上一期我們介紹了阿氏圓，在最后還留了一個(gè)小練習(xí)，我們先來(lái)看一下解答：

       本期內(nèi)容我們來(lái)看一下高數(shù)下冊(cè)學(xué)習(xí)的梯度、散度、旋度在電磁學(xué)中的應(yīng)用。我們先來(lái)簡(jiǎn)單回顧一下相關(guān)概念和知識(shí)點(diǎn)：

       在高數(shù)里還有一個(gè)犄角旮旯的知識(shí)點(diǎn)，叫哈密頓算子。我這么說(shuō)可能好多人還一頭霧水不知道是啥，但我亮出它的符號(hào)以后，估計(jì)就沒(méi)有人不知道了。▽就是哈密頓算子，讀作“del”或“Nabla”。定義如下：

       梯度、散度、旋度都可以用含它的式子寫出來(lái)，而且非常簡(jiǎn)潔和常用，電動(dòng)力學(xué)中都是用含▽的形式寫的，具體形式如下：

       另外還有一個(gè)拉普拉斯算子，在高數(shù)書里更是只提了一嘴，它寫作▽2或Δ，定義是▽·▽，這在后面推導(dǎo)泊松方程和拉普拉斯方程時(shí)會(huì)用到，具體展開是這樣的：

      高數(shù)書上還有3個(gè)積分公式——格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，他們的地位和牛頓-萊布尼茨公式相當(dāng)，都是起到了可以讓積分“降維”的作用。其實(shí)格林公式就是斯托克斯公式的二維情況，因?yàn)樗雇锌怂构嚼镉幸徊糠志褪歉窳止?，所以討論高斯公式和斯托克斯公式就好了?/p>

       鋪墊了這么多，接下來(lái)要電磁學(xué)上場(chǎng)了。我們知道麥克斯韋方程組由4個(gè)方程構(gòu)成，分別是電場(chǎng)的高斯定理和環(huán)路定理和磁場(chǎng)的高斯定理和環(huán)路定理。4個(gè)方程的積分形式如下：

       這些積分形式的方程又何嘗不能用高斯公式和斯托克斯公式轉(zhuǎn)化為微分形式呢？轉(zhuǎn)化出來(lái)是這樣的：

      以上就是梯度、散度、旋度在電磁學(xué)中最經(jīng)典的應(yīng)用。我們知道靜電場(chǎng)中還有一個(gè)重要的概念叫電勢(shì)，它是一個(gè)標(biāo)量，因此在計(jì)算時(shí)比起矢量有很大的優(yōu)勢(shì)。電場(chǎng)和電勢(shì)的微分關(guān)系是：電場(chǎng)是電勢(shì)的負(fù)梯度。數(shù)學(xué)物理方程中有一類非常重要的方程，它在電磁場(chǎng)理論中的地位舉足輕重，它就是泊松方程，和它齊名的是拉普拉斯方程。

      可以看出，拉普拉斯方程就是泊松方程的特殊情況。二者都是二階偏微分方程，泊松方程是非齊次的，拉普拉斯方程是齊次的。因此要求解泊松方程，繞不開求解拉普拉斯方程。

      今天的內(nèi)容就到此結(jié)束了。同樣給大家留一道習(xí)題鞏固一下今天所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)：

      在真空中，將點(diǎn)電荷Q（Q>0）放在坐標(biāo)原點(diǎn)O上，空間中任一點(diǎn)的位置矢量為r，試計(jì)算：

（1）點(diǎn)電荷電場(chǎng)E在以O(shè)為球心，R為半徑的球面上的通量；

（2）divr、divE和rotE（r≠0）。

      解答同樣會(huì)在下一期開頭公布。下一期我們要介紹鏡像法的理論基礎(chǔ)——唯一性定理，敬請(qǐng)期待。