什么是數(shù)學(xué)？這是認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的根本問題，也是開展數(shù)學(xué)教育的邏輯支點(diǎn)。雖然人們普遍認(rèn)為“嚴(yán)格”“精準(zhǔn)”是數(shù)學(xué)的獨(dú)特氣質(zhì)，但若真要定義“什么是數(shù)學(xué)”，真要對數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵做出“嚴(yán)格”“精準(zhǔn)”的回答，卻并不像“1+1=2”這般簡單明朗和不容置疑。

許多數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都曾饒有興致地描述過“數(shù)學(xué)是什么”——

古希臘哲學(xué)家柏拉圖宣稱：數(shù)學(xué)是一切知識中的最高形式。

法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒堅信：數(shù)學(xué)是知識的工具。

德國哲學(xué)家黑格爾感嘆：數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號。

英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素認(rèn)為：數(shù)學(xué)是符號加邏輯。

英國哲學(xué)家培根比喻：數(shù)學(xué)是通向科學(xué)的大門和鑰匙。

德國數(shù)學(xué)家高斯確信：數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后。

事實(shí)上，這些隱喻性描述雖然為人們展開了一幅異彩紛呈的數(shù)學(xué)風(fēng)貌，但并沒有真正揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵。意味深長的是：數(shù)學(xué)沒有一個一勞永逸的精準(zhǔn)定義！對此，我國著名數(shù)學(xué)史家李文林先生深刻指出：“數(shù)學(xué)本身是一個歷史概念，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵隨著時代的變化而變化，給數(shù)學(xué)下一個一勞永逸的定義是不可能的?！?/span>（李文林，2011）歷史的概念確需“歷史的理解”——這正是歷史的唯物論和辯證法！那就讓我們在追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足音中去把握數(shù)學(xué)概念的演化歷程。

數(shù)學(xué)史是關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程與規(guī)律的科學(xué)，它所反映的正是數(shù)學(xué)發(fā)展的事實(shí)依據(jù)與歷史邏輯。因此，基于數(shù)學(xué)史認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、變化與發(fā)展，無疑也能為準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念提供更有說服力的事實(shí)依據(jù)和歷史邏輯。

數(shù)學(xué)發(fā)展是一個錯綜復(fù)雜的文化演進(jìn)過程。描述數(shù)學(xué)總體發(fā)展過程的線索既可按照時代的順序，也可按照社會發(fā)展的歷史背景，還可以按照數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)在的發(fā)展過程等。綜合這些線索，可將數(shù)學(xué)發(fā)展歷史按如下階段劃分（李文林，2011）：

★ 遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)啟蒙：“數(shù)”與“形”

就數(shù)學(xué)的起源來說，遠(yuǎn)古人類就如撐著一葉發(fā)明發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的小舟，在尼羅河、底格里斯河與幼發(fā)拉底河、印度河與恒河以及黃河與長江等河谷文明的航道上風(fēng)雨飄搖，穿梭漂泊。這其中，遠(yuǎn)古人類在長期認(rèn)識、適應(yīng)和改造大自然的實(shí)踐過程中，最先形成了“空間”和“時間”的感知，在此基礎(chǔ)上逐漸發(fā)現(xiàn)并形成 “數(shù)”和“形”的概念。自然數(shù)“１”或許是遠(yuǎn)古人類通過對自然界中存在著一個太陽、一棵樹、一頭牛等等類似現(xiàn)象的長期感知，逐漸發(fā)現(xiàn)了它們在“量”上具有同一的“單位性”，于是最終把反映它們所具有的共同屬性的這“一個單位量”抽象出來，就記為“1”。有了“1”的概念之后，“2”與“1+1=2”、“2+1=3”等才成為可能（這里是不是可以推測：遠(yuǎn)古人類發(fā)明“1”的過程已經(jīng)蘊(yùn)含了自然數(shù)“序”與“基”的內(nèi)在統(tǒng)一？）。因此，“1”不僅是自然數(shù)的始基，而且是一切數(shù)中最基本的數(shù)，是計量一切數(shù)的單位。毫不過分地說，它也是一切數(shù)學(xué)的開始。同樣，“形”的概念也應(yīng)該是遠(yuǎn)古人類通過對自然界存在的各種各樣實(shí)物長期觀察，比如從經(jīng)常遇見的太陽月亮、高山流水、石頭樹棒等所呈現(xiàn)出來的物理形態(tài)結(jié)構(gòu)中，逐漸萌發(fā)出的幾何直覺和空間意象。這說明，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)最原初的也是最基本的概念。（見圖1-1至圖1-4）

圖1-1 古埃及象形數(shù)字（公元前3400年左右）

圖1-2 巴比倫楔形數(shù)字（公元前2400年左右）

圖1-3 中國甲骨文數(shù)字（公元前1600年左右）

圖1-4 古希臘阿提卡數(shù)字（公元前500年左右）

★ 古希臘的信仰：萬物皆數(shù)

從遠(yuǎn)古直至約公元前6世紀(jì)，數(shù)學(xué)的小舟在那時的古埃及、巴比倫、印度和中國等地區(qū)遍灑了彌足珍貴的關(guān)于“數(shù)”和“形”以及“算術(shù)”和“幾何”的種子，并不斷生根發(fā)芽。而從大約公元前6世紀(jì)開始，這葉數(shù)學(xué)小舟逐漸“升級”壯大為一艘堅實(shí)的航船，徐徐駛進(jìn)遼闊的愛琴海懷抱，從此人類迎來了數(shù)學(xué)發(fā)展的春天——古希臘數(shù)學(xué)時代。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，古希臘被認(rèn)為是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的策源地之一。古希臘數(shù)學(xué)家特別鐘情于對關(guān)乎“形”的幾何問題的研究，這僅僅從當(dāng)時的幾位數(shù)學(xué)家泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、阿基米德等的數(shù)學(xué)成就中就可獲得答案。

泰勒斯可能是現(xiàn)在所知的人類最早的數(shù)學(xué)家，他天才地發(fā)現(xiàn)并證明了“圓被任一直徑二等分”“等腰三角形的兩底角相等”“兩條直線相交，對頂角相等”“半圓的內(nèi)接三角形一定是直角三角形”“如果兩個三角形有一條邊以及這條邊上的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等”等關(guān)于平面幾何的幾個基本定理；而且，這位“哲學(xué)和科學(xué)之祖”還開創(chuàng)性地提出了數(shù)學(xué)需要命題證明的思想，為數(shù)學(xué)成為一個嚴(yán)格的邏輯體系和進(jìn)一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。（見圖1-5）

圖1-5 泰勒斯測量金字塔高度的方法

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派深受泰勒斯數(shù)學(xué)觀念的啟發(fā)，在幾何學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要包括用演繹法證明的“畢達(dá)哥拉斯定理”，以及“三角形內(nèi)角之和等于兩個直角”；發(fā)現(xiàn)了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體；發(fā)現(xiàn)了正三角形數(shù)、正方形數(shù)、正五角形數(shù)等。（見圖1-6至圖1-10）

圖1-6 正五角形

圖1-7 正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體

圖1-8 正三角形數(shù)

圖1-9 正方形數(shù)

圖1-10 正五角形數(shù)

到歐幾里得時代，匯聚了古希臘數(shù)學(xué)思想并被后世譽(yù)為科學(xué)典范和“圣經(jīng)”的鴻篇巨制《幾何原本》的問世，不僅是平面幾何知識體系的集大成，更為重要的是真正構(gòu)建了數(shù)學(xué)嚴(yán)密的公理化演繹系統(tǒng)，讓“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇跡”。（見圖1-11、圖1-12）

圖1-11 歐幾里得《幾何原本》

圖1-12 勾股定理

阿基米德作為歐幾里得的后輩，則在數(shù)學(xué)上特別是在幾何學(xué)方面為人類貢獻(xiàn)了極為光輝燦爛的成就，《論球和圓柱》《論錐型體和球形體》《論螺線》《圓的度量》《拋物線求積法》等一系列著作中關(guān)于幾何問題的研究與發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)史上閃耀令人肅然起敬的智慧光芒。（見圖1-13、圖1-14）

圖1-13 圓柱內(nèi)切球

圖1-14 阿基米德的最后“遺言”怒斥羅馬士兵——別動我的圓！

雖然古希臘幾何學(xué)成就斐然，但即使對幾何學(xué)有激動人心發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派卻最早更加突出了“數(shù)”的概念，并堅定地認(rèn)為，“萬物皆數(shù)”。即：“宇宙萬物即數(shù)與數(shù)之關(guān)系的和諧系統(tǒng)”，數(shù)是世界的原初和始基，數(shù)也是構(gòu)成千差萬別事物的根本原因。這就使“數(shù)”成為宇宙的一個概念模型，認(rèn)識世界歸根到底就是認(rèn)識數(shù)。顯見，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”不僅是一種宇宙觀，也是一種數(shù)學(xué)觀。之后的柏拉圖不僅發(fā)展了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)，并給出了更哲學(xué)的表述：數(shù)（和其他數(shù)學(xué)概念）是某種獨(dú)特的、絕對的客觀存在（稱之為理念），這些客觀存在就是數(shù)學(xué)的認(rèn)識對象。也就是說，數(shù)學(xué)觀念是天賦的、先驗的，不依賴于時空和人的思維而永恒存在。亞里士多德又將數(shù)學(xué)定義為：“數(shù)學(xué)是'量’的科學(xué)”。盡管這里的“量”的涵義是模糊的，甚至已經(jīng)隱含著對“數(shù)”與“形”的概括?？偟膩碚f，古希臘數(shù)學(xué)先哲雖然在實(shí)踐上鐘情于對幾何問題的研究，但在對數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識上卻是把“數(shù)”作為數(shù)學(xué)的對象，并且這種思想幾乎一直綿延至16世紀(jì)也沒有本質(zhì)變化。

★ 恩格斯的論斷：純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系

穿越中世紀(jì)的漫漫黑暗，經(jīng)歷文藝復(fù)興的偉大洗禮，古希臘理性精神的思想光輝再一次高揚(yáng)，世界迎來了近代文明的曙光。文藝復(fù)興運(yùn)動給歐洲以至全人類帶來了最具深刻意義的文化思想革命。思想、生產(chǎn)、科學(xué)，如三江交匯，融合成一股噴涌而出的文化之泉，成為時代的主旋律。近代數(shù)學(xué)的航船也在這個主旋律中揚(yáng)帆起錨。到17世紀(jì)之后，直至18世紀(jì)，數(shù)學(xué)史迎來了開創(chuàng)新數(shù)學(xué)的英雄時代。第一個具有標(biāo)志性的新數(shù)學(xué)就是由笛卡兒和費(fèi)馬作為共同創(chuàng)始人然而又是各自獨(dú)立創(chuàng)立的“解析幾何學(xué)”，這也是17世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)成就之一，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的肇始，在數(shù)學(xué)史上具有劃時代意義。對此，恩格斯曾有高度評價：“數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就成為必要的了?！钡拇_如此，解析幾何學(xué)的產(chǎn)生，直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上最光輝而震撼人心的成就——由牛頓和萊布尼茨作為共同創(chuàng)始人的“微積分”的誕生。對此，恩格斯又有高度贊譽(yù)：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這里?！保ㄒ妶D1-15至圖1-19）

圖1-15 笛卡兒坐標(biāo)幾何

 圖1-16  笛卡兒心形線

圖1-17 變速運(yùn)動瞬時速度問題

 圖1-18 平面曲線切線斜率問題

圖1-19 牛頓-萊布尼茨公式

如果說在解析幾何學(xué)創(chuàng)立之前，代數(shù)與幾何這兩個古老的數(shù)學(xué)分支各自獨(dú)立地存在與發(fā)展，那么解析幾何學(xué)的誕生，使數(shù)學(xué)的內(nèi)涵發(fā)生了根本變化，其中變量和坐標(biāo)的引入，使數(shù)與形、代數(shù)與幾何實(shí)現(xiàn)了有機(jī)的統(tǒng)一，開創(chuàng)了統(tǒng)一數(shù)學(xué)的里程碑；微積分則是將數(shù)學(xué)真正帶入了研究數(shù)、形以及運(yùn)動與變化的時代。似乎正是在這樣的背景下，笛卡兒認(rèn)為，“凡是以研究順序和度量為目的的科學(xué)都與數(shù)學(xué)有關(guān)”。（李文林，2011）在不太嚴(yán)格的意義上理解，這一觀點(diǎn)已經(jīng)初步體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的對象。而恩格斯論述數(shù)學(xué)的本質(zhì)是：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”。（恩格斯，1972）如今距恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)對象的論斷已有一百多年，一百多年來，突飛猛進(jìn)發(fā)展的數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”時期。但就數(shù)學(xué)所認(rèn)識的對象而言，可以說恩格斯更為根本和科學(xué)地回答并解決了數(shù)學(xué)的對象這一數(shù)學(xué)哲學(xué)問題?；蛟S正因為如此，基于恩格斯“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”這一論斷而演化的“數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”作為經(jīng)典的數(shù)學(xué)定義被廣泛認(rèn)同。

恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的精辟論斷余音未盡，步入19世紀(jì)，數(shù)學(xué)又開始發(fā)生了本質(zhì)變化。19世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想方法空前解放的世紀(jì)，也是一個高揚(yáng)嚴(yán)格性和創(chuàng)造精神的時代。當(dāng)歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等18世紀(jì)的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)發(fā)展做出了熠熠生輝貢獻(xiàn)的同時，卻對數(shù)學(xué)的未來一度產(chǎn)生悲觀情緒。幸運(yùn)的是，在這片陰云剛剛籠罩之時，高斯、柯西、阿貝爾、伽羅瓦、魏爾斯特拉斯、黎曼等一大批天才數(shù)學(xué)家的思想創(chuàng)造卻噴薄而出，數(shù)學(xué)再一次閃耀出激動人心的奪目光輝。復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立和分析學(xué)的嚴(yán)格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)等典型的數(shù)學(xué)成就的誕生再一次照亮了數(shù)學(xué)發(fā)展之路。這一時期，數(shù)學(xué)在更為廣泛的背景下成為研究數(shù)與形、運(yùn)動與變化以及研究數(shù)學(xué)自身的科學(xué)。（見圖1-21、圖1-21）

圖1-20 羅巴切夫斯基的非歐幾何

圖1-21  射影幾何中的帕斯卡定理

★ 歷史展望：數(shù)學(xué)是通過更高層次的抽象對客觀世界進(jìn)行更精準(zhǔn)的“建?！?/span>

直到20世紀(jì)中期，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特征被概括為“各種變化著的量的關(guān)系和相互聯(lián)系的科學(xué)”。（亞歷山大洛夫，2001）這一定義中的“量”不僅包括現(xiàn)實(shí)世界的各種空間形式和數(shù)量關(guān)系，也包括一切可能的空間形式和數(shù)量關(guān)系（如高維空間、無窮維空間、群、域、算子等等）。而從20世紀(jì)80年代開始，一批美國數(shù)學(xué)家極力謀求對數(shù)學(xué)定義做出符合時代的新嘗試，他們倡導(dǎo)把數(shù)學(xué)視為“模式的科學(xué)”（seience of pattern），其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對稱性。這里的“模式”，不僅具有廣泛的內(nèi)涵，而且又具有高度的概括性。模式既包括最直接反映客觀世界本質(zhì)特征的數(shù)的模式、形的模式、運(yùn)動與變化的模式，也包括數(shù)學(xué)邏輯推理的模式，以及存在于數(shù)量、空間、時間、結(jié)構(gòu)乃至想象之中的更高層次的模式，這樣，模式可以導(dǎo)致別的模式，也會出現(xiàn)關(guān)于模式的模式。于是，數(shù)學(xué)按照數(shù)學(xué)家自己的邏輯，以源于科學(xué)的模式為出發(fā)點(diǎn)，經(jīng)常創(chuàng)造出由先前的模式而推演出來的新模式。

展開又卷起數(shù)學(xué)史的輝煌畫卷，我們似乎發(fā)現(xiàn)：就現(xiàn)階段數(shù)學(xué)發(fā)展而言，“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”這一定義最具高度的概括性，并已日益引起更多數(shù)學(xué)家的關(guān)注和認(rèn)同。對此，美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩就以帶著如釋重負(fù)的興奮感嘆：如果模式是數(shù)學(xué)的全部，那么數(shù)學(xué)的這種“異乎尋常的作用”可能完全是尋常的了。（Steen，1993）當(dāng)然，認(rèn)為數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)的觀點(diǎn)早在英國著名數(shù)學(xué)家哈代那里已有獨(dú)具風(fēng)致的表達(dá)：

就像畫家或詩人，數(shù)學(xué)家是“模式”的創(chuàng)造者。如果說他的模式比畫家或詩人的模式的生命更加長久的話，那是因為他的模式是用思想（idea）所創(chuàng)造的?。ü?，2007）

概而言之，關(guān)于數(shù)學(xué)概念界定的不斷演化，其實(shí)質(zhì)是源于數(shù)學(xué)研究對象所涉及范疇的不斷擴(kuò)充與層次的不斷升級。數(shù)學(xué)仍在不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)研究對象也將不斷深化，并走向更高層次的抽象，由此數(shù)學(xué)的內(nèi)涵將更為豐富壯觀。

至此，如果對數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展做一回望——

最為普遍認(rèn)同的經(jīng)典數(shù)學(xué)定義還是：

數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。

而更被逐漸認(rèn)同的現(xiàn)代數(shù)學(xué)定義是：

數(shù)學(xué)是關(guān)于“模式”的科學(xué)。

最后，有必要做一特別續(xù)說：如果我們有理由相信世界依然年輕，那么作為刻畫客觀世界神秘特征與神奇規(guī)律的數(shù)學(xué)，作為一個歷史性動態(tài)發(fā)展著的概念，我們也同樣有理由相信，數(shù)學(xué)的確不會有一個一勞永逸的定義！對此，我們似乎也不必?zé)o奈地感傷，更不必由此滑向如羅素所極端認(rèn)為的：“數(shù)學(xué)可以定義為這樣一門學(xué)科，我們永遠(yuǎn)不知道其中所說的是什么，也不知道所說的內(nèi)容是否正確?！?數(shù)學(xué)——?dú)v史的概念，歷史的理解——雖然這樣的追尋有些令人失望，但這就是歷史！

而何況，既然數(shù)學(xué)發(fā)展是一個錯綜復(fù)雜的文化演進(jìn)過程，那萬千年生生不息流淌著的數(shù)學(xué)歷史長河也必將為我們展開一片更為宏闊的視角，讓我們更為清晰而真實(shí)地照鑒數(shù)學(xué)的真諦——這就是數(shù)學(xué)的文化意義。如此說來，我們也許說不清“究竟什么是數(shù)學(xué)”，我們甚至也道不盡“數(shù)學(xué)究竟是什么”，但這不正彰顯了數(shù)學(xué)本身獨(dú)具魅力的生命力嗎？

這是來自宇宙深處的神圣密碼，

這是大自然里蘊(yùn)涵的神秘規(guī)律，

這是人類詩性智慧和理性精神激蕩而生的神妙音符，

這是洋溢真善美光輝的人類神奇而偉大的文化創(chuàng)造。

究竟是什么享有這至高贊譽(yù)？

是的——是數(shù)學(xué)！

數(shù)學(xué)——

對于每一個人而言：

你可以喜歡它，

你也可以厭惡它，

但你卻不能沒有它。

假如沒有數(shù)學(xué)，

你的生活和生命或許遭遇

無謂的魯莽與無奈的迷茫！

本文選自李鐵安教授專著《迷上數(shù)學(xué)——觸動童心的數(shù)學(xué)文化課》（教育科學(xué)出版社）。