解一類由矩形頂點構(gòu)成的三角形問題

昵稱3826483 2012-04-30

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解一類由矩形頂點構(gòu)成的三角形問題

湖北省襄陽市樊城區(qū)牛首鎮(zhèn)竹條一中　谷興武

我們對網(wǎng)格圖形中的格點三角形問題已比較熟悉了，可是在學(xué)習(xí)《正方形》內(nèi)容時遇到一些由格點三角形變式的問題卻感到有困難。在這些變式的問題里，網(wǎng)格正方形的大小可以不一樣，形狀也可變成長方形，而且其中的格點三角形不僅需要求面積，也可以求特殊內(nèi)角的度數(shù)，題目的難度增加了。

一、探究方法

湖北省教學(xué)研究室編著的數(shù)學(xué)八(下)《練習(xí)冊》上有這樣一道題：如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點E在AB上，四邊形EFGB為正方形，則=_______________.

分析：這道題讓學(xué)生和部分老師“卡殼”了。注意到△AFC（即圖1的陰影部分）是一個一般三角形，根據(jù)圖中已知條件易求出AC的長，由于E是AB上的任意一點，可以把E點理解為動點（E在AB上滑動），所以F點也是動點，那么想求出AC邊上的高的思路打不開，因此直接用三角形面積公式求△AFC的面積非常困難。筆者提示一下，如果我們把△AFC放置在網(wǎng)格中（且A、F、C三點都在格點上），或把△AFC置身于平面直角坐標(biāo)系中（且知道A、F、C三點的坐標(biāo)），那么讀者，你的思路現(xiàn)在是不是打開了呢？可能大部分學(xué)生都能想到用一個長方形把△AFC“框起來”（如圖2）。對，割補法，將△AFC的面積通過實施割補、剪拼等方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如矩形、梯形、直角三角形等）的面積之和或差，這樣問題就能解決了。

如圖2，延長DA、 GF，兩者相交于點H，矩形GCDH把△AFC“框起來”。則（或者），可以說思路非常好，但是真正計算時，發(fā)現(xiàn)還是缺少條件，由于題目只告知了正方形ABCD的邊長為2，而沒有告訴正方形EFGB的邊長，AH、HF、FG、GC無法求出，所以思路再次受阻。走到這一步，筆者需要提醒讀者的是，在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要多注意“動點問題”的思維和訓(xùn)練，因為動點問題是近年來中考的一個熱點問題。針對某些幾何圖形，我們要把它看“活”，而不是靜止不動的。如圖2中，點E是AB上的任意一點，我們可以把它理解為動點，隨著動點E在線段AB上滑動，正方形EFGB的邊長和△AFC的形狀在不斷的變化，而題目既然讓求出△AFC的面積（即），大膽猜測，肯定是一個定值，難道說，△AFC的面積大小與正方形EFGB的邊長的大小無關(guān)嗎？

所以，不妨設(shè)正方形EFGB的邊長為，則

=+--- =2

可見，這個結(jié)果中不含字母，所以，△AFC的面積大小與正方形EFGB的邊長無關(guān)。

像這樣，在三角形△AFC的“外圍”構(gòu)造規(guī)則圖形（如矩形、梯形等），把△AFC“框起來”，進(jìn)而想到用整體減去部分的方法求面積，筆者給取個名稱，叫“外框法”。本題構(gòu)造的“外框”有利于發(fā)展學(xué)生的思維水平和提高學(xué)生解題的興趣，是網(wǎng)格面積的常規(guī)求解方法之一。

另外，筆者發(fā)現(xiàn)了有少數(shù)學(xué)生采用了“特殊值法”，如把E看成AB的中點，也使文首的問題得到了解決。我們可以看出，此法雖然不可取，但也不失為作填空題和選擇題的好方法。順著這個思路再深入理解，當(dāng)E點滑動到A點處或B點處時，在E點滑動的過程中， AC的大小和位置至始至終都沒變，而△AFC的AC邊上的高的位置在不斷的發(fā)生變化。而前面已大膽猜測題目所求的△AFC的面積（即）肯定是一個定值，所以△AFC的AC邊上的高的大小不變。當(dāng)E點滑動到B點處時，F點與E點重合于B點處，此時△AFC的AC邊上的高等于△ABC的AC邊上的高。可見△AFC與△ABC是同底等高的三角形，所以，為什么呢？經(jīng)驗告訴我們，兩平行線之間夾的同底等高的三角形面積相等。從而想到連接BF（如圖3），難道BF與AC平行嗎？顯然∠ACB=∠FBG=，所以BF∥AC。∴==2，這種方法，筆者給取個名稱，叫“等面積轉(zhuǎn)換法”。

二、應(yīng)用舉例

下面，我們進(jìn)行“實戰(zhàn)演練”。

(一) 求矩形頂點構(gòu)成的三角形的面積

例1 （2010中考·廣西南寧）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖4所示，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為( )

A．10 B．12 C．14 D．16

方法一：外框法

【解析】如圖5，延長AE交PK的延長線于點H．設(shè)正方形ABCD、正方形RKPF的邊長分別為、，則

= = = 16. 故應(yīng)選D．

或許有些學(xué)生認(rèn)為上面求S_△DEK的表達(dá)式比較麻煩，他們注意到四邊形AHKD是一個梯形，這樣，表達(dá)式變得簡單多了?？墒潜砻婧唵蔚膯栴}有時實質(zhì)并不一定簡單，因為我們將化簡得，由于已知條件并沒有直接告訴的值，有的同學(xué)做到這里“卡殼”了。怎么辦呢？筆者提示一下，這里需要利用相似形知識找出，的關(guān)系。我們注意到△DCG∽△GPK，則有，即，∴，整理得.所以可得.當(dāng)然只要讀者肯動腦筋，求的表達(dá)式不止這兩種。

方法二：等面積轉(zhuǎn)換法

【解析】從所給的選項可知△DEK的面積可以求出來，而已知條件僅告訴了正方形BEFG的邊長為4，我們可以大膽猜測：△DEK的面積僅與正方形BEFG的面積有關(guān)，而與其它兩個正方形的面積無關(guān)！于是我們應(yīng)該設(shè)法讓△DEK與正方形BEFG發(fā)生聯(lián)系！

聯(lián)想兩平行線之間夾的同底等高的三角形面積相等，于是我們連接DB、GE、FK，如圖6所示，則∠DBA=∠GEB=45°，∴DB∥GE．所以△GED與△GEB同底等高．∴,同理．于是==16,這樣做是不是十分簡捷呢？

從以上兩種方法可以看出，在解決數(shù)學(xué)問題的時候，思考問題的角度非常重要！這就要求我們在平時的學(xué)習(xí)和解題過程中，要注意積累解題經(jīng)驗和技巧，對于不同的數(shù)學(xué)問題，要注意選準(zhǔn)問題的視角，然后“對癥下藥”，盡可能使復(fù)雜的問題簡單化！

(二) 求矩形頂點構(gòu)成的三角形的特殊內(nèi)角的度數(shù)

例2 湖北省襄陽市樊城區(qū)2010-2011學(xué)年度八(下)數(shù)學(xué)期末檢測卷上有這樣一道選擇題：如圖7，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為( )

A. B. C. D.

【解析】在檢測過程中，很多學(xué)生在這道題上浪費了較多的時間，最后竟然拿量角器量出∠ABC的度數(shù)，但不知所以然。就原圖（圖7）而言，很難直接求出∠ABC的度數(shù)。經(jīng)驗告訴我們，可以用“外框法”。于是分別延長AH和EC相交于點D（如圖8），再分別延長AG和EB相交于點F，連接AC，此時△ABC就像被矩形ADEF“框了起來”（如圖8）。