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談?wù)勁帕薪M合綜合問(wèn)題的一般解題規(guī)律: 1）使用“分類計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定，可以分類來(lái)完成這件事時(shí)用“分類計(jì)數(shù)原理”，需要分步來(lái)完成這件事時(shí)就用“分步計(jì)數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨(dú)完成，分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。 2）排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。 3）復(fù)雜的排列問(wèn)題常常通過(guò)試驗(yàn)、畫 “樹(shù)圖 ”、“框圖”等手段使問(wèn)題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn)，因此常常需要用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn)。 4）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)行分步是處理排列組合問(wèn)題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。 5）處理排列、組合綜合問(wèn)題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類”和按事件的過(guò)程“分步”，始終是處理排列、組合問(wèn)題的基本原理和方法，通過(guò)解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。 6）在解決排列組合綜合問(wèn)題時(shí)，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)。 總之，解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；正難則反，間接排除等。 其次，我們?cè)谧プ?wèn)題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí)，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。 一．特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對(duì)于特殊元素（位置）的排列組合問(wèn)題，一般先考慮特殊，再考慮其他。 例1、 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。 A． 24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè) [分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時(shí)，有A42個(gè)，2）0不排在末尾時(shí)，則有C21 A31A31個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個(gè)，選B。 二．總體淘汰法：對(duì)于含否定的問(wèn)題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30個(gè)偶數(shù)。 三．合理分類與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問(wèn)題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。 四．相鄰問(wèn)題用捆綁法：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法． 例2、有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語(yǔ)書2本，其它學(xué)科書3本．若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語(yǔ)書也恰好排在一起的排法共有( )種．(結(jié)果用數(shù)值表示) 解：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語(yǔ)書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個(gè)元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A33種排法，2本外語(yǔ)書有A22種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440(種). 注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題． 五．不相鄰問(wèn)題用“插空法”：不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開(kāi)．解決此類問(wèn)題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法． 例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)．(用數(shù)字作答) 解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個(gè)數(shù)字捆綁在一起形成一個(gè)大元素，這個(gè)大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個(gè)大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計(jì)三個(gè)元素，先將這三個(gè)元素排好，共有A33種排法，再?gòu)那懊媾藕玫娜齻€(gè)元素形成的間隙及兩端共四個(gè)位置中任選兩個(gè)，把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42＝288(種)． 注：運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問(wèn)題時(shí)，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置． 六．順序固定用“除法”：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。 例4、6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？ 分析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。(或A63種) 例5、4個(gè)男生和3個(gè)女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。 解：先在7個(gè)位置中任取4個(gè)給男生，有A74 種排法，余下的3個(gè)位置給女生，只有一種排法，故有A74 種排法。(也可以是A77 ÷A33種) 七．分排問(wèn)題用“直排法”：把幾個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來(lái)處理。 例6、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？ 分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無(wú)其它條件,故兩排可看作一排來(lái)處理，不同的坐法共有A77種。 八．逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。 例7.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（） A．6 B.9 C.11 D.23 解：第一方格內(nèi)可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內(nèi)填1，則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法，故選B 九、構(gòu)造模型 “隔板法”： 對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題。 例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？ 分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113 . 又如方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù),可用此法解。 十.排除法：對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問(wèn)題，若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計(jì)算出符合條件的排列組合數(shù)的方法． 例9、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有( )種． A．140種 B．80種 C．70種 D．35種 解：在被取出的3臺(tái)中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意，因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種)，故選C． 注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計(jì)算的習(xí)題． 十一．逐步探索法：對(duì)于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題需要認(rèn)真分析，探索出其規(guī)律 例10、從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。 解：兩個(gè)數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù)，1+100>100，1為被加數(shù)時(shí)有1種，2為被加數(shù)有2種，…，49為被加數(shù)的有49種，50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)有49種，52為被加數(shù)有48種，…，99為被捕加數(shù)的只有1種，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500種 十二．一一對(duì)應(yīng)法： 例11.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場(chǎng)？ 解：要產(chǎn)生一名冠軍，要淘汰冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名就要進(jìn)行一場(chǎng)，故比賽99場(chǎng)。 |
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來(lái)自： 茫然11 > 《數(shù)學(xué)》
