之前古希臘時期的數(shù)學(xué)家，我寫了畢達哥拉斯、芝諾、歐幾里得，有想了解的朋友可以查看往期文章????

歐幾里得丨從公理出發(fā)構(gòu)建理論大廈

萬物皆數(shù)丨畢達哥拉斯的數(shù)學(xué)審美

芝諾悖論——由錯誤引發(fā)的進步

除了上邊這幾位，在古希臘歷史上，還有一位數(shù)學(xué)天才，天才到自信地說"給我一個支點，我可以撬起整個地球"，如果要在世界上選出三大數(shù)學(xué)家，就一定有他的名字——阿基米德。

自從阿基米德原著的羊皮卷手抄稿被發(fā)現(xiàn)與還原后，人類運用微積分這種數(shù)學(xué)工具的時間被認為提前了1800年。那么阿基米德原著的手抄稿里到底寫了什么，讓后世覺得這就是一種對微積分思維的應(yīng)用呢？微積分到底是一種什么樣的工具或思維方式？

阿基米德原著的手抄稿

在羊皮卷手抄稿里，人們發(fā)現(xiàn)了一篇阿基米德失傳的著作《方法論》，在《方法論》里阿基米德利用杠桿原理結(jié)合"窮竭法"（也叫"窮舉法"）計算出了球的體積。所謂”窮竭法“就是一種"以極限逼近求圖形面積的方法"，當(dāng)然這是后世對窮竭法的解讀，畢竟"極限"的定義比微積分出來的時間還要更晚。

但"窮竭法"也并非阿基米德首創(chuàng)，早在公元前5世紀，一個叫拉姆諾斯安提豐的希臘人就已經(jīng)在用窮竭法了，而后古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯又進行了改進，比阿基米德早出生38年的歐幾里得也在他的《幾何原本》中使用窮竭法證明了若干命題。同樣都是應(yīng)用"窮竭法"，怎么到了阿基米德應(yīng)用窮竭法的時候，就是一種對微積分思維的應(yīng)用，而歐多克索斯、歐幾里得就不是呢？

為了搞清楚這個問題，本來不想深讀《幾何原本》的我還是把歐幾里得應(yīng)用窮竭法證明的命題的推理過程和阿基米德應(yīng)用窮竭法計算球體積的思考過程做了個對比，從中我們能窺見微積分思維的演化過程。

歐幾里得對窮竭法的應(yīng)用

先來看看歐幾里得在《幾何原本》里是如何應(yīng)用"窮竭法"來解決問題的。在《幾何原本》里有這樣一個命題：

圓與圓之比如同其直徑上的正方形之比

那時候還沒有圓的面積公式，所以歐幾里得證明這個命題的過程是有些繁復(fù)冗長的，他的主要思路是利用反證法，他先引入一個面積S，預(yù)設(shè)以圓A和圓E的直徑做的正方形之比，等于圓A和S之比，他先假設(shè)S小于圓E，然后再證明有矛盾，再假設(shè)S大于圓E，再證明這也是有矛盾的，最后證明S只能等于圓E，由此得出結(jié)論：圓之比就等于其直徑上的正方形之比。

為了證明S不可能大于或小于圓E，他就應(yīng)用到了窮竭法。他取EF、FG、GH、HE圓弧上的中點，由此可以做出圓E的內(nèi)接多邊形，再取中點的中點然后連線，由此做出的內(nèi)接多邊形的面積（以下簡稱為多E）可以不斷趨近于圓E的面積但始終小于圓E。

圓E和它的內(nèi)接多邊形的面積之差——即他們圍起來的弓形的面積（下圖灰色部分）會逐漸變小，假設(shè)S＜圓E，那么（圓E - 多E）的差最終會小于（圓E - S）的差，也就是說圓E的內(nèi)接多邊形——多E的面積大于S。

而兩個圓的內(nèi)接多邊形之比就等于兩個圓的內(nèi)接正方形之比（此處的證明過程就不展開了，主要是通過K點切線做外接長方形），也就等于之前預(yù)設(shè)的圓A和S之比，變換一下就是多邊形A和圓A之比，就等于多邊形E和S之比，然而多邊形A是小于圓A的，而多邊形E卻大于S，所以就矛盾了，因此S不可能小于圓E。歐幾里得又用差不太多的方法證明了S不可能大于圓E，最后得出推論。

歐幾里得應(yīng)用的窮竭法在于他知道把圓弧這樣無限取中點做連線得到的內(nèi)接多邊形的面積可以不斷趨近于圓而小于圓?？梢哉f，歐幾里得在當(dāng)時已經(jīng)有了"極限"的思維，但他到了"極限"這一步又轉(zhuǎn)頭去用他已經(jīng)爛熟于心的反證法去了，他繞開了推導(dǎo)圓的面積公式這一難題，因此"極限"思維更進一步的發(fā)展也就止于此了，但這種"無限逼近"、"極限"的思維正是微積分思想演化的開端。

那阿基米德又是怎樣把窮竭法應(yīng)用到了微積分的思維水準的呢？

阿基米德的「微積分思維」

阿基米德的厲害之處在于，他不僅是一個數(shù)學(xué)家，他還是一個實證科學(xué)家、物理學(xué)家。比如他提出的阿基米德原理，也可以稱之為浮力定律——全部或者部分浸在水中的物體受到的向上的浮力等于物體排開的水的重量。這樣他就可以比較一些不規(guī)則物體的體積。

他還推導(dǎo)出了杠桿原理，可以用來解決當(dāng)時很多的工程問題。

阿基米德就應(yīng)用杠桿原理和窮竭法計算出了球的體積。他先設(shè)計了一個杠桿系統(tǒng)，在杠桿的左邊掛著一個圓錐體和一個球體，右邊掛著一個圓柱體。

圓錐體和圓柱體的底的半徑和高都是2r，球體的半徑為r，杠桿的長度為4r，如果左右兩邊是平衡的，那么

M1·L1=M2·L2

也正是由于阿基米德在研究浮力定律的時候有了密度的概念，所以他假設(shè)這三個物體的密度相同，那么上面的等式就可以用體積代替：

V錐· L1 + V球· L1 = V柱 · L2

然后他就用到了窮竭法來證明杠桿的左右兩端是平衡的。他分別在三個物體的x處做切片，設(shè)切片的厚度為Δx，你可以想象這個切片就是紙片那么厚，那么每個物體上的切片的體積可以近似等于一個很扁很扁的圓柱體。

圓柱體的體積=底面積 × 高

前面我們知道，歐幾里得并不會求解圓的面積，但是從歐幾里得上面的推論中不難再進一步推導(dǎo)出圓周率是個定值。到了阿基米德這兒，他不僅知道圓周率是個定值，還提出圓的面積等于"以圓周長和圓半徑長為直角邊的直角三角形面積"，即圓的面積=rC/2，也就是說他知道圓的面積怎么算，雖然和我們現(xiàn)在的πr2不一樣，但為了方便理解以下計算過程圓的面積仍用πr2。

左邊切片的體積=圓錐體切片的體積+球體切片的體積

πx2Δx + π（r2-（x-r）2）Δx = 2πxrΔx

右邊圓柱體切片的體積就是：4πr2Δx

左右兩邊的體積再乘以各自的力臂，得證左右兩邊的力矩是相等的。

4πr2Δx · x= 2πxrΔx · 2r

也就是說，無論x在0到2r這個區(qū)間取值多少，杠桿左右兩邊的切片總是平衡的。

再根據(jù)之前推導(dǎo)出的體積的力矩等式，就能得出球的體積

V球 =1/2V柱-V錐

V球=1/2 · π(2r)3 - 1/3 π(2r)3=4/3πr3

在上面的推導(dǎo)過程中，阿基米德應(yīng)用窮竭法的方式是將三個物體"切片"，以一種"近似"的方式來求解"切片"的體積，已經(jīng)涉及到了微分，而切片要從0加到2r，這就又涉及到了積分。可以說，阿基米德對微積分的理解并不遜于牛頓和萊布尼茨，而那時候還是公元前3世紀。

雖然和歐幾里得僅相差幾十年，但可以看到，阿基米德手里可用的數(shù)學(xué)工具要比歐幾里得多很多，這得益于他對解決各種數(shù)學(xué)、物理問題的狂熱。而且他的研究領(lǐng)域的廣度要遠超歐幾里得的平面幾何學(xué)。

微積分思維的演化

那微積分到底是一種什么樣的思維工具呢？從上面的例子我們看到，人們先是有了窮竭法這種"無限逼近"的思想，發(fā)展到了阿基米德這兒，他把一個整體進行"無限切割"變成了一個個"無窮小"，這樣就可以讓原本無從下手的問題化繁為簡，這種從宏觀到微觀的過程就是微分的思想；再把"無窮小"累積后還原為整體，從微觀再到宏觀，這就是積分的思想。

不過歷史并不像微積分一樣是線性變化的。阿基米德的羊皮卷手抄本幾經(jīng)波折直到2005年被送到斯坦福的同步輻射實驗室，里面的內(nèi)容才得以還原。而我們公認的微積分工具直到公元17世紀才出現(xiàn)。如果這本羊皮卷書可以在公元前3世紀后廣為流傳，也許就不會有17世紀牛頓和萊布尼茨的微積分發(fā)明之爭了，也許人類的科技發(fā)展可以提早一大步。遺憾的是，歷史從來沒有如果。