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解題研究 | 特殊化:線段之比問題求解的有效路徑

 一個大風(fēng)子 2023-02-18 發(fā)布于黑龍江

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作者信息

胡夢迪1,段志貴2

1.南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院,江蘇  南京  210023

2.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇  鹽城  224002


摘要

線段之比的求解,常常因為比值未知而讓人陷入思維困境。特殊化策略是突破學(xué)生思維困境的有效路徑,主要包括圖形形狀特殊化、動點位置極端化以及圖形形狀和取點位置均特殊化三類。特殊化在于幫助思考,并不代替一般化推理(或證明)。解決這類問題一般有三個步驟:首先通過特殊化思考問題,探求比值;其次,根據(jù)比值找到一般化求解的方向;最后,在一般情況中得出問題結(jié)論。

關(guān)鍵詞特殊化;線段之比問題;初中幾何

中國分類號:G634.6

初中幾何中有一類求解線段之比的問題,因比值未知、圖形靈活復(fù)雜,是學(xué)習(xí)的難點,解決這類問題的一條有效路徑是特殊化。所謂特殊化是指將研究對象或問題從一般狀態(tài)轉(zhuǎn)化為特殊狀態(tài)進行考察和研究,[1]常常表現(xiàn)為從范圍較大的問題過渡到一個范圍較小的問題或它的子問題。特殊化解題方法是突破解題瓶頸、探求解題思路的一種常用方法。[2]在求解線段之比問題中,特殊化可以幫助我們求得定值,還可以給予我們一般化求解的方向。

問題呈現(xiàn)析題意

如圖1,已知兩正方形ABCD,BEFG,求圖片的值。
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求兩條線段的比,直覺上可以用構(gòu)造相似三角形的方法,但是如何構(gòu)造相似三角形呢?這里的困難就在于變化因素太多,七個點A,B,C,D,E,F(xiàn),G的位置都不是固定的。進一步審題發(fā)現(xiàn),盡管兩個正方形的大小和位置在變化,但和圖片的值都有一定的聯(lián)系,因此可以用動態(tài)的、運動的觀點觀察本題,這是本題的第一個關(guān)鍵思維節(jié)點。

首先嘗試使正方形ABCD固定不動,將正方形BEFG動態(tài)化(固定正方形BEFG,將正方形ABCD動起來是一樣的效果)。任意改變正方形BEFG的大小和位置,在正方形BEFG“動起來”的過程中,發(fā)現(xiàn)有一些特殊的位置,例如正方形BEFG的某一邊和正方形ABCD某一邊在同一直線上,正方形BEFG某一邊和正方形ABCD某條對角線在同一直線上等等。由此想到用特殊化法,從一般情況“退”到特殊情況,尋找特殊位置求解,這是本題的第二個關(guān)鍵思維節(jié)點。

特殊位置巧入手


特殊位置可以有多種取法,如圖2所示,在此不一一列舉。

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在每一個特殊位置的情況下,都不難發(fā)現(xiàn)圖片.至此,用特殊化法已經(jīng)猜出了本題的答案,但是在解答題中,必須進行一般性的證明,而特殊化法為一般性證明指明了方向。

由特殊化法猜出的答案,容易聯(lián)想到正方形的邊長與對角線之比也為,結(jié)合初步直覺,就可以利用兩個正方形的邊長和對角線構(gòu)造相似比為圖片的相似三角形,從而利用相似三角形性質(zhì)求得兩條線段的比。由此,添加輔助線BD,BF,如圖3所示

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特殊化法再思量

有了特殊化法對線段之比問題的初步運用,在此經(jīng)驗上拓展運用,從而發(fā)生思想方法的遷移,實現(xiàn)高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移。

類型一:圖形形狀特殊化

(武漢市2022年中考23題)如圖4所示,在△ABC中AB=AC,D是AC的中點,延長BC至點E,使DE=DB,延長ED交AB于點F,探究圖片的值。

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分析由AD=CD,且對頂角∠ADF和∠CDE相等,聯(lián)想到添加輔助線構(gòu)造全等三角形。

因此,如圖5所示,過點C作CG∥BA交DE與點G,可證得△ADF≌△CDG(∠ADF=∠CDG,AD=CD,∠A=∠DCG).

又易證△CGE∽△BFE,
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從而現(xiàn)在所求目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求圖片的值.下面分析如何求圖片的值。

特殊化法考慮將AB=AC,DE=DB與圖片聯(lián)系起來。將等腰△ABC特殊化為等邊三角形,如圖6所示,易得△DCE是等腰三角形,

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下面證明這一結(jié)論。受特殊化法求得的圖片且D為線段的AC中點啟發(fā),聯(lián)想到添加三角形中位線。

如圖7所示,取線段BC的中點H,連接DH,則DH∥AB,

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綜上所述,題目所求

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類型二:動點位置極端化

如圖8,在△ABC中,點M,N分別是AB,AC中點,點P是MN上的任意一點,延長BP和CP,交AC,AB于點E,F(xiàn).求圖片的值。

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分析:采用特殊化法,取P點為臨界位置,如圖9所示,當(dāng)點P與點M重合時,F(xiàn),E分別與M,A重合,此時

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求出了這個定值,進行一般性的證明就有了明確的目標(biāo).如圖10所示,過點A作BC的平行線與CF,BE分別交于點H,點K。

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類型三:圖形形狀和取點位置均特殊化

如圖11,△ABC三邊上的高分別為ha,hb,hc,三角形內(nèi)任一點P至三邊的距離分別為da,db,dc,求圖片的值。

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分析采用特殊化法如圖12所示將△ABC特殊化為等邊三角形,此時三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心重合,為正三角形的中心,將P取為三角形的中心,則

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求出這個定值,就啟發(fā)我們利用三角形面積公式一般性求解,所以

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總結(jié)概括悟思想

回顧線段之比問題的求解過程,解題關(guān)鍵看似是如何利用中位線性質(zhì)或相似三角形性質(zhì)添加輔助線從而構(gòu)造相似(全等)三角形,但其實如何從一般的、變化因素太多的問題過渡到變化因素較少的問題或者原問題的子問題才是關(guān)鍵,特殊化思想方法正是解開此類題目的鑰匙。幾何問題中常見的特殊化方法有將圖形形狀特殊化、將圖形位置特殊化[3]以及圖形形狀和圖形位置均特殊化。圖形形狀特殊化包括將三角形特殊化為等腰三角形、直角三角形、等邊三角形;四邊形特殊化為平行四邊形、矩形、菱形、正方形;圓、三角形、四邊形極端化為一點等。圖形位置特殊化包括點取線段中點或端點,取具有特殊性質(zhì)的點如內(nèi)心、重心、外心、垂心;線取角平分線、平行線、垂線等等。

特殊化是思考問題的方法,并不是解決問題的方法,不能代替一般化證明的過程,解決問題時必須要從特殊推廣到一般性問題,否則會因推理過程不嚴(yán)密而發(fā)生錯解、漏解的情況。在線段之比問題中,通過思考特殊化后較為簡單的幾何圖形,明確一般化求解的方向,再向一般化問題行進,證明得到答案。也就是說,解決這類問題一般有三個步驟:首先通過特殊化思考問題,探求比值;其次,根據(jù)比值找到一般化證明的方向;最后,在一般情況中證明結(jié)論。

參考文獻

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(本文發(fā)表在《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2023年2下半月上,歡迎引用:[1]胡夢迪,段志貴.特殊化:線段之比問題求解的有效路徑[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2023,No.700(04):14-16.)

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作者 | 胡夢迪   段志貴

編輯 | 顧家豪            


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