排列組合二項(xiàng)定理

考試內(nèi)容：
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn排列．排列數(shù)公式．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn組合．組合數(shù)公式．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn二項(xiàng)式定理．二項(xiàng)展開式的性質(zhì)．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn考試要求：
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（1）掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（2）理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（3）理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（4）掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問題．

§10. 排列組合二項(xiàng)定理 知識(shí)要點(diǎn)

一、兩個(gè)原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可以有重復(fù)元素的排列.

從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？    （解：種）

二、排列.

1. ⑴對(duì)排列定義的理解.

定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

⑵相同排列.

如果；兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.

⑶排列數(shù).

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.

⑷排列數(shù)公式：   

注意：   規(guī)定0! = 1       

       規(guī)定

2. 含有可重元素的排列問題.

對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于.     

例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù).  

三、組合.

1. ⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

⑵組合數(shù)公式：

⑶兩個(gè)公式：①  ②

①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.

（或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）

②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有. 

⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.

聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.

區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無(wú)順序關(guān)系.

⑸①幾個(gè)常用組合數(shù)公式

②常用的證明組合等式方法例.

i. 裂項(xiàng)求和法. 如：（利用）

ii. 導(dǎo)數(shù)法.  iii. 數(shù)學(xué)歸納法.   iv. 倒序求和法.

v. 遞推法（即用遞推）如：.

vi. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如： 

證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù)，左邊為

，而右邊

四、排列、組合綜合.

1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：

①直接法.   ②排除法.

③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某個(gè)元素必相鄰的排列有個(gè).其中是一個(gè)“整體排列”，而則是“局部排列”.

又例如①有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為.   

②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.

③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.

注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個(gè)，有不確定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.

例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？（插空法），當(dāng)n – m+1≥m, 即m≤時(shí)有意義.

⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.

⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.

例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法？

解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.

⑦平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有.

例如：從1，2，3，4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？

（）

注意：分組與插空綜合. 例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當(dāng)n – m+1 ≥m, 即m≤時(shí)有意義.

⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.

例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖

               所示）故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).

注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .

⑨定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有.

例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？

固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個(gè)位置取一個(gè)位置，然后再?gòu)膎-1個(gè)元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）

⑩指定元素排列組合問題. 

i. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi) 。先C后A策略，排列；組合.

ii. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列；組合.

iii 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先C后A策略，排列；組合. 

II. 排列組合常見解題策略：

①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；

⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.

2. 組合問題中分組問題和分配問題.

①均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（其中A為非均勻不編號(hào)分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以.

例：10人分成三組，各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為.若分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為

②非均勻編號(hào)分組: n個(gè)不同元素分組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為

例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動(dòng)，其安排方法為：種.

若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動(dòng)，則安排方法有種

③均勻編號(hào)分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.

例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為 

④非均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為…

例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為若從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為.

五、二項(xiàng)式定理.

1. ⑴二項(xiàng)式定理：.

展開式具有以下特點(diǎn)：

① 項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)；

② 系數(shù)：依次為組合數(shù)

③ 每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.

⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).

展開式中的第項(xiàng)為：.

⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；

②二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.

I. 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

II. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

③系數(shù)和：

附：一般來(lái)說為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解. 當(dāng)時(shí)，一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對(duì)值）的辦法來(lái)求解.

⑷如何來(lái)求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項(xiàng)式，先找出含有的項(xiàng)，另一方面在中含有的項(xiàng)為，故在中含的項(xiàng)為.其系數(shù)為.

2. 近似計(jì)算的處理方法.

當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分很小，可以忽略不計(jì)。類似地，有但使用這兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對(duì)計(jì)算精確度的要求.