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三角函數(shù)是中學數(shù)學學習的重點、難點之一。有同學數(shù)學學習本來還不錯，但從三角函數(shù)開始情況變得不再樂觀，學習開始發(fā)懵，感覺到數(shù)學學習力不從心，學習成績明顯下滑：要么概念不能熟練掌握、不好理解；要么覺得公式太多，沒辦法背熟、記全；要么三角函數(shù)特殊角的數(shù)值大小、正負記不牢，容易混淆。因而，三角函數(shù)成為中學數(shù)學學習上的攔路虎，甚至成為部分學生的噩夢。

下面，以平面直角坐標系作為基礎(chǔ)，從基本概念開始介紹，希望能夠降低三角函數(shù)的學習難度，幫助大家更快更好地掌握三角函數(shù)。

一、 準備知識

1、 平面直角坐標系

如圖1所示，建立平面直角坐標系xOy，坐標平面被x軸和y軸分割成四個部分，分別稱做第一象限、第二象限、第三象限及第四象限。

圖1 平面直角坐標系

2、 角度正、負規(guī)定

以平面直角坐標系原點O為圓心，做半徑為r的圓，半徑OA與x軸的夾角記為α，如圖2所示。

α角大小的變化，可以看做是A點以r為半徑繞原點O轉(zhuǎn)動所致，A點轉(zhuǎn)動的起始位置在x軸上。

圖2

規(guī)定：從x軸指向半徑OA，逆時針時α角為正值，順時針時α角為負值。

如圖3所示，α=45度或者-315度；

圖3

如圖4所示，α=180度或者-180度。

圖4

3、 角度單位：弧度（rad）

大家都知道，角度的常用單位是度，轉(zhuǎn)一圈是360度，平角是180度，直角是90度。

俗話說入鄉(xiāng)隨俗，到哪道山唱什么歌。在數(shù)學、物理等學科，角度的單位一般不再用度，而是用弧度?；《鹊挠⑽脑~匯是radian，縮寫成rad，不過人們習慣弧度的單位省略不寫。

（1）弧度的定義：弧度制指對于一個圓，用弧長l與半徑r之比來度量對應圓心角α角度的方式，如圖5所示。

圖5

（2）弧度與度的換算

根據(jù)弧度定義，等于半徑長的圓弧所對的圓心角是1弧度；一個圓周長是2πr，其圓心角就是2π弧度，簡稱2π?；《扰c度的換算關(guān)系如下：

弧度的精髓就在于它是一個與圓半徑無關(guān)的量，從而大大簡化了有關(guān)公式及運算。

4、 半徑OA的投影

如圖6所示，對于銳角α，A點位于第一象限，半徑OA在x軸上的的投影為OB，長度記為x；半徑OA在y軸上的的投影為OC，長度記為y，則三角形OBA構(gòu)成直角三角形。

圖6

二、 三角函數(shù)的基本定義

在直角三角形OBA中，直邊x、y及斜邊r與角α的基本關(guān)系有六種：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，常用的是前三種函數(shù)。

這六種函數(shù)的定義如下：

1、 正弦函數(shù)

在直角三角形中，銳角α的對邊與斜邊的比值，稱做α角的正弦函數(shù)，簡稱α角的正弦，記作sinα（sin是正弦一詞的英語詞匯sine的縮寫），即

從圖6上可以看出，當α=0時， y=0，sinα=0，最??；當α=90度時，y=r，sinα=1，最大；所以sinα的取值范圍有：0≤sinα≤1。

2、 余弦函數(shù)

在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比值，稱做α角的余弦函數(shù)，簡稱α角的余弦，記作cosα（cos是余弦一詞的英語詞匯cosine的縮寫），即

從圖6上可以看出，當α=0時，x=r，cosα=1，最大；當α=90度時，x=0，cosα=0，最?。凰詂osα的取值范圍有：0≤cosα≤1。

3、 正切函數(shù)

在直角三角形中，銳角α的對邊與鄰邊的比值，稱做α角的正切函數(shù)，簡稱α角的正切，記作tanα或tgα（tan、tg都是正切一詞的英語詞匯tangent的縮寫），即

考慮到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，得知

從圖6上可以看出，當α=0時，x=r，y=0，tanα=0，最小；當α=90度時，x=0，y=r，tanα趨于無窮大，發(fā)散；所以tanα的取值范圍有：0≤tanα<∞。

4、 余切函數(shù)

在直角三角形中，銳角α的鄰邊與對邊的比值，稱做α角的余切函數(shù)，簡稱α角的余切，記作cotα或ctgα（cot、ctg都是余切一詞的英語詞匯Cotangent的縮寫），即

從定義上可以看出，余切是正切的倒數(shù)，有

考慮到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，得知

從圖6上也可以看出，當α=0時，x=r，y=0，cotα趨于無窮大，發(fā)散；當α=90度時，x=0，y=r，cotα=0，最??；所以cotα的取值范圍有：0≤cotα<∞。

5、 正割函數(shù)

正割函數(shù)是余弦函數(shù)的倒數(shù)，是在直角三角形中，銳角α的斜邊與鄰邊的比值，記作secα（sec是正割一詞的英語詞匯Secant的縮寫），即

從圖6上可以看出，當α=0時，x=r，secα=1，最??；當α=90度時，x=0，secα趨于無窮大，發(fā)散；所以cosα的取值范圍有：1≤secα<∞。

6、 余割函數(shù)

余割函數(shù)是正弦函數(shù)的倒數(shù)，是在直角三角形中，銳角α的斜邊與對邊的比值，記作cosecα（cosec是正割一詞的英語詞匯Cosecant的縮寫），即

從圖6上可以看出，當α=0時， y=0，cosecα趨于無窮大，發(fā)散=0；當α=90度時，y=r，cosecα=1，最??；所以cosecα的取值范圍有：1≤cosecα<∞。

（待續(xù)）