頂級思維模型——排列組合的思考方式

跑不快的小蝸牛 2022-07-22 發(fā)布于上海

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排列組合是數(shù)學(xué)組合學(xué)中的基本概念，在高中數(shù)學(xué)中有詳細的講解，為了更好地理解和運用，這里我們再簡單描述一下排列和組合的概念：

簡單來說

排列就是指從給定m個數(shù)的元素中取出指定n個數(shù)的元素,進行排序。

組合則是指從給定m個數(shù)的元素中僅僅取出指定n個數(shù)的元素，不考慮排序。

基本公式描述：

公式中A(n,m)為排列數(shù)公式，C(n,m)為組合數(shù)公式。

排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)

排列組合是解決問題的一種思考工具

核心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。

處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），，后排列，按元素的性質(zhì)進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

排列組合思維帶來的啟示：

創(chuàng)新是多種資源的重新排列組合

通過將不同種類的內(nèi)容組合到一起，進而可以使之變成不可分割的整體一種思考方式，有很多創(chuàng)新其實就是通過組合思維來得到的，如電視+電話組合出來了新的產(chǎn)品可視電話、自行車+移動支付組合出來了共享單車、汽車+電池組合出來電動汽車等等。在工作生活中可以利用聯(lián)想將各種可能的物品、思想組合到一起從而變成新的思想，甚至是解決當(dāng)前無法解決的問題。

排列組合之分解，整合思維

萬事萬物都是由其構(gòu)成的元數(shù)排列組合成的;思維是知識的運動，運動的知識，是知識的排列組合、取舍；前所未有的知識排列組合就是思維創(chuàng)新，合乎客觀的有價值的思維創(chuàng)新的外化、物化就是理論創(chuàng)新、創(chuàng)造發(fā)明。

科學(xué)研究，無非是分解、聚合事物，考察其變化形式、內(nèi)容、規(guī)律、過程、結(jié)果、利害。因此，“排列組合研究法”才是對研究對象的全面分解、還原；錄像、掃描、透視；點、線、面、立體、空間的考究，是最完善的宏觀戰(zhàn)略、微觀戰(zhàn)術(shù)研究方法的總成。是科學(xué)的周全的世界觀、認(rèn)知及研究方法。萬法歸一，所有其它研究方法都可謂它的子法。

解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。

常用的方法技巧

一．特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。

例1、用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有個數(shù)？

[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有A42個，2）0不排在末尾時，則有C21 A31A31個，由分?jǐn)?shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個。

二．總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53–3A42+ C21A31=30個偶數(shù)。

三．合理分類與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

四．相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法．

例2、有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本．若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有多少種？

解：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440(種).

五．不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開．解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法．

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有多少個？

解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個數(shù)字捆綁在一起形成一個大元素，這個大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計三個元素，先將這三個元素排好，共有A33種排法，再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四個位置中任選兩個，把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42＝288(種)．

六．順序固定用“除法”：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。

例4、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲—乙—丙”順序排的排隊方法有多少種？

分析：不考慮附加條件，排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。(或A63種)

七．分排問題用“直排法”：把幾個元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。

例6、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？

分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件,故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有A77種。

八．逐個試驗法：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律。

九、構(gòu)造模型“隔板法”：對于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。

例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？

分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113 .

十.排除法：對于含“至多”或“至少”的排列組合問題，若直接解答多需進行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計算出符合條件的排列組合數(shù)的方法．

例9、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有多少種？