排列與組合

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.排列：一般地，從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的一個(gè)排列.

2.全排列：ｎ個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做ｎ個(gè)不同元素的全排列.

3. 排列數(shù)：從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的排列數(shù).用符號(hào)表示.

4. 階乘：正整數(shù)1到ｎ的連乘積，叫做ｎ的階乘，用ｎ！表示.

　　　　規(guī)定：0?。?

5.組合：一般地，從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個(gè)元素并成一組，叫做從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的一個(gè)組合.

6.組合數(shù)：從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)表示.

7.本節(jié)公式

?。?）排列數(shù)公式　

（這里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）

?。?）組合數(shù)公式

（這里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）

（3）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

　　　　　　　　　　　　規(guī)定：

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1．排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。從定義知，只有當(dāng)元素完全，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列.兩個(gè)相同數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)它們的元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同.

2．排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念.一個(gè)排列是指從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列的一種具體方法，它不是數(shù)；而排列數(shù)是指從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個(gè)元素的所有不同數(shù)列的種數(shù)，它是一個(gè)數(shù).

3．排列應(yīng)用題一般分為兩類，即無限制條件的排列問題和有限制條件的排列問題.常見題型有：排隊(duì)問題、數(shù)字問題、與幾何有關(guān)的問題.

解排列應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①認(rèn)真審題，根據(jù)題意分析它屬于什么數(shù)學(xué)問題，題目中的事件是什么，有無限制條件，通過怎樣的程序完成這個(gè)事件，用什么計(jì)算方法.

②弄清問題的限制條件，注意研究問題，確定特殊元素和特殊的位置.考慮問題的原則是特殊元素、特殊位置優(yōu)先，必要時(shí)可通過試驗(yàn)、畫圖、小數(shù)字簡化等手段幫助思考.

③恰當(dāng)分類，合理分步.

④在分析題意，畫框圖來處理，比較直觀.在解應(yīng)用時(shí)，應(yīng)充分運(yùn)用.

解排列應(yīng)用題的基本思路：

①基本思路：

直接法：即從條件出發(fā)，直接考慮符合條件的排列數(shù)；

間接法：即先不考慮限制條件，求出所有排列數(shù)，然后再從中減去不符合條件的排列數(shù).

②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也稱去雜法），對(duì)稱分析法，捆綁法，插空檔法，構(gòu)造法等.

4．對(duì)組合的理解：如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管它們順序如何都是相同的組合.當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)（即使只有一個(gè)元素不同），就是不同的組合.

5．排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系：

①根據(jù)排列與組合的定義，前者是從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)不同元素后，還要按照一定的順序排成一列，而后者只要從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)不同元素并成一組，所以區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題.也就是說排列與選取元素的順序有關(guān)，組合與選取元素的順序無關(guān).

②排列與組合的共同點(diǎn)，就是都要“從ｎ個(gè)不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）個(gè)元素”，而不同點(diǎn)在于元素取出以后，是“排成一排”，還是“組成一組”，其實(shí)質(zhì)就是取出的元素是否存在順序上的差異.因此，區(qū)分排列問題和組合問題的主要標(biāo)志是：是否與元素的排列順序有關(guān)，有順序的是排列問題，無順序的組合問題.例如123和321,132是不同的排列，但它們都是相同的組合.再如兩人互寄一次信是排列問題，互握一次手則是組合問題.

③排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系.求從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下兩步：第一步，先求出從這ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的組合數(shù)；第二步，求每一個(gè)組合中ｍ個(gè)元素的全排列數(shù).根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到＝.從這一過程中可得出排列與組合的另一重要聯(lián)系.從而，在解決排列問題時(shí)，先取后排是一個(gè)常見的解題策略.

6．解排列與組合應(yīng)用題時(shí)，首先應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題.界定排列與組合問題是排列還是組合，唯一的標(biāo)準(zhǔn)是“順序”，有序是排列問題，無序是組合問題.當(dāng)排列與組合問題綜合到一起時(shí)，一般采用先考慮組合后考慮排列的方法解答.其次要搞清需要分類，還是需要分步.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是關(guān)于計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理，它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，而且其應(yīng)用貫穿于排列與組合的始終.學(xué)好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決排列與組合應(yīng)用題的基礎(chǔ).切記：排組分清（有序排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘）.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1] 10個(gè)人走進(jìn)只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有多少種不同的坐法？

錯(cuò)解：10個(gè)人坐6把不同的椅子，相當(dāng)于10個(gè)元素到6個(gè)元素的映射，故有種不同的坐法.

錯(cuò)因:　沒弄清題意，題中要求每把椅子必須并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本題事實(shí)上是一個(gè)排列問題.

正解：　坐在椅子上的6個(gè)人是走進(jìn)屋子的10個(gè)人中的任意6個(gè)人，若把人抽象地看成元素，將6把不同的椅子當(dāng)成不同的位置，則原問題抽象為從10個(gè)元素中作取6個(gè)元素占據(jù)6個(gè)不同的位置.顯然是從10個(gè)元素中任取6個(gè)元素的排列問題.從而，共有＝151200種坐法.

[例2]從－3，－2，－1,0，1,2，3，4八個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù) 的系數(shù)，ｂ，ｃ的取值，問共能組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)？

錯(cuò)解：從八個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù) 的系數(shù)，ｂ，ｃ的取值，交換，ｂ，ｃ的具體取值，得到的二次函數(shù)就不同，因而本題是個(gè)排列問題，故能組成個(gè)不同的二次函數(shù).

錯(cuò)因:　忽視了二次函數(shù) 的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零.

正解：，ｂ，ｃ中不含0時(shí)，有個(gè)；

　，ｂ，ｃ中含有0時(shí)，有2個(gè).

　故共有＋2＝294個(gè)不同的二次函數(shù).

注：本題也可用間接解法.共可構(gòu)成個(gè)函數(shù)，其中＝0時(shí)有個(gè)均不符合要求，從而共有－＝294個(gè)不同的二次函數(shù).

[例3]以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)共可組成多少個(gè)不同的三棱錐？

錯(cuò)解：按照上底面取出點(diǎn)的個(gè)數(shù)分三類：第一類，上底面恰取一點(diǎn)，這時(shí)下底面取三點(diǎn)，有 ＝3個(gè)；第二類，上底面恰取2點(diǎn)，下底面也取兩點(diǎn)，有＝9個(gè)；上底面取3點(diǎn)時(shí)，下底面取一點(diǎn)，有 ＝3個(gè).綜上知，共可組成3＋9＋3＝15個(gè)不同的三棱錐.

錯(cuò)因:　在上述解法中，第二類情形時(shí)，所取四點(diǎn)有可能共面.這時(shí)，務(wù)必注意在上底面取2點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的下底面的2點(diǎn)只有2種取法.

正解：在三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)有＝15取法，其中側(cè)面上的四點(diǎn)不能構(gòu)成三棱錐，故有15－3＝12個(gè)不同的三棱錐.

[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分別回答下列問題：

（1）男生必須排在一起的坐法有多少種？

（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？

（3）男生相鄰、女生也相鄰的坐法有多少種？

（4）男女生相間的坐法有多少種？

（5）女生順序已定的坐法有多少種？

解：⑴從整體出發(fā)，視四名男生為一整體，看成一個(gè)“大元素”，與三名女生共四個(gè)元素進(jìn)行排列，有種坐法；而大元素內(nèi)部的小元素間又有種坐法.故共有＝576種坐法.

⑵因?yàn)榕』ゲ幌噜?，故先?名男生排好，有種排法；然后在男生之間及其首尾的5個(gè)空檔中插入3名女生，有種排法.故共有＝1440種排法.

⑶類似（1）可得：＝288種

⑷男生排好后，要保證男生互不相鄰、女生也互不相鄰，3名女生只能排在男生之間的3個(gè)空檔中，有種排法.故共有＝144種排法.

⑸7個(gè)元素的全排列有種，因?yàn)榕ㄐ颍齻兊捻樞虿还潭〞r(shí)有排法，可知

中重復(fù)了次，故共有÷＝＝840種排法.

本題還可這樣考慮：讓男生先占7個(gè)位置中的4個(gè)，共有種排法；余下的位置排女生，因?yàn)榕ㄐ颍仕齻冎挥?排法，從而共有＝840種排法.

[例5] 某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車均多于4輛，現(xiàn)從這個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)出10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)一輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？

解：在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)一輛車的基礎(chǔ)上，還須抽調(diào)的3輛車可分成三類：從一個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，有＝7種；從兩個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，一個(gè)車隊(duì)抽1輛，另一個(gè)車隊(duì)抽兩輛，有＝42種；從三個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)一輛，有＝35輛.由分類計(jì)數(shù)原理知，共有7＋42＋35＝84種抽調(diào)方法.

本題可用檔板法來解決：由于每個(gè)車隊(duì)的車均多于4輛，只需將10個(gè)份額分成7份.具體來講，相當(dāng)于將10個(gè)相同的小球，放在7個(gè)不同的盒子中，且每個(gè)盒子均不空.可將10個(gè)小球排成一排，在相互之間的九個(gè)空檔中插入6個(gè)檔板，即可將小球分成7份，因而有＝84種抽調(diào)方法.

[例6]用0,1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差的絕對(duì)值是2，則這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？

解：若千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字中有一個(gè)為0 ，則另一個(gè)為2，且0只能在個(gè)位，2在千位，這樣有四位數(shù)有個(gè).若千位與個(gè)位都不含有0，則應(yīng)為1與3、2與4，3與5、4與6,5與7、6與8,7與9，這樣的四位數(shù)有7××個(gè).

∴共有＋7×＝840個(gè)符合條件的四位數(shù)

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1．某一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、體育、音樂6節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排法？

2. 在7名運(yùn)動(dòng)員中選出4人組成接力隊(duì)，參加4×100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？

3．有5雙不同型號(hào)的皮鞋，從中任取4只有多少種不同的取法？所取的4只中沒有2只是同型號(hào)的取法有多少種？所取的4只中有一雙是同型號(hào)的取法有多少種？

4.一個(gè)五棱柱的任意兩個(gè)側(cè)面都不平行，且底面內(nèi)的任意一條對(duì)角線與另一底面的邊也不平行，以它的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有多少個(gè)？

5. 4名男生5名女生，一共9名實(shí)習(xí)生分配到高一的四個(gè)班級(jí)擔(dān)任見習(xí)班主任，每班至少有男、女實(shí)習(xí)生各1名的不同分配方案共有多少種？

6.有6本不同的書，分給甲、乙、丙三人.

（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少種分法？

（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種分法？

（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？

（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少種分法？