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草根研究|劉徽割圓術(shù)中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想初探

 我心飛揚(yáng)695 2015-12-10
最近在教圓面積和圓周長時看了些資料,對于中國古代的割圓術(shù)頗感興趣,做了些研究,在此談一些自己的看法,但畢竟自己學(xué)識不高,若有說地不當(dāng)之處望各位讀者、專家指正
所謂“割圓術(shù)”,是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法
阿基米德的雙側(cè)逼近法
古希臘科學(xué)家阿基米德在《論球和圓柱》一書中利用窮竭法建立起這樣的命題:只要邊數(shù)足夠多,圓外切正多邊形的面積與內(nèi)接正多邊形的面積之差可以任意小
舉例說明
① 如果是正六邊形?
② 如果是正十二邊形?
我們發(fā)現(xiàn)隨著邊數(shù)的增加,確實圓外切正多邊形的面積與圓內(nèi)接正多邊形面積的差值在減小,如果邊數(shù)繼續(xù)增加,那么這樣的差值就趨近于0。
在此運(yùn)算過程中體現(xiàn)的是:
深邃的極限思想與高明的逼近方法
注:用極限思想解決問題的一般步驟可概括為:對于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量;最后用極限計算來得到這結(jié)果。如果要問:“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說:“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。
劉徽的割圓術(shù)
割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣
(劉徽注《九章算術(shù)》)
劉徽將內(nèi)接正多邊形的面積,稱之為“冪”,同時提出了“差冪”的概念。“差冪” 是后一次與前一次割圓的差值,可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。
同時,它與兩個小紅三角形的面積和相等。
劉徽指出,在用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的過程中,圓半徑在正多邊形與圓之間有一段余徑。以余徑乘正多邊形的邊長,即2倍的“差冪”,加到這個正多邊形上,其面積則大于圓面積。這是圓面積的一個上界序列。
在此劉徽運(yùn)用的是出入相補(bǔ)原理:
出入相補(bǔ)是古中國數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形的面積或體積的基本原理。
其內(nèi)容有四:
一、一個幾何圖形,可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形,總面積或體積維持不變=所有小圖形面積或體積之和。
二、一個幾何圖形,可以任意旋轉(zhuǎn),倒置、移動、復(fù)制,面積或體積不變。
三、多個幾何圖形,可以任意拼合,總面積或總體積不變。
四、幾何圖形與其復(fù)制圖形拼合,總面積或總體加倍。
注:“出入相補(bǔ)”最早也是劉徽提出的
我們把外圍的四邊形稱之為“破缺外切正多邊形”,圓的面積應(yīng)該在內(nèi)接正多邊形面積與破缺外切正多邊形之間。
劉徽的割圓術(shù)比阿基米德的雙側(cè)逼近法牛在哪里?
1
更精確
以正六邊形為例
2
更好算
根據(jù)劉徽的割圓術(shù),我們知道圓面積是在以下的區(qū)間內(nèi)
相比阿基米德的雙側(cè)逼近法只需計算圓內(nèi)接正多邊形的面積即可,不用再計算圓外切正多邊形,工作量減少一半
按照這樣的思路,劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率 為3.1415和 3.1416這兩個近似數(shù)值。這個結(jié)果是當(dāng)時世界上圓周率計算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽對自己創(chuàng)造的這個“割圓術(shù)”新方法非常自信,把它推廣到有關(guān)圓形計算的各個方面,從而使?jié)h代以來的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進(jìn)了一步。以后到了南北朝時期,祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力,終于使圓周率精確到了小數(shù)點以后的第七位。在西方,這個成績是由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。


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