原標題：《張益唐的最新突破，使得人們接近于解決由歐拉和高斯提出的“方便數(shù)猜想”》

傳奇數(shù)學家張益唐近日公布了他關于朗道-西格爾零點猜想的論文，在11月5日山東大學的在線講座中介紹了這一工作，并于11月8日在北京大學做線上學術報告。
張益唐這一成果的意義十分重大，如果證明無誤的話，將是解析數(shù)論領域里程碑式的工作。我們在《千呼萬喚始出來，張益唐公布證明朗道-西格爾零點猜想的論文》一文中，試圖從外行的角度解讀張益唐的工作。山東大學的解析數(shù)論專家在《張益唐教授談朗道-西格爾零點猜想研究的新突破》一文中也進行了專業(yè)解讀。
在我們前面發(fā)表的文章中，對張益唐工作的解讀可以總結如下：朗道-西格爾零點猜想是廣義黎曼假設的一個重要的特殊情況，但跟黎曼假設沒有直接關系。張益唐證明了朗道-西格爾零點猜想的一個變形。這一成果在解析數(shù)論中的意義，比張益唐之前在孿生素數(shù)猜想上的突破還要重大。
許多讀者非常關心的一個問題是，如果張益唐的論文正確的話，他到底有沒有證明朗道-西格爾零點猜想？對此，筆者的看法是，這不重要。數(shù)論是一門研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學分支。朗道-西格爾零點猜想本身并不是數(shù)論問題，而是一個復變函數(shù)問題，是對狄利克雷L函數(shù)可能的零點的大小的估計。數(shù)論學家們之所以會關心這個問題，是為了它在數(shù)論中的廣泛應用。
在研究一類解析數(shù)論問題時，如果狄利克雷L函數(shù)的一個零點非常接近1，對于證明就會有很大影響。朗道-西格爾零點猜想的本質(zhì)就是說L函數(shù)的實零點距離1不那么近。具體在量化距離遠近的時候，朗道-西格爾采用的標準是

，

猜想和1之間的距離小于這個數(shù)的實零點（即西格爾零點）不存在。那么現(xiàn)在張益唐就相當于用另外一種方式來量化這個距離，他宣稱和1之間的距離小于

的實零點不存在。這個結論比原來版本的朗道-西格爾零點猜想要弱，但對于數(shù)論中的應用已經(jīng)足夠了。即便以后有人能解決原來版本的朗道-西格爾零點猜想，也不會給數(shù)論學家?guī)砀鄬嵸|(zhì)上的幫助。
從這個角度來說，認為張益唐解決了朗道-西格爾零點猜想也未嘗不可。我們之所以說張益唐證明了朗道-西格爾零點猜想的一個“變形”（variant），就是因為這一說法比說他證明了該猜想的“弱版本”更能準確地反映這一成果的意義。
在張益唐新公布的論文第一章中，他宣布了兩個定理，分別是對于L(1,χ)的估計

以及對西格爾零點的估計：可能存在的西格爾零點不大于

.

其中c1和c2都是跟D無關的，可以計算出來的正實數(shù)。

“可以計算出來的”意思就是可以順著證明過程，一步一步地把這個常數(shù)因子具體算出來。有的定理只會告訴你存在這么一個常數(shù)，但是你沒法根據(jù)證明過程算出這個常數(shù)到底是多少。對于朗道-西格爾猜想的數(shù)論應用來說，知道這個常數(shù)的具體數(shù)值是非常關鍵的。

上面的指數(shù)-2022和-2024都是可以改進的數(shù)字，就像他的孿生素數(shù)猜想論文中的七千萬一樣，只是為了計算方便而選取出來的。當然選取成目前的數(shù)字，明顯是在致敬今年的年份。

當年在張益唐的孿生素數(shù)猜想論文發(fā)表后，數(shù)論專家們發(fā)起了一個Polymath項目，將張益唐文中的七千萬最終改進為246. 如果張益唐現(xiàn)在的工作得到證實，可以想象同樣會有很多專家來改進他的估計。這里的改進有兩方面，一方面是要具體算出兩個常數(shù)c1和c2的值，另一方面是改進其中的指數(shù)，爭取把2022和2024縮小。比起孿生素數(shù)猜想的情形，這些改進的意義要大得多，因為要想把張益唐的工作應用到數(shù)論問題中，肯定是所得到的估計越強越好。
在國外reddit、mathoverflow等網(wǎng)站上，許多網(wǎng)友對張益唐的工作發(fā)表了評論。一位網(wǎng)友說：“我確信他為了能在2023年之前把論文寫出來而爭分奪秒地工作。”下面回復：“哦，張益唐和他有趣的常數(shù)。如果這篇文章正確，大家會很興奮地看到另外一個改進常數(shù)的狂熱polymath項目?！?/span>

此外還有別的一些犀利吐槽：“如果這篇論文不能在今年底之前發(fā)表，我會很不爽?！薄叭绻ぷ鞯酶?，就能在去年寫出這篇文章，得到一個更好的指數(shù)-2021?！薄巴话l(fā)新聞：Polymath項目為了改進張益唐的指數(shù)而發(fā)明時間機器。”

不過，也有一些網(wǎng)友發(fā)表了專業(yè)性的評論。其中，最引人注目的一個評論是一位叫Stopple的網(wǎng)友發(fā)表的。如果讀者近期關注張益唐的相關新聞，可能對這個名字不感陌生。此君就是張益唐的同事，解析數(shù)論專家Jeffrey Stopple。他曾說：“如果張益唐能夠證明朗道-西格爾零點猜想，就相當于一個人被閃電擊中兩次。”這句話最近被新聞廣泛引用，以說明張益唐的工作是多么令人震驚。
Stopple指出，張益唐的成果能夠用來研究歐拉和高斯遺留下來的一個關于“方便數(shù)”（idoneal number）的問題，把它化為有限次計算。這一問題在文獻中并沒有公認的名字，我們姑且稱之為“方便數(shù)猜想”。在張益唐的工作之后，這一猜想或許很快就會成為定理。
那么，這是一個什么樣的猜想呢？（以下關于方便數(shù)猜想的介紹主要參考了Günther Frei和Ernst Kani的綜述文章。）

要介紹“方便數(shù)猜想”，需要追溯到17世紀的法國數(shù)學家費馬。費馬考慮過這樣一個問題：哪些自然數(shù)可以表示成兩個平方數(shù)的和？例如1、2、4、5等數(shù)能表示成平方和：

1=0+1, 2=1+1, 4=0+4, 5=1+4……

而3、6、7等數(shù)就不能表示成平方和。費馬完全解決了這個問題。對于素數(shù)這種特殊情況，費馬的結論是，一個奇素數(shù)是平方和當且僅當它是4k+1的形式，其中k是一個整數(shù)。

圖盧茲市政廳內(nèi)的費馬雕像

進一步可以問，如果一個數(shù)能表示成平方和，那么有多少種方式？例如25可以表示成0+25，也可以表示成9+16；65可以表示成1+64，也可以表示成16+49。這個問題也得到了圓滿解決，特別地，4k+1型的素數(shù)恰好只有一種方式表示成平方和。

在費馬之后一百多年，歐拉進一步研究了這個問題。他證明了，如果一個大于1的奇數(shù)m只有一種方式表示成平方和x2+y2，并且在這唯一的一種方式中，x和y互素，那么m就是一個素數(shù)。（“x和y互素”即x和y僅有1這一個公約數(shù)。這個條件很重要，例如45只有一種平方和表示9+36，但它不是素數(shù)。）

這一定理可以用來判斷一個4k+1型的數(shù)是不是素數(shù)，比直接根據(jù)定義來判斷更便捷。舉個例子，如果要判斷97是不是素數(shù)，我們先寫出小于它一半的所有平方數(shù)：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36. 然后再從97中分別減去這些數(shù)，得到：97, 96, 93, 88, 81, 72, 61. 這其中恰好只有一個平方數(shù)81，所以97只有唯一一種平方和表示42+92. 我們又能看出4和9互素，所以97是一個素數(shù)。

歐拉畫像丨圖源：維基百科

歐拉的工作表明，1、2、3都是方便數(shù)。他隨后發(fā)現(xiàn)了一個簡單的方法，可以判斷一個給定的正整數(shù)是否是方便數(shù)。利用這一判別法，他研究了一萬以內(nèi)的所有正整數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中只有65個方便數(shù)，羅列如下：

可以觀察到，在1848之后就不再出現(xiàn)新的方便數(shù)了。于是歐拉在1778年猜測，以上這些就是全部的方便數(shù)。這就是我們所說的“方便數(shù)猜想”。

1798年，高斯寫出了他的名著《算術研究》。在這本書中，高斯系統(tǒng)地研究了整系數(shù)二次型，在這一理論體系下賦予了方便數(shù)新的含義。這涉及到代數(shù)數(shù)論里的一些基本概念，限于篇幅，我們就不作說明了。高斯同樣猜測1848就是最大的方便數(shù)。（歐拉的猜想當時尚未發(fā)表。）

高斯畫像丨圖源：維基百科

在高斯之后，很多數(shù)學家都研究過方便數(shù)。1973年，Peter Weinberger利用日本數(shù)學家竜沢周雄在朗道-西格爾零點猜想方面的進展，證明了除去已知的65個方便數(shù)以外，最多只有兩個方便數(shù)。如果有兩個的話，其中一個一定是另一個的四倍，所以本質(zhì)上是同一種情況。（Weinberger后來成為一名計算機科學家，是AWK程序設計語言的作者之一。）

根據(jù)Stopple的評論，由張益唐的工作能夠證明，存在一個（很大的）自然數(shù)N，使得大于N的自然數(shù)都不是方便數(shù)。這樣一來，為了證明方便數(shù)猜想，只需要對不超過N的自然數(shù)逐一驗證便可。至于N究竟是多少，取決于張益唐定理1中的具體估計。在忽略常數(shù)因子的前提下，Stopple算出N可以取0.75×1025734. 這當然是一個天文數(shù)字，但畢竟還是一個有限的數(shù)，并非無窮大。如果能夠大幅改進張益唐的估計，或許可以把N縮小到一個適合用計算機加以處理的范圍，從而證明方便數(shù)猜想。

張益唐本人曾說，在他的突破之后，“一百個猜想都變成定理”。或許這個有244年歷史的方便數(shù)猜想就是其中之一。當然，所有一切都建立在張益唐論文是正確的基礎之上。希望解析數(shù)論領域的專家們能夠早日完成對張益唐論文的檢驗，使得一切懸念得到破解。