|
下文轉(zhuǎn)自公號(hào)圖靈新知(Tuling963)，節(jié)選自圖靈《最后的數(shù)學(xué)問(wèn)題》, [遇見(jiàn)小編]這里也特別再次推薦這本風(fēng)靡全球十年的經(jīng)典著作，好看！
笛卡兒在數(shù)學(xué)上做出的貢獻(xiàn)堪為“人類有史以來(lái)在精確科學(xué)上邁出的最偉大的一步”。 ——約翰·斯圖亞特·密爾 在科學(xué)領(lǐng)域，文藝復(fù)興見(jiàn)證了天文學(xué)中由哥白尼和開(kāi)普勒開(kāi)創(chuàng)，并由伽利略發(fā)展的日心說(shuō)理論走向興盛。 伽利略利用望遠(yuǎn)鏡觀察到的結(jié)果孕育了對(duì)宇宙的新見(jiàn)解，而他的力學(xué)實(shí)驗(yàn)也展現(xiàn)了非凡的洞察力。與其他因素相比，這才是此后幾個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)取得極大發(fā)展的最關(guān)鍵的動(dòng)力。 當(dāng)亞里士多德哲學(xué)體系發(fā)出即將崩潰的第一個(gè)信號(hào)時(shí)，在與教會(huì)神學(xué)意識(shí)形態(tài)做斗爭(zhēng)的過(guò)程中，哲學(xué)家們已經(jīng)開(kāi)始著手研究構(gòu)建人類知識(shí)大廈的新地基了。數(shù)學(xué)似乎是真理確定無(wú)疑的表現(xiàn)形式，它為新的開(kāi)端提供了最完美、最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 在這樣一個(gè)偉大的歷史轉(zhuǎn)折中，有一個(gè)人試圖找出一種能指導(dǎo)所有理性思考的固定模式，將人類所有的知識(shí)、科學(xué)成就，乃至人類社會(huì)倫理統(tǒng)一為一個(gè)整體。他就是法國(guó)年輕的政府官員勒內(nèi)·笛卡兒。  很多人都認(rèn)為，在近代所有偉大的哲學(xué)家之中，笛卡兒可以當(dāng)之無(wú)愧地排名第一，同時(shí)，他也是第一位真正意義上的生物學(xué)家。 除了這些功勛赫赫的標(biāo)簽，英國(guó)經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)家約翰·斯圖亞特·密爾（John Stuart Mill，1806—1873）甚至將笛卡兒在數(shù)學(xué)上做出的貢獻(xiàn)描述為“人類有史以來(lái)在精確科學(xué)上邁出的最偉大的一步”?，F(xiàn)在，你或許能理解笛卡兒的才能和智慧為什么令后世敬仰了。
圖1 笛卡兒 笛卡兒于1596年3月31日出生于法國(guó)拉海鎮(zhèn)（La Haye）。為了紀(jì)念這位著名的數(shù)學(xué)家，這座小鎮(zhèn)在 1801 年被改名為拉海 – 笛卡兒鎮(zhèn)，1967 年之后，人們更習(xí)慣稱之為笛卡兒鎮(zhèn)。 1604年，笛卡兒在年僅8歲時(shí)被送進(jìn)了拉弗萊什教會(huì)學(xué)院學(xué)習(xí)拉丁文、數(shù)學(xué)、文學(xué)、科學(xué)和經(jīng)院哲學(xué)，他在那里一直學(xué)習(xí)到了1612年。 由于笛卡兒自幼體弱，不能過(guò)多地運(yùn)動(dòng)，因而被特許不用遵守學(xué)院嚴(yán)格的作息時(shí)間。他不必每天早晨5點(diǎn)起床，可以在床上度過(guò)整個(gè)早晨的時(shí)光。后來(lái)，每天利用清晨的時(shí)間進(jìn)行思考的習(xí)慣伴隨了笛卡兒一生。 有一次，他對(duì)朋友、法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡講到，對(duì)他來(lái)說(shuō)，保持身體健康并取得豐碩成果的秘訣就是每天早上睡到自然醒。然而，正如我們之后看到的，這句話竟然一語(yǔ)成讖，成了笛卡兒命運(yùn)的一個(gè)悲劇性預(yù)言。 在離開(kāi)拉弗萊什教會(huì)學(xué)院之后，笛卡兒又進(jìn)入了法國(guó)普瓦提埃學(xué)院學(xué)習(xí)，并最終以律師的身份畢業(yè)。但很明顯，他從來(lái)沒(méi)有真正從事過(guò)任何法律方面的工作。 出于浮躁不安的心態(tài)和對(duì)外面世界的向往，笛卡兒決定加入奧蘭治親王莫里斯的軍隊(duì)，當(dāng)時(shí)他們駐扎在荷蘭共和國(guó)（荷蘭的前身）的布雷達(dá)。 笛卡兒在布雷達(dá)服役期間，發(fā)生了一件小事，這個(gè)偶然事件成為笛卡兒思想發(fā)展過(guò)程中的一個(gè)標(biāo)志，具有深遠(yuǎn)的意義。 傳說(shuō)有一天，笛卡兒在大街上閑逛，突然看到路邊立著一塊牌子，上面寫著一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，正在征集解決方法。笛卡兒請(qǐng)一位經(jīng)過(guò)的路人把這個(gè)問(wèn)題從荷蘭語(yǔ)翻譯為拉丁語(yǔ)或法語(yǔ)。 幾個(gè)小時(shí)之后，笛卡兒就成功地解決了這個(gè)問(wèn)題，這讓他真正認(rèn)識(shí)到了自己在數(shù)學(xué)方面的天賦。 而那位笛卡兒從未謀面卻為他翻譯問(wèn)題的路人不是別人，正是荷蘭數(shù)學(xué)家和科學(xué)家艾薩克·比克曼（Isaac Beeckman，1588—1637），他對(duì)笛卡兒的物理數(shù)學(xué)研究的影響持續(xù)了數(shù)年之久。
在隨后的9年里，笛卡兒要么在混亂的巴黎逗留，要么在各個(gè)軍隊(duì)中服役。當(dāng)時(shí)的歐洲正在“三十年戰(zhàn)爭(zhēng)”（1618 ～ 1648 年）的痛苦中掙扎，戰(zhàn)火四起、處處烽煙，不同宗教派別和政治派系之間紛爭(zhēng)不休，從布拉格、德國(guó)直至特蘭西瓦尼亞（今羅馬尼亞西北部）到處都有戰(zhàn)爭(zhēng)。 對(duì)于年輕的笛卡兒而言，想要打一仗或加入軍隊(duì)是十分容易的事。盡管如此，在這段時(shí)期，他仍然利用戰(zhàn)斗的間隙學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，正如他后來(lái)所說(shuō)的：“全身心地沉溺于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中?！?/span> 1619年11月10日，笛卡兒做了三個(gè)夢(mèng)。這些夢(mèng)不僅對(duì)笛卡兒今后的生活產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，而且，或許也標(biāo)志著現(xiàn)代文明的開(kāi)端。在描述這一事件時(shí)，笛卡兒在自己的筆記中寫道：“我激動(dòng)萬(wàn)分，并從中發(fā)現(xiàn)了一門絕妙科學(xué)的基礎(chǔ)。”這是怎樣的三個(gè)影響深遠(yuǎn)的夢(mèng)呢？ 實(shí)際上，這三個(gè)夢(mèng)中的前兩個(gè)是噩夢(mèng)。 在第一個(gè)夢(mèng)里，笛卡兒發(fā)現(xiàn)自己被狂暴的旋風(fēng)卷向了空中，風(fēng)的巨大力量使他不由自主地以左腳為軸快速旋轉(zhuǎn)，與此同時(shí)，他隨時(shí)會(huì)從空中摔下來(lái)，這讓他感到無(wú)比恐懼。這時(shí)一位老人出現(xiàn)了，遞給他一個(gè)國(guó)外出產(chǎn)的甜瓜。 第二個(gè)夢(mèng)也是一幅十分恐怖的畫面，他被抓進(jìn)了一個(gè)陰森森的房間，房間里不時(shí)響起霹靂一般巨大的不祥的聲音，在他身體周圍不斷有到處飛濺的火花。 第三個(gè)夢(mèng)與前兩個(gè)夢(mèng)形成了鮮明的對(duì)比，呈現(xiàn)在笛卡兒面前的是一幅祥和靜穆的畫面，當(dāng)他四處環(huán)顧時(shí)，發(fā)現(xiàn)房間里有一張桌子，桌子上有書時(shí)隱時(shí)現(xiàn)。 這些書包括一部名為《詩(shī)人集成》（Corpus Poetarum）的詩(shī)歌選集和一部百科全書。他隨手打開(kāi)了那本詩(shī)歌選集翻到了其中一頁(yè)，一眼看到的正是公元 4 世紀(jì)羅馬詩(shī)人奧索尼烏斯（Ausonius）的一首詩(shī)。 詩(shī)中寫道：“我的生命應(yīng)當(dāng)走什么樣的道路？”（Quod vitae sectabor iter ？）此時(shí)，一個(gè)神秘的人從空氣中閃現(xiàn)了出來(lái)，他引用了另一句詩(shī)：“是又不是?！保‥st et non.）笛卡兒想給他看看奧索尼烏斯的詩(shī)歌，但整本書卻消失在了虛空中。 一般情況下，夢(mèng)境總是似是而非、顛三倒四的，夢(mèng)的意義并不在于其具體的內(nèi)容，而在于做夢(mèng)的人對(duì)它的解釋。笛卡兒對(duì)這三個(gè)神秘的夢(mèng)的解釋產(chǎn)生了令人震驚的影響。 他認(rèn)為，百科全書代表了科學(xué)知識(shí)的集合，詩(shī)集則代表了哲學(xué)、啟示和熱情?！笆怯植皇恰本褪侵漠呥_(dá)哥拉斯對(duì)立，笛卡兒認(rèn)為，這代表了真理和虛妄。（大家不必驚奇，一些心理學(xué)家甚至認(rèn)為甜瓜暗示了性。） 笛卡兒絕對(duì)確信，這三個(gè)夢(mèng)表明人類的所有知識(shí)在理性思想的幫助下可以統(tǒng)一為一體。 1621年，笛卡兒退役了。在隨后的 5 年里，他繼續(xù)四處游歷。在旅途中，笛卡兒也沒(méi)有放棄研究數(shù)學(xué)。在這段時(shí)間里，所有見(jiàn)過(guò)笛卡兒的人，包括當(dāng)年具有巨大影響力的精神領(lǐng)袖紅衣主教皮埃爾·德·貝魯爾（Pierre de Bérulle，1575—1629）都被笛卡兒深刻的見(jiàn)解和清晰的思路深深打動(dòng)，并為之嘆服。 很多人都鼓勵(lì)笛卡兒繼續(xù)他的研究，并將他的思想寫下來(lái)公開(kāi)出版。對(duì)于一個(gè)年輕人來(lái)說(shuō)，這種富于智慧的關(guān)愛(ài)和建議可能會(huì)適得其反，就像在電影《畢業(yè)生》中對(duì)達(dá)斯汀·霍夫曼所扮演的角色所說(shuō)的那句忠告：“塑造自己！”（Plastics ?。?/span> 但是笛卡兒不同。他已經(jīng)把自己的目標(biāo)定為研究真理，因此他很容易就被說(shuō)服了。最后，笛卡兒移居荷蘭，當(dāng)時(shí)，那里似乎能提供一個(gè)更安靜的思考環(huán)境。在隨后的 20 年里，他寫出了一本又一本不朽的著作。 1637年，笛卡兒出版了第一本關(guān)于科學(xué)基礎(chǔ)思考的杰作《談?wù)劮椒ā?，圖2展示的是這本書在首版時(shí)所使用的扉頁(yè)。這本著作還有三個(gè)值得著重關(guān)注的附錄，分別關(guān)于光學(xué)、氣象學(xué)和幾何學(xué)。 緊接著，笛卡兒在1641年出版了一本哲學(xué)方面的著作《第一哲學(xué)沉思集》，1644年又出版了一本物理學(xué)專著《哲學(xué)原理》。 在出版這幾本書以后，笛卡兒的大名傳遍整個(gè)歐洲，在他的仰慕者和有書信往來(lái)的人中，還包括已經(jīng)被放逐的波希米亞公主伊麗莎白（1618—1680）。 1649年，笛卡兒被邀請(qǐng)?jiān)L問(wèn)瑞典，教授瑞典女王克里斯蒂娜（1626—1689）哲學(xué)。出于對(duì)王室成員的尊敬，笛卡兒接受了邀請(qǐng)。 事實(shí)上，笛卡兒在給女王的回信中充滿了17世紀(jì)所特有的謙卑，以致在今天我們看到這封信時(shí)都感覺(jué)有點(diǎn)可笑：“我已經(jīng)做好一切準(zhǔn)備以執(zhí)行女王陛下的任何命令。即便我出生在一個(gè)瑞典或芬蘭家庭，我對(duì)您也不可能比現(xiàn)在有更多的熱情，也不可能表現(xiàn)得更完美了?！?/span> 那位年僅23歲有著鋼鐵般意志的瑞典女王堅(jiān)持要求笛卡兒在早晨5點(diǎn)這個(gè)極不適宜的時(shí)間給她上課。在北歐這片土地上，清晨實(shí)在太過(guò)寒冷了。笛卡兒在給朋友的信中寫到，在這里甚至連思維也被凍僵了。后來(lái)事實(shí)證明，這種寒冷對(duì)他是致命的。 他說(shuō)：“我在這里不得其所，很不自在。我只想要寧?kù)o和沉思。如果一個(gè)人自己不能獲得寧?kù)o，即使是地球上最有權(quán)勢(shì)的國(guó)王也不能賜予他?！痹谟赂业孛鎸?duì)瑞典長(zhǎng)達(dá)數(shù)月的嚴(yán)酷寒冬和黑暗的早晨之后（對(duì)于笛卡兒來(lái)說(shuō)，這樣的清晨是他一生都在努力回避的噩夢(mèng)），笛卡兒最終患上了急性肺炎。 1650年2月11日，就好像試圖避開(kāi)再次被叫醒一樣，笛卡兒在凌晨4點(diǎn)鐘去世了，享年54歲。這位開(kāi)辟了現(xiàn)代文明的人，成了自己的諂上心態(tài)和一位年輕女王的任性的犧牲品。
圖 4-2 笛卡兒被安葬在了瑞典。1667年，他的遺?。ɑ蛘哒f(shuō)，至少是他遺骸的一部分）被運(yùn)回了法國(guó)。 在那里，笛卡兒的遺骸又被多次轉(zhuǎn)移，一直到1819年2月26日才最終埋葬在圣日耳曼·德佩教堂（Saint Germain des Prés）的一所附屬小禮拜堂內(nèi)（圖 3）。據(jù)說(shuō)，笛卡兒的一塊頭蓋骨從瑞典流出后，經(jīng)過(guò)了數(shù)人之手，最后被化學(xué)家伯齊得烏斯（Berzelius）購(gòu)得，并帶回了法國(guó)。 這塊頭蓋骨現(xiàn)存放在法國(guó)巴黎人類博物館的自然科學(xué)館中，經(jīng)常呈現(xiàn)在穴居人頭蓋骨的對(duì)面。
圖3 作者站在笛卡兒極其簡(jiǎn)樸的黑色紀(jì)念碑旁邊 如果某個(gè)人的身上貼上了“現(xiàn)代”這個(gè)標(biāo)簽，通常意味著他能非常自如地與20 世紀(jì)（現(xiàn)在就是指 21世紀(jì)了）的專業(yè)人士或同行們進(jìn)行交流。 笛卡兒可以被稱為“現(xiàn)代”人，原因是他敢于質(zhì)疑自己之前所有哲學(xué)和科學(xué)中的結(jié)論。他曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，他所接受的教育的唯一用處是使他感到更加困惑，以及讓他認(rèn)識(shí)到了自己的無(wú)知。 在那本偉大的《談?wù)劮椒ā芬粫?，他寫道：“關(guān)于哲學(xué)，我發(fā)現(xiàn)，盡管它在人類最聰明的大腦中孕育了幾個(gè)世紀(jì)，但其中的所有觀點(diǎn)都存在爭(zhēng)議，并因此更加不確定?！?/span> 雖然笛卡兒本人的哲學(xué)思想同樣被后來(lái)的哲學(xué)家指出存在明顯的缺點(diǎn)，但是，笛卡兒這種前所未有的，甚至是對(duì)最基本概念的懷疑，確實(shí)使他顯得十分“現(xiàn)代”。 更重要的是，從笛卡兒現(xiàn)存著作中的觀點(diǎn)里可以看出，他認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的方法和推理步驟能精確地得出某種必然結(jié)論，而這正是在他之前的經(jīng)院派哲學(xué)所缺乏的。他的觀點(diǎn)表達(dá)得十分清楚：
在笛卡兒看來(lái)，不僅物理宇宙是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫就的，而且人類的所有知識(shí)都遵循數(shù)學(xué)的邏輯。 用笛卡兒的話說(shuō)：“它（數(shù)學(xué)方法）是最強(qiáng)有力的知識(shí)工具，比人類能動(dòng)性贈(zèng)予我們的其他任何工具都有效，它是萬(wàn)物的根源?！?/span> 因此，笛卡兒的一個(gè)重要目標(biāo)就成了如何證明物理世界，對(duì)他來(lái)說(shuō)，這個(gè)現(xiàn)實(shí)是可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的，可以不用依賴經(jīng)常誤導(dǎo)我們的感性認(rèn)識(shí)來(lái)描繪。 他提倡，人類在思維過(guò)程中應(yīng)當(dāng)過(guò)濾掉眼睛所能看到的 ，而將感知轉(zhuǎn)為思考 。 笛卡兒堅(jiān)持認(rèn)為：“沒(méi)有任何確定的標(biāo)志能夠區(qū)分已被喚醒，還是仍在沉睡?！?/span> 但是，笛卡兒也懷疑，如果我們?cè)詾檎鎸?shí)的所有事物其實(shí)都不過(guò)是一場(chǎng)夢(mèng)，那么我們?cè)趺茨苤?，那些真?shí)的事物甚至是地球和天空，不是某些“有無(wú)窮力量的惡魔”為我們制造出來(lái)的某種“夢(mèng)幻般的虛妄”？ 或者，正如伍迪·艾倫曾經(jīng)說(shuō)過(guò)的：“如果一切都是幻覺(jué)，沒(méi)什么是真實(shí)存在的，那么會(huì)發(fā)生什么呢？如果是這樣，我絕對(duì)為我的地毯花了冤枉錢?！?/span> 這些疑問(wèn)在笛卡兒腦海里不斷涌現(xiàn)，最終促使他說(shuō)出了那句最著名的名言：“我思，故我在?！睋Q句話說(shuō)，在思考的背后，應(yīng)當(dāng)存在一種意識(shí)心智。也許有點(diǎn)自相矛盾，懷疑這種行為本身卻不能被質(zhì)疑！ 笛卡兒試圖從這一看起來(lái)微不足道的開(kāi)端構(gòu)建一個(gè)完整、可信的知識(shí)體系。 笛卡兒廣泛涉獵了哲學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、胚胎學(xué)、形而上哲學(xué)，并在這些學(xué)科中都取得了對(duì)后世影響頗深的成就。 盡管笛卡兒堅(jiān)信人類理性思考的能力，他卻不相信僅憑邏輯就能揭示真理。在這一點(diǎn)上，笛卡兒得出了在本質(zhì)上與伽利略相同的結(jié)論：“就邏輯而言，三段論及其他大部分認(rèn)識(shí)在我們已知的領(lǐng)域內(nèi)是很有效的，但是，在探索未知領(lǐng)域時(shí)卻不見(jiàn)得同樣有效。” 而在他大膽嘗試徹底改造和重新構(gòu)建所有學(xué)科的基礎(chǔ)的過(guò)程中，笛卡兒試圖利用自己從數(shù)學(xué)方法中提煉出的規(guī)律，確保工作建立在實(shí)際、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。笛卡兒在《探求真理的指導(dǎo)原則》一書中描述了這些嚴(yán)格的指導(dǎo)性規(guī)律。 他從那些自己確信不疑的真理（類似歐幾里得幾何學(xué)中的公理）開(kāi)始；接著，試圖把那些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干更易于處理的簡(jiǎn)單問(wèn)題；然后，從那些最基礎(chǔ)的現(xiàn)象開(kāi)始研究，逐步深入到其內(nèi)部復(fù)雜的本質(zhì)；最后，重復(fù)檢查整個(gè)過(guò)程以確保不會(huì)有任何可能的解決方法被忽略。 不用說(shuō)，即使是通過(guò)這種嚴(yán)格的步驟小心翼翼地構(gòu)建，也不能保證笛卡兒的結(jié)論完全正確。事實(shí)上，盡管笛卡兒最為人稱道的是他在哲學(xué)上的巨大突破，但真正讓他獲得不朽聲望的還是他在數(shù)學(xué)上的成就。 在這里，我將簡(jiǎn)要介紹他的一個(gè)非常簡(jiǎn)單卻閃耀著奪目光芒的數(shù)學(xué)思想，它被密爾稱為“人類有史以來(lái)在精確科學(xué)上邁出的最偉大的一步”。 讓我們看看圖4所示的美國(guó)紐約市曼哈頓區(qū)的地圖——這只是整個(gè)曼哈頓區(qū)的一部分地圖。如果你站在34大街和第八大道的拐角處，而你想要找的人站在 59 大街和第五大道的交會(huì)處，你肯定會(huì)找到他，對(duì)嗎？這道題恰恰體現(xiàn)了笛卡兒的一種全新幾何學(xué)方法的精髓。 笛卡兒在《談?wù)劮椒ā返囊黄?106 頁(yè)的附錄中大體勾勒了這一思想，這篇附錄被稱為《幾何》。你也許很難相信，正是這個(gè)看起來(lái)十分簡(jiǎn)單的概念從根本上改變了數(shù)學(xué)。 笛卡兒用微不足道的事實(shí)表明，正如曼哈頓地圖所展示的那樣，用平面上的一對(duì)數(shù)就能清晰無(wú)誤地確定一個(gè)點(diǎn)的位置（圖5a）。 之后，笛卡兒利用這一事實(shí)發(fā)展出了一門非常有用的理論——解析幾何。為了紀(jì)念笛卡兒，這種以兩條相交直線組成的參考系被命名為“笛卡兒坐標(biāo)系”。 傳統(tǒng)上，我們把水平線標(biāo)記為“ x軸”，把垂直線標(biāo)記為“y軸”，這兩條線相交的點(diǎn)被稱為“原點(diǎn)”。例如，在圖 5a 中所標(biāo)記的點(diǎn)A ，其橫坐標(biāo)值為 3，縱坐標(biāo)值為 5，這樣一來(lái)，點(diǎn)A就可以用一對(duì)有序數(shù) (3, 5) 表示了——注意，原點(diǎn)的坐標(biāo)值被規(guī)定為 (0, 0)。
圖4
圖5 試想一下，如果我們想描繪出平面上距離原點(diǎn)5個(gè)單位的所有點(diǎn)，肯定會(huì)畫出一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、半徑為5個(gè)單位的圓（圖5b）。 如果在這個(gè)圓周上取一個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)值為 (3, 4)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這一坐標(biāo)值恰好滿足32 42=52。事實(shí)上，我們可以很容易地證明（利用畢達(dá)哥拉斯定理），這個(gè)圓上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都滿足x2 y2=52。更進(jìn)一步地說(shuō)，在這個(gè)平面上，只有這個(gè)圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)值能使等式x2 y2=52成立。這就意味著，代數(shù)等式x2 y2=52可以精確且唯一地表示這個(gè)圓。 換句話說(shuō)，笛卡兒發(fā)現(xiàn)了一種能用代數(shù)等式表現(xiàn)幾何中曲線的方法，反之亦然。如果這種方法僅針對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的圓成立，那乍聽(tīng)上去，這似乎沒(méi)什么值得激動(dòng)的。 但事實(shí)上，今天我們所能見(jiàn)到的一切曲線圖，包括股票市場(chǎng)每周的波動(dòng)圖、過(guò)去幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)北極的氣溫變化圖，或者宇宙的比例圖，全部都來(lái)自笛卡兒這一天才的思想。 從此以后，代數(shù)和幾何突然之間不再是兩門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支了，它們表達(dá)了相同的真理。描述一條曲線的數(shù)學(xué)等式暗含了該曲線所有我們能想象得到的特性，例如所有的歐幾里得幾何定理。 這還不是全部，笛卡兒進(jìn)一步提出，不同曲線可以用相同的坐標(biāo)系來(lái)描述，通過(guò)找出代表這些曲線的代數(shù)表達(dá)式構(gòu)成的方程組的一般解，進(jìn)而簡(jiǎn)單地找到這些曲線的交點(diǎn)。 通過(guò)這種方法，笛卡兒充分利用代數(shù)學(xué)自身的優(yōu)勢(shì)糾正了傳統(tǒng)幾何學(xué)中那些令他極為厭煩的缺點(diǎn)。 例如，歐幾里得將幾何中的點(diǎn)定義為不可再分的、沒(méi)有大小的獨(dú)立存在體，而笛卡兒使用一對(duì)簡(jiǎn)潔有序的數(shù)就能定義平面上的點(diǎn)。在此之后，歐幾里得那種模糊的定義方法就永遠(yuǎn)地過(guò)時(shí)了。 不過(guò)，這種蘊(yùn)含深刻見(jiàn)解的全新定義方式只是笛卡兒解析幾何思想的冰山一角。 笛卡兒還指出，如果坐標(biāo)點(diǎn)（x,y）中的X和Y這兩個(gè)數(shù)有某種關(guān)系，也就是說(shuō)，X的每一個(gè)值都對(duì)應(yīng)著唯一的Y值，那么此時(shí)，X和Y就構(gòu)成了一種函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的確無(wú)處不在，你在減肥時(shí)每天測(cè)到的體重值、孩子在每個(gè)生日那天測(cè)量的身高值，或者汽車在行駛途中車速與油表里程的關(guān)系，所有這些數(shù)據(jù)都能用函數(shù)來(lái)表示。 函數(shù)是現(xiàn)代科學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家真正的“面包和黃油”，須臾不可或缺。 如果多次重復(fù)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)或觀察最終得出了相同的函數(shù)關(guān)系，它們就可能被提升到自然規(guī)律的地位——這里所謂的規(guī)律是指所有自然現(xiàn)象都要遵循的、可用數(shù)學(xué)描述的行為方式。 例如，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律（我會(huì)在本章稍后部分詳細(xì)地討論）。萬(wàn)有引力定律指出如果兩個(gè)點(diǎn)上物體之間的距離擴(kuò)大兩倍，那么它們之間的引力效應(yīng)通常會(huì)降低為原來(lái)的四分之一。 笛卡兒的思想為用數(shù)學(xué)系統(tǒng)性地處理幾乎所有事物推開(kāi)了一扇門——“上帝是一位數(shù)學(xué)家”這一理念的核心意思也不過(guò)如此。 從純數(shù)學(xué)的角度看，幾何和代數(shù)這兩門數(shù)學(xué)分支在過(guò)去被認(rèn)為是毫無(wú)關(guān)聯(lián)的，但笛卡兒證明了，如果從更高角度分析的話，兩者是完全等價(jià)的。 通過(guò)建立二者之間的等價(jià)關(guān)系，笛卡兒拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍，為進(jìn)入分析領(lǐng)域鋪平了道路，讓數(shù)學(xué)家能輕易地在數(shù)學(xué)各分支學(xué)科之間進(jìn)行交叉研究。如此一來(lái)，不僅各種不同的自然現(xiàn)象都能用數(shù)學(xué)描述，甚至數(shù)學(xué)本身也變得更廣闊、更豐富、更統(tǒng)一了。 正如偉大的數(shù)學(xué)家約瑟夫 – 路易·拉格朗日（Joseph - Louis Lagrange，1736— 1813）指出的：“當(dāng)幾何和代數(shù)沿著各自的道路獨(dú)立前進(jìn)時(shí)，它們的進(jìn)展緩慢，并且應(yīng)用范圍也有很多限制。但是，當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合起來(lái)以后，它們相互從對(duì)方那里汲取了新鮮的活力，相輔相成，并加快步伐邁向了完美。” 笛卡兒用下面這段文字作為《幾何》這本著作的結(jié)尾：“我希望后世子孫能友善地評(píng)價(jià)我，不僅針對(duì)我所解釋的那些事，而且針對(duì)我有意遺漏的那些內(nèi)容，這樣一來(lái)，其他人才能同樣享有發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。”（圖6）
圖6 笛卡兒肯定不會(huì)知道，有一個(gè)人會(huì)把他的數(shù)學(xué)思想作為科學(xué)向前邁進(jìn)的核心力量，而這個(gè)人在他去世那年才8歲，這個(gè)人的名字叫牛頓！ |
|
|
