李文林

　　佇立在北京天壇祈年殿前，贊美之情油然而生。這座完美的古代建筑，最基本的設(shè)計元素竟然是最簡單的幾何圖形——圓。三層漢白玉圓形臺基、三層藍琉璃圓頂大殿，與附近的圓形皇穹宇和圜丘交相輝映，好一片圓美世界！

　　圓和球還是最實用的圖形。宏大如宇宙天體，微小至原子電子，飛轉(zhuǎn)的車輪，滴答的鐘表……人們的日常生活離不開圓和球，科技的進步也離不開圓和球。

　　簡單中寓深奧。在圓與球簡約的外形下，潛藏著無窮的數(shù)學(xué)奧秘。

　　圓周長和圓面積的計算，蘊涵著極限思想。中國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓。劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并計算逐次得到的正多邊形的周長和面積（以及相應(yīng)的圓周率近似值）。

　　古希臘數(shù)學(xué)家稱用多邊形逼近曲線圖形的方法為“窮竭法”，早在公元前3世紀(jì)，阿基米德也是用這種方法去計算圓的周長、面積及圓周率的。不過阿基米德最引以自豪的，是他對球體積的計算。阿基米德考慮一個球和它的外切圓柱，以及一個輔助的圓錐，其基本做法是將這些立體分割成無數(shù)的薄片，并用力學(xué)平衡的方法比較它們的體積，最后求得球體積的正確公式：（R是球半徑）。阿基米德的方法可以看成是積分學(xué)的先聲。無獨有偶，在東方，中國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子祖恒，也是利用球和它的外切圓柱計算出正確的球體積公式。不過與阿基米德不同，祖氏父子考慮的是同一個球的兩個互相垂直的外切圓柱的公共部分（劉徽最先發(fā)現(xiàn)該種立體并命名為“牟合方蓋”），并運用歐洲學(xué)者遲至17世紀(jì)才重新發(fā)現(xiàn)的不可分量原理推算出這部分立體與其所含內(nèi)切球的體積之比。祖氏父子的方法與阿基米德的可以說是異曲同工，殊途同歸。

　　至于近代微積分的發(fā)明，圓和球也扮演了重要的角色。我們知道，在17世紀(jì)上半紀(jì)微積分醞釀時期，圓面積與圓周率的計算，曾是那些尋找打開無窮小算法大門鑰匙的數(shù)學(xué)大師們關(guān)注的熱點。牛頓之前的先行者、英國數(shù)學(xué)家沃利斯在其代表作《無窮算術(shù)》中，用插值法計算1／4圓的面積，并進而導(dǎo)出了無窮乘積表達式。

　　牛頓推廣沃利斯的方法而得到了指數(shù)可以是分?jǐn)?shù)和負數(shù)的二項定理，二項定理在建立微積分算法中的作用是眾所周知的。在解析幾何的發(fā)明人笛卡兒手中，圓是他作圖求解方程的基本工具。笛卡兒在《幾何學(xué)》一書中提出的求曲線切線的方法甚至以“圓法”著稱，而牛頓正是從研究、改善笛卡兒“圓法”開始踏上制定微積分的漫漫征途。微積分的另一位發(fā)明人萊伯尼茨也計算過圓面積及圓周率，他給出了無窮級數(shù)表達式。

　　饒有意味的是，與牛頓、萊伯尼茨差不多同時代的日本“算圣”關(guān)孝和，開創(chuàng)了獨具一格的“圓理”。他所謂的“圓理”，即指與圓有關(guān)的研究，以無窮級數(shù)為基礎(chǔ)，計算各種曲線與曲面圍成的圖形之面積與體積，說明當(dāng)時東方的數(shù)學(xué)家們也在竭力用圓這把鑰匙叩擊著微積分的大門。

　　古希臘“數(shù)學(xué)之神”阿基米德把球體積推算視為他一生最得意的成果，曾留下遺囑把球及其外切圓柱的圖形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿戰(zhàn)爭期間被羅馬士兵殺害，據(jù)傳當(dāng)羅馬軍士沖到阿基米德身邊時，這位正在思考數(shù)學(xué)問題的老人喊出的最后一句話是：“別動我的圓！”阿基米德死后，羅馬軍隊的主帥馬塞呂斯下令為阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遺愿，在他墓前豎了一塊石碑，墓碑上刻著的正是那不朽的圖形——球及其外切圓柱。記載著阿基米德球體積計算的羊皮書手稿，歷經(jīng)千年塵封后終于重見天日，被譽為20世紀(jì)最重大的考古發(fā)現(xiàn)而轟動一時。

　　至于圓周率的計算，這方面的成就往往被用作衡量某一時代、某一地區(qū)文化水平的標(biāo)征。前面已提到的祖沖之，亦以圓周率的計算而彪炳史冊。據(jù)《隋書》記載，祖沖之算出圓周率的精確值在3.1415926與3.1415927之間，這在公元5世紀(jì)時創(chuàng)造了世界之最。為了紀(jì)念這位文化名人，人們把月球上的一座環(huán)形山命名為“祖沖之山”。1955年，中國還發(fā)行了祖沖之紀(jì)念郵票。祖沖之并不是僅有的出現(xiàn)在郵票上并與圓周率有關(guān)的數(shù)學(xué)家。伊朗曾發(fā)行過紀(jì)念阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的郵票，阿爾·卡西恰恰是祖沖之之后刷新圓周率計算記錄的第一人，他在公元14世紀(jì)，給出了準(zhǔn)確到13位小數(shù)的圓周率近似值。今天，電子計算機已經(jīng)將數(shù)值計算到小數(shù)點后數(shù)萬億位。然而，電子計算機的發(fā)明、使用本身離不開圓的數(shù)學(xué)。

　　我們已經(jīng)看到，圓與球，簡單，美麗，奧妙，述說著一個跨時代、跨文化的數(shù)學(xué)故事。最后，讓我們回到本文開始之處——北京天壇，去側(cè)耳傾聽沿著那圓形的回音壁回蕩的永恒的“圓舞曲”吧。

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