐn)?shù)的約分之后，又有關(guān)于不同分母之間的加減法，比如：意思就是，現(xiàn)在有兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是三分之一，另一個(gè)是五分之二，問，它們相加是多少？李淳風(fēng)的注中提到了計(jì)算不同分母之間加法的一般思路，術(shù)曰：母互乘子，并以為實(shí)。母相乘為法。意思是說，分母互乘分子，相加作為實(shí)，分母相乘作為法。比如在上面例題中，分母互乘分子，三分之一的分母“三”和五分之二的分子“二”相乘，得“六”，三分之一的分子“一”和五分之二的分母“五”相乘，得“五”，兩者相加為“十一”，是為“實(shí)”，也就是答案中的新分子。兩個(gè)分母“三”與“五”相乘為“十五”，作為“法”，也就是答案中的新分母。這樣一來，答案就呼之欲出了，為“十五分之十一”。在第七章“盈不足”篇中，有一些問題非常有意思，比如：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問：人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是說，現(xiàn)在有一群人一起去買東西，如果每個(gè)人出8錢，那么就會盈余3錢，如果每人出7錢，那么會有4錢的不足。問，有多少人，買的東西物價(jià)是多少？用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)方法，其實(shí)這就是一道二元一次方程組的題，我們設(shè)總共有x人，物價(jià)是y，根據(jù)題目中給出的條件，我們可以得出兩個(gè)方程：那么問題來了，《九章算術(shù)》中是如何解這類題的呢？根據(jù)現(xiàn)代的一些簡化與翻譯，劉徽的辦法是，此問中，人出8，記為a1，盈余3，記為b1，人出7，記為a2，不足4，記為b2。對于此類問題，我們都有一般解法，人數(shù)就是盈與不足相加，再除以兩組人差的絕對值，也就是，人數(shù)=（b1+b2）/（丨a1-a2丨），代入一下，得人數(shù)為7相應(yīng)的，物價(jià)是兩組數(shù)字交換相乘，再相加，除以兩組人差的絕對值，也就是，物價(jià)=（a1b2+a2b1）/（丨a1-a2丨），代入一下，得物價(jià)為53再舉個(gè)例子，今有共買雞，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。問：人數(shù)、雞價(jià)各幾何？我們用劉徽的辦法算一下，盈與不足相加，得27，兩組人數(shù)相減的絕對值，為3，兩組相除得9，人數(shù)為9雞的價(jià)錢，就是9與16相乘，加上11與6相乘，得210，除以兩組人差的絕對值3，得雞價(jià)為70實(shí)際上，劉徽的方法與二元一次方程的解法在本質(zhì)上是一樣的。在第七章中，還出現(xiàn)了等差數(shù)列求和的公式，這也是中國數(shù)學(xué)史上第一次有記載的等差數(shù)列求和公式。在中國古代，雖然沒有現(xiàn)在意義上的阿拉伯?dāng)?shù)字，但古人也有他們的計(jì)數(shù)方式，如下圖所示：《九章算術(shù)》第八章是有關(guān)方程的篇章。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，方程指的是含有未知數(shù)的等式，古今對方程的含義是差不多的，但有一點(diǎn)需要注意，古代的方程僅僅只是線性方程。中國古代沒有現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號，但解題的思路與現(xiàn)在是一樣的，古人在運(yùn)算中用數(shù)值在算板上的變化呈現(xiàn)運(yùn)算過程和結(jié)果，在《九章算術(shù)》中，就記錄了完整的演算程序。比如，看例題，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？意思是說，假設(shè)有3捆上等水稻，2捆中等水稻，1捆下等水稻，可以打出39斗實(shí)；2捆上等水稻，3捆中等水稻，1捆下等水稻，可以打出34斗實(shí)；1捆上等水稻，2捆中等水稻，3捆下等水稻，可以打出26斗實(shí)。問：1捆上等水稻、1捆中等水稻、1捆下等水稻的實(shí)各是多少？這其實(shí)可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)三元一次方程組，我們假設(shè)一捆上等水稻可以打出x斗實(shí)，一捆中等水稻可以打出y斗實(shí)，一捆下等水稻可以打出z斗實(shí)，列一個(gè)方程組，如下所示，分別求出x,y,z的解，就是最終的答案。劉徽的解法，與現(xiàn)代列方程的解法在本質(zhì)上是一樣的，而且非常先進(jìn)地運(yùn)用了高斯消元法。簡單來講，《九章算術(shù)》更像是一本數(shù)學(xué)應(yīng)用題題庫，通過前面的幾個(gè)例子，我們也可以輕易發(fā)現(xiàn)，這本數(shù)學(xué)書的內(nèi)容非常接地氣，與人們的生活息息相關(guān)。在第九章中，《九章算術(shù)》提到了勾股定理：今有句三尺，股四尺，問：為弦?guī)缀危?o:p>這三個(gè)問題，剛好就囊括了兩個(gè)直角邊為3和4，斜邊長為5的直角三角形，給定任意兩條邊，求另一條邊的邊長。根據(jù)另一本算經(jīng)《周髀筭經(jīng)》，勾股知識在中國起源的很早，至少可以追溯到公元前11世紀(jì)的商高。雖然上面例子只是勾股定理中的一個(gè)具體例子，但《九章算術(shù)》中給出了其通用解法，上面說“術(shù)曰：句股各自乘，并，而開方除之，即弦；又，股自乘，以減弦自乘，其余，開方除之，即句；又，句自乘，以減弦自乘，其余，開方除之，即股?！?o:p>意思是說，勾、股各自乘，相加，而對之作開方除法，就得到弦。又，股自乘，以它減弦自乘，對其余數(shù)作開方除法，就得到勾。又，勾自乘，以它減弦自乘，對其余數(shù)作開方除法，就得到股。盡管我們可以從這里得到勾股定理的通用公式，但怎么證明？這本書中卻沒有明說，劉徽在做注的時(shí)候，提到過使用出入相補(bǔ)原理對勾股術(shù)的證明，但由于其文字過于簡略，究竟具體該如何出入相補(bǔ)，歷來說法不一，有人統(tǒng)計(jì)過，大概有三十多種不同的方式。因此，我們也可以發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中的不足之處，首先是其對任何數(shù)學(xué)概念都沒有明確的定義，其次，對數(shù)學(xué)公式和解法都沒有推導(dǎo)，沒有證明，盡管劉徽等人的注中加入了解法，但依然是不足的。書中的一些公式與解法，有一些是可以通過非常直觀的方式得出的，比如正方形與長方形的面積公式，但也有許多公式與解法非常復(fù)雜，比如芻童的體積公式，是無法由直觀得出。所謂的芻童，指的是上下底皆為矩形的擬柱體。關(guān)于其體積的具體計(jì)算方法，《九章算術(shù)》給出了一般性解法，“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。”意思是說，上底長的2倍加下底長，同樣下底長的2倍加上底長；各用它們對應(yīng)的寬相乘，再次相加，再用高或深相乘，除以6。中國古代的數(shù)學(xué)大體上重實(shí)用而輕形式，與古希臘完全相反。有的時(shí)候想想也挺有意思，如果將《九章算術(shù)》拿給古希臘人，他們必定會非常興奮，就像鯊魚聞到了血腥味一樣。正好里面的證明過程幾近是一片空白，古希臘人必定會如獲至寶一樣將其補(bǔ)上。數(shù)學(xué)對于古希臘人來說，是一場智力游戲，或說邏輯游戲，但對于中國來講，則是一套解決現(xiàn)實(shí)問題的工具與方案。這樣的差異，導(dǎo)致了中國古代數(shù)學(xué)自始至終都有一個(gè)明顯的短板，沒有推導(dǎo)和證明的弱點(diǎn)長期影響著中國數(shù)學(xué)。后來的數(shù)學(xué)著作除了劉徽的《九章算術(shù)注》等少數(shù)例外，大都沒有定義和證明。
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