胡夢迪1,段志貴2 1.南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院,江蘇 南京 210023 2.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇 鹽城 224002 線段之比的求解,常常因為比值未知而讓人陷入思維困境。特殊化策略是突破學(xué)生思維困境的有效路徑,主要包括圖形形狀特殊化、動點位置極端化以及圖形形狀和取點位置均特殊化三類。特殊化在于幫助思考,并不代替一般化推理(或證明)。解決這類問題一般有三個步驟:首先通過特殊化思考問題,探求比值;其次,根據(jù)比值找到一般化求解的方向;最后,在一般情況中得出問題結(jié)論。 中國分類號:G634.6 一問題呈現(xiàn)析題意 ![]() ![]() 求兩條線段的比,直覺上可以用構(gòu)造相似三角形的方法,但是如何構(gòu)造相似三角形呢?這里的困難就在于變化因素太多,七個點A,B,C,D,E,F(xiàn),G的位置都不是固定的。進一步審題發(fā)現(xiàn),盡管兩個正方形的大小和位置在變化,但和 二特殊位置巧入手 特殊位置可以有多種取法,如圖2所示,在此不一一列舉。 在每一個特殊位置的情況下,都不難發(fā)現(xiàn) 由特殊化法猜出的答案,容易聯(lián)想到正方形的邊長與對角線之比也為,結(jié)合初步直覺,就可以利用兩個正方形的邊長和對角線構(gòu)造相似比為 ![]() 三特殊化法再思量 有了特殊化法對線段之比問題的初步運用,在此經(jīng)驗上拓展運用,從而發(fā)生思想方法的遷移,實現(xiàn)高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移。 類型一:圖形形狀特殊化 (武漢市2022年中考23題)如圖4所示,在△ABC中AB=AC,D是AC的中點,延長BC至點E,使DE=DB,延長ED交AB于點F,探究 分析由AD=CD,且對頂角∠ADF和∠CDE相等,聯(lián)想到添加輔助線構(gòu)造全等三角形。 因此,如圖5所示,過點C作CG∥BA交DE與點G,可證得△ADF≌△CDG(∠ADF=∠CDG,AD=CD,∠A=∠DCG). ![]() 從而現(xiàn)在所求目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求 特殊化法考慮將AB=AC,DE=DB與 ![]() 下面證明這一結(jié)論。受特殊化法求得的 如圖7所示,取線段BC的中點H,連接DH,則DH∥AB, ![]() ![]() ![]() 綜上所述,題目所求 類型二:動點位置極端化 如圖8,在△ABC中,點M,N分別是AB,AC中點,點P是MN上的任意一點,延長BP和CP,交AC,AB于點E,F(xiàn).求 分析:采用特殊化法,取P點為臨界位置,如圖9所示,當(dāng)點P與點M重合時,F(xiàn),E分別與M,A重合,此時 求出了這個定值,進行一般性的證明就有了明確的目標(biāo).如圖10所示,過點A作BC的平行線與CF,BE分別交于點H,點K。 類型三:圖形形狀和取點位置均特殊化 如圖11,△ABC三邊上的高分別為ha,hb,hc,三角形內(nèi)任一點P至三邊的距離分別為da,db,dc,求 分析采用特殊化法如圖12所示將△ABC特殊化為等邊三角形,此時三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心重合,為正三角形的中心,將P取為三角形的中心,則 求出這個定值,就啟發(fā)我們利用三角形面積公式一般性求解,所以
四總結(jié)概括悟思想 特殊化是思考問題的方法,并不是解決問題的方法,不能代替一般化證明的過程,解決問題時必須要從特殊推廣到一般性問題,否則會因推理過程不嚴(yán)密而發(fā)生錯解、漏解的情況。在線段之比問題中,通過思考特殊化后較為簡單的幾何圖形,明確一般化求解的方向,再向一般化問題行進,證明得到答案。也就是說,解決這類問題一般有三個步驟:首先通過特殊化思考問題,探求比值;其次,根據(jù)比值找到一般化證明的方向;最后,在一般情況中證明結(jié)論。 (本文發(fā)表在《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2023年2下半月上,歡迎引用:[1]胡夢迪,段志貴.特殊化:線段之比問題求解的有效路徑[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2023,No.700(04):14-16.) ![]() 作者 | 胡夢迪 段志貴 編輯 | 顧家豪 |
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