內(nèi)容來源：本文為吳文俊1986年在國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的報(bào)告，英文原稿收入Proceedings of the International Congress of Mathematicians Berkeley, California, USA, 1986 第2卷, pp. 1657—1667. 中譯文原載于《自然雜志》第12卷第7期，王志健譯。

作者：吳文?。?919-2017）

一、引言

我們將僅限于討論中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，即從遠(yuǎn)古至14世紀(jì)。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了許多卓有成效的研究，從而對(duì)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的真髓有了相當(dāng)深刻的認(rèn)識(shí)。筆者將隨意引用他們的研究成果，但對(duì)在本文表述的觀點(diǎn)，則負(fù)完全責(zé)任。

我們的研究必須遵循兩項(xiàng)基本原則。

原則一引出的所有結(jié)論都必須依據(jù)幸存至今的原始文獻(xiàn)。

原則二 引出的所有結(jié)論都必須依據(jù)我們祖先的特有方式去論證。應(yīng)用的知識(shí)、所用的輔助手段和方法都僅僅限于古代。

根據(jù)原則一，在以后的敘述中，我們要反復(fù)引用下列文獻(xiàn)：

《九章算術(shù)》，于公元50年明確成型；

《九章算術(shù)注》，劉徽，公元263年；

《海島算經(jīng)》，劉徽，公元263年；

《數(shù)書九章》，秦九韶，公元1247年。

根據(jù)原則二，我們強(qiáng)調(diào)，在代數(shù)和幾何的推演中，不得使用代數(shù)符號(hào)演算，不得添加平行線，因?yàn)樵谥袊鴤鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)中沒有這些手段。事實(shí)上，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有著自己的發(fā)展路線、思維方式和表達(dá)風(fēng)格。它與作為希臘遺風(fēng)的西方數(shù)學(xué)不僅毫無關(guān)聯(lián)，而且差別極大。在詳盡具體研究中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就之前，我們先指出它的幾個(gè)特點(diǎn)。

第一，中算家不用筆算，而用算籌在籌算盤上作籌算。中算家很早就發(fā)明了完善的十進(jìn)位制記數(shù)法，這就使得把算籌排在籌算盤上的適當(dāng)位置上表示整數(shù)成為可能。尤其是，在十進(jìn)位值制記數(shù)法中，只要在某個(gè)恰當(dāng)?shù)奈恢蒙狭粢粋€(gè)空位便能很好地將0表示出來。其實(shí)“數(shù)學(xué)”在中國歷來稱為“算術(shù)”，它的意思是“計(jì)算的方法”。

第二，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成果通常表達(dá)為分類問題集的形式，每個(gè)問題則分為若干條目。條目一是“問”，即帶數(shù)據(jù)的實(shí)際問題陳述。條目二是“答”，給出這問題的數(shù)字解。條目三是“術(shù)”，即得出結(jié)果的方法，常常就是我們今天所說的“算法”，有時(shí)也是公式或定理。要注意，條目一中的數(shù)據(jù)在算法中不起多大作用，方法則具有普遍意義，在問題中可以任意替換為其他數(shù)據(jù)，條目一僅僅起著舉例的作用。條目四是“注”，說明條目三中算法的根據(jù)及理由。宋代以后，往往添加了一個(gè)條目五，“草”，它包含了獲得最后結(jié)果的詳細(xì)運(yùn)算過程。

二、數(shù)論

本節(jié)中，我們所談到的整數(shù)指的是都是正整數(shù)。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有素?cái)?shù)和因子分解之類的概念。然而，它有求兩整數(shù)的最大公約數(shù)——稱為“等”——的方法，就是“更相減損術(shù)”。算法始下：

“以少減多，更相減損，求其等也?！?/p>

例如24與15的等是3，就是按下述方法求得的：

正如劉徽在《九章算術(shù)注》中指出的，這個(gè)算法的原理是：在運(yùn)算過程中，整數(shù)逐步減小，但其等卻始終保持不變。

盡管實(shí)際上在我國古代從未引入素?cái)?shù)概念，但中算家卻在數(shù)論研究中取得了非凡的成就。我們介紹其中兩項(xiàng)，它們是中國南京大學(xué)莫紹揆和西北大學(xué)李繼閔的研究成果。

在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的漫長(zhǎng)歲月中，勾股形——直角三角形——是一個(gè)頗受寵愛的研究對(duì)象。尤其是，可以作為勾股形中勾、股、弦——短直角邊、長(zhǎng)直角邊和斜邊——的長(zhǎng)度的三元整數(shù)組，在典籍《九章算術(shù)》中已被完全確定。在第九章勾股章中，列出了8個(gè)這樣的三元數(shù)組：

（3，4，5），（5，12，13），

（7，24，25），（8，15，17），

（20，21，29），（20，99，101），

（48，55，73），（60，91，109）。

列出這三元數(shù)組絕非湊巧，實(shí)際上，在這章的問題十四中已經(jīng)包含了一個(gè)求這種一般形式的三元數(shù)組的方法。我們把此題抄錄如下：

“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙東行。甲南行十步而邪東北與乙會(huì)。問甲乙行各幾何?！?/p>

解題的“術(shù)”是這樣的：

“令七自乘，三亦自乘，并而半之，以為甲邪行率。邪行率減于七自乘，余為南行率。以三乘七為東行率?！?/p>

在第一節(jié)中我們已經(jīng)指出，特殊數(shù)值7和3在問題中僅僅起著舉例說明的作用，完全可以用任意一對(duì)整數(shù)m、n（m>n>0）來代替這兩個(gè)數(shù)?！靶g(shù)”就是說，三條邊有這樣的比率：

前列的8個(gè)三元數(shù)組完全可以由下列整數(shù)對(duì)用這個(gè)方法定出來：

（m，n）=（2，1），（3，2），（4，3），（4，1），（5，2），（10，1），（8，3），（10，3）。

在劉徽的《九章算術(shù)注》里，對(duì)幾何性質(zhì)所作的證明依據(jù)了一個(gè)普遍原理：出入相補(bǔ)原理，第三節(jié)要對(duì)它作詳細(xì)說明。在這里我們要指出，劉徽的證明同時(shí)顯示了，m:n實(shí)質(zhì)上就是（勾+弦）對(duì)股的比率，只要勾:股:弦的比率為整比率，m:n也為整比率。

作為第二個(gè)例子，我們來討論“求一術(shù)”。眾所周知，當(dāng)今它被稱為“中國剩余定理”。新近的研究表明，這種算法是自漢代以來編歷時(shí)開創(chuàng)的，沿著十分清晰的路線，發(fā)展為1247年秦九韶《數(shù)書九章》中的形式。在秦九韶著作的序言里，他說，《九章算術(shù)》沒有這個(gè)方法，也沒有人知道怎樣推演它，但是編歷者卻廣泛運(yùn)用它?！稊?shù)書九章》第一卷首先闡明了這個(gè)方法。此章有9個(gè)問題，包括歷表編制、河堤修筑、財(cái)物計(jì)算、租稅分配、谷物出售、軍隊(duì)計(jì)點(diǎn)、土木建筑，甚至還有一個(gè)盜竊追贓的案例。所有這些題目都化歸為一個(gè)問題，用現(xiàn)代符號(hào)寫出來就是：

其中U_j, M_j為已知數(shù)，U則為待求，整數(shù)被秦九韶稱為“定母”（模數(shù)），即固定分母的意思，它們不必是兩兩互素的。秦九韶首先反復(fù)應(yīng)用更相減損術(shù)把問題化歸為模數(shù)兩兩互素的情形，因此我們?cè)谙旅娴挠懻撝锌梢灾幌抻贛_j兩兩互素的情形。

按現(xiàn)代數(shù)學(xué)，(2.2)的解可沿下述方法求得（可參見Knuth的《計(jì)算機(jī)編程藝術(shù)》第二卷250頁）。

記 φ(N) 為整數(shù)N的Euler函數(shù)，可通過把N分解為素因子來求出它。令

則(2.2)的解由下式給出：

解法和結(jié)果都簡(jiǎn)潔而優(yōu)美。但由于分解N很困難，對(duì)于秦九韶著作中的9個(gè)問題，即便是借助于現(xiàn)代的電子計(jì)算機(jī)，也很難得到最后的答案。

秦九韶的算法則是如下進(jìn)行。

第一步，取M/M_j模M_j的余數(shù)R_j，稱為“奇數(shù)”，是個(gè)專門名詞?，F(xiàn)在求出滿足下式的K_j：

所求的最終解由下式給出：

秦九韶稱為“乘率”，是一個(gè)專門名詞。求出滿足(2.4)的的算法被秦稱為“大衍求一術(shù)”。“求一”是尋找數(shù)1的意思，“大衍”則是一個(gè)哲學(xué)術(shù)語， 我們不必去管它。求一術(shù)的第一步是由4個(gè)已知數(shù)組成一個(gè)方陣：1、0（空格）、、分別放于方陣的左上（LU）、左下（LL）、右上（RU）、右下（RL）：

注意這4個(gè)數(shù)顯然符合下面的關(guān)系：

算法的下一步是進(jìn)行運(yùn)算，使方陣中4個(gè)數(shù)逐步減小同時(shí)保持（2.6）成立。運(yùn)算到最后，右上數(shù)減小到1，根據(jù)（2.6），左上數(shù)即為所求的乘率。從下述的算法細(xì)節(jié)可以看出，求一術(shù)原理與求兩整數(shù)之等的更相減損術(shù)類同，只是復(fù)雜些。其算法是：

“置奇右 ，定居右上，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商數(shù)與左上一相生入左下，然后乃以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數(shù)，隨即遞互累乘，歸左行上下。須使右上末后奇一而止，乃驗(yàn)左上所得，以為乘率?！?/p>

作為具體例子，我們舉出秦的著作中的問題九，它是一宗盜竊案的追贓斷結(jié)。審案法官可用此算法確定3個(gè)賊人中每人所偷稻谷的數(shù)量。對(duì)于第一個(gè)賊人，相應(yīng)的乘率是這樣確定的：

于是得K₁=15。我們可以把這個(gè)運(yùn)算程序與（2.1）的運(yùn)算過程相比較。

上面例題的數(shù)據(jù)在秦九韶著作的9個(gè)問題中是最簡(jiǎn)單的，但用 Euler 函數(shù)法來算已經(jīng)很不容易了。另外8題包含了天文數(shù)字般的大數(shù)，非 Euler 函數(shù)法力所能及，但秦九韶卻用求一術(shù)容易地解決了它們。

三、幾何

與人們通常的成相反，中國古代的幾何學(xué)的研究很深入并且很發(fā)達(dá)。誤解大概是出于這樣的事實(shí)：中國傳統(tǒng)幾何在內(nèi)容上和表現(xiàn)形式與歐幾里得的那一套由定義、公理、定理、證明構(gòu)成的演繹體系。相反，中算家不去建立公理，而是提煉少數(shù)普遍而合理的一般原理。依據(jù)這些原理，就可以用演繹的方式發(fā)現(xiàn)和證明形形色色的幾何結(jié)論。劉徽的《九章算術(shù)注》就是這樣做的。

中國傳統(tǒng)幾何與歐幾里得幾何的著重點(diǎn)也截然不同。我們的祖先從未考慮平行性，相反，對(duì)直線的垂直性非常關(guān)心。事實(shí)上，勾股形，也就是直角三角形，在幾千年的發(fā)展歷程中，一直占據(jù)著幾何研究的中心位置。其次，中算家不怎么關(guān)心角度，但卻很重視距離。再次，中國傳統(tǒng)幾何學(xué)研究總是緊密結(jié)合著應(yīng)用，因此，測(cè)量、面積和體積計(jì)算就是中心研究課題。最后，幾何學(xué)一直與代數(shù)同步發(fā)展，到宋元時(shí)便育成了幾何的代數(shù)化。李約瑟正確地指出，這個(gè)發(fā)展乃是走向創(chuàng)立解幾何重要的第一步（甚至是決定性的一步）。

我們通過例子說明這些觀點(diǎn)。

例1 日高公式

在地面上相隔一定距離處立等高的兩表（古代測(cè)日影的標(biāo)桿）G₁, G₂，日光照表的影子即可測(cè)到，于是從地面算起的日高便可求出：

漢代以前的著作就已描述了這個(gè)公式，在其后的編歷工作中又經(jīng)常用它。但它顯然只是粗略而不可靠的概算。因此，劉徽便把它移植到大地測(cè)量，用海島代替太陽，把日高公式變?yōu)楹u公式。他的《海島算經(jīng)》中共有9個(gè)應(yīng)用這類公式的問題，上述公式是其中第一個(gè)，也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)。書中有證明和附圖，宋朝的一些著作還提到了這些圖和證明，但以后就失傳了。依據(jù)公元30年趙爽著作中殘缺不全的顏色圖，筆者重新整理了這本著作中的論據(jù)，對(duì)上述的日高公式或海島公式重作證明如下。

如圖1，黃₁與黃₂面積相等，黃₁加青₃與黃₂加青₆面積也相等。表距與表高乘積等于黃₁的面積。黃₂的寬就是影差，黃₂除以影差便是黃₂的高，它就是從表頂水平面算起的日高，加上表高便得從面算起的日高。

從圖1看，海島公式的這個(gè)證明非常清楚。

例2 出入相補(bǔ)原理

在例1中，各種圖形面積的相等乃是出入相補(bǔ)原理的結(jié)論，在《九章算術(shù)注》中，這個(gè)原理簡(jiǎn)單地表述為：一個(gè)平面（或立體）圖形被分割成若干塊并移至他處，其總面積（或體積）保持不變。這個(gè)看來極平凡的原理被成功地用來解決各式各樣的有時(shí)甚至意想不到的問題，例1便是一例。

勾股形可作為更深入應(yīng)有這個(gè)原理的例子。由勾、股、弦三邊組成不同的和與差，如勾股和、勾弦差等。勾、股、弦及它們兩兩之間的和、差共9個(gè)數(shù)，在《九章算術(shù)》第九章勾股章里，有不少用這9個(gè)數(shù)中的兩個(gè)為求出勾、股、弦的問題，它們都是依據(jù)出入相補(bǔ)原理解出來的。特別是，我們?cè)诘诙?jié)中敘述過的勾股數(shù)組公式就是應(yīng)用這個(gè)原理于問題十四而求得的。問題十四事實(shí)上是已知勾弦和對(duì)股的比率而求第三邊，劉徽應(yīng)用出入相補(bǔ)原理給出了如下證明。

如圖2，

在《數(shù)書九章》里，有一個(gè)三角形三邊求面積的公式：

顯然它與 Heron 公式等價(jià)，但形式復(fù)雜，而 Heron 公式優(yōu)美簡(jiǎn)潔。當(dāng)然，前者不會(huì)從后者推導(dǎo)出來。應(yīng)用《九章算術(shù)》中問題十四的公式，依據(jù)出入相補(bǔ)原理，筆者按照中國傳統(tǒng)數(shù)不的思路，自然地重新證明了秦九韶的這個(gè)公式。

Heron（海倫）公式

我們強(qiáng)調(diào)，中國傳統(tǒng)的求（平方和立方）根及解方程的方法實(shí)質(zhì)上都依據(jù)了出入相補(bǔ)原理這個(gè)幾何特性的原理。我們還強(qiáng)調(diào)，《海島算經(jīng)》中極難理解的公式，乃是應(yīng)用出入相補(bǔ)原理自然而然得到的結(jié)果。若應(yīng)用歐幾里得的方法，則似乎很難推出這些公式，或者至少是非常迂回曲折和極不自然的。

例3 體積

只依據(jù)出入相補(bǔ)原理，便能求得任意多邊形的面積。對(duì)于求多面體的體積，卻不能照此類推。劉徽對(duì)此很清楚。因而，他按如下推理完美地解決了這一難題。

把一個(gè)長(zhǎng)方體斜剖為兩個(gè)相等的部分，稱為塹堵，再把塹堵斜分為二，一個(gè)（棱錐）稱陽馬，另一個(gè)（特殊形狀的四面體）稱鱉臑（圖3）。劉徽用了一個(gè)極其巧妙的相當(dāng)于極限過程的推理，得到一個(gè)結(jié)論，筆者命之為劉徽原理：

“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也?！?/p>

這個(gè)原理與出入相補(bǔ)原理結(jié)合可解決任意多面體的體積問題?！毒耪滤阈g(shù)》第五章商功章中一批優(yōu)美的體積公式都可用這個(gè)方法求得。劉徽對(duì)這個(gè)原理的證明既優(yōu)雅又嚴(yán)謹(jǐn)，他把一個(gè)大塹堵剖分為很多小陽馬。從圖3可清楚地看出，

1陽馬－2鱉臑 = 2×（1小陽馬－2小鱉臑）.

繼續(xù)做下去，等式右側(cè)變得越來越小，最后變得可以忽略，于是劉徽得出結(jié)論：

“半之彌少，其余彌細(xì)。至細(xì)曰微，微則無形。由是言之，安取余哉。”

更詳盡的論述可以參看 Wagner 的出色論文（Donald B. Wagner, An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D., Historia Math. 6 (1979), 169-188.）?！敬颂幘幷呶茨芸炊?，懇請(qǐng)明白的讀者在評(píng)論區(qū)指教】

劉徽還研究了曲面體體積、尤其是球體體積的求法。他指出在一立方體中作兩內(nèi)切圓柱體。其交叉部分形成的特殊曲體（牟合方蓋）體積的確定乃是求球體體積關(guān)鍵。劉徽本人經(jīng)過周密的思考，未能解決。他采取出嚴(yán)肅的態(tài)度，決定把它留給下一代人，他說：

“敢下闕疑，以待能言者?！?/p>

牟合方蓋

劉徽敏銳觀察被繼承下來，導(dǎo)致5世紀(jì)時(shí)祖暅完滿地最終解決了這個(gè)難題。祖暅?zhǔn)莻ゴ蟮臄?shù)學(xué)家、天文學(xué)家、機(jī)械學(xué)家祖沖之的兒子。事實(shí)上，祖暅獲得了一個(gè)普遍原理，后來它重新發(fā)現(xiàn)時(shí)又被稱為Cavalieri 原理：

“緣冪勢(shì)既同，則積不容異。”

祖暅對(duì)于球體體積公式有一個(gè)優(yōu)美的證明，我們將在另文介紹。值得注意的是，劉徽已經(jīng)在《九章算術(shù)注》中應(yīng)用這個(gè)原理求得多種簡(jiǎn)單曲體的體積。雖然沒有明確陳述，但確實(shí)使用了它。為此，筆者提議應(yīng)該把我國數(shù)學(xué)課本里所稱的祖暅原理改稱為劉祖原理。

總之，出入相補(bǔ)原理、劉徽原理和劉祖原理足以建立整個(gè)體積理論，就像我們祖先所做的那樣。

四、代數(shù)

毫無疑問，代數(shù)乃是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)更為發(fā)達(dá)的分支。應(yīng)該指出，在古代，代數(shù)實(shí)質(zhì)上等同于解方程。解方程的問題似來源于兩個(gè)方面。一個(gè)來源于商業(yè)貿(mào)易和貨物交換，這導(dǎo)致遠(yuǎn)古的盈虧術(shù)直到《九章算術(shù)》第八章所描述的方程術(shù)。這一章詳述了線性聯(lián)立方程組的解法并引進(jìn)了負(fù)數(shù)。按中國現(xiàn)代語言，“方程”這一術(shù)語的最好解釋就是“方陣”。實(shí)際上，“方”的字面意義為正方形或“矩形”；“程”，按劉徽在《九章算術(shù)注》里的解釋，就是把數(shù)據(jù)在盤上擺成矩陣：

“并列為行，故謂之方程”。

因此，解法便是縱橫移動(dòng)算籌，按現(xiàn)代術(shù)語那就是消元法。在《九章算術(shù)注》中可以找到逐步將方陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的詳細(xì)步驟的例子。

方程的另一來源是測(cè)量或幾何問題，例如在日高研究中就有日高和太陽與觀察者之間水平距離這兩個(gè)公式。太陽與觀察這間距離當(dāng)然用古已熟知的勾股定理來確定，這就需要求平方根。勾股定理的證明和求平方根顯然要依賴出入相補(bǔ)原理，求立方根也是如此。在《九章算術(shù)》的第九章勾股章中還有一個(gè)從出入相補(bǔ)原理自然引出的二次方程問題。解這類方程還有個(gè)專門術(shù)語：“開帶從平方”，這顯然蘊(yùn)含了方程的來源和解法。

方程的這一源流最遲發(fā)展到唐朝成為解三次方程，到了宋朝終于完成了高次方程的數(shù)值解法。1819年，Horner 又重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)方法。

宋元時(shí)期（10--14世紀(jì)）“天元”這個(gè)概念的引入是極為重要的發(fā)現(xiàn)，它就是現(xiàn)在所說的未知數(shù)。雖然解方程在數(shù)千年的數(shù)學(xué)發(fā)展中占據(jù)著中心地位，但這才第一次對(duì)未知數(shù)引入了正確的概念并系統(tǒng)使用。當(dāng)時(shí)，中算家清楚地認(rèn)識(shí)到，天元術(shù)具有非常強(qiáng)大的威力，正如在朱世杰著作中所表述的：天元術(shù)既闡明基礎(chǔ)原理，又提供通用解法，且省卻大量勞動(dòng)。

在宋元，天元術(shù)進(jìn)一步發(fā)展為解四元高次聯(lián)立方程組，同時(shí)，幾何代數(shù)化、多項(xiàng)式運(yùn)算和消元法也發(fā)展起來。方程求解的兩個(gè)源流合而為一，已經(jīng)接近現(xiàn)代意義的代數(shù)了。因?yàn)樵诨I算盤上運(yùn)算，多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)要擺在盤上的固定位置，這一事實(shí)規(guī)定了未知數(shù)的個(gè)數(shù)只能以4個(gè)為限。只要一旦擺脫籌算而改用其他的運(yùn)算體系，中國數(shù)學(xué)就會(huì)進(jìn)入繁榮昌盛時(shí)代。當(dāng)時(shí)與阿拉伯世界密切交流，受他們影響比任何時(shí)候都大，傳入其他運(yùn)算體系是完全有希望 ?？上?，自元代之后，中國數(shù)學(xué)停止向前發(fā)展并且中斷了。當(dāng)利瑪竇在明代來到中國時(shí)，已經(jīng)沒有中國學(xué)者懂得《九章算術(shù)》了！

五、結(jié)束語

由于篇幅有限，我們來不及論述中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的其他成就，如：極限概念、高階差分、級(jí)數(shù)等等。總之，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特色是構(gòu)造性、計(jì)算性和機(jī)械化，經(jīng)典著作的那些“術(shù)”大多數(shù)可以容易地改寫成實(shí)現(xiàn)計(jì)算功能的程序。實(shí)際上，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)慣于從具體對(duì)象中抽取其內(nèi)在本質(zhì)，然后綜合這些本質(zhì)提煉出簡(jiǎn)明的原理。它們論述簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛，形成中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)極不平凡的特色。重點(diǎn)在于始終著眼于處理實(shí)際問題，在于簡(jiǎn)單合情的原理和普遍方法。同樣的思想也體現(xiàn)在諸如代數(shù)化和十進(jìn)位值制記數(shù)法之類的出色成就中?？偟恼f來，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有它自己獨(dú)特的風(fēng)格，然而它中斷了。蔑視我們祖先輝煌成就——如同在明朝時(shí)那樣——是不能容忍的。拒絕吸收外國的先進(jìn)技術(shù)——如在初唐時(shí)那樣——也是荒唐的，那時(shí)，已經(jīng)傳入印度數(shù)字的書寫體系，但卻由于堅(jiān)持籌算而拒絕采用。

在充分認(rèn)識(shí)我們傳統(tǒng)思維方法的威力和吸收當(dāng)代高度發(fā)達(dá)的國外技術(shù)的基礎(chǔ)上，我們可以預(yù)料，中國數(shù)學(xué)將進(jìn)入蓬勃發(fā)展的新時(shí)代。

編輯：孫志躍 | 校對(duì)：林開亮

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