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哥根廷大學(xué)是德國的數(shù)學(xué)圣地，先后誕生了高斯、黎曼和以希爾伯特為首的哥根廷數(shù)學(xué)學(xué)派，與這一傳統(tǒng)相聯(lián)系的還有哲學(xué)家胡塞爾，他在哥廷根擔(dān)任了十六年的編外教授。本文介紹另一位哥根廷數(shù)學(xué)博士弗雷格，他是邏輯學(xué)家、哲學(xué)家，享有“現(xiàn)代邏輯之父”“分析哲學(xué)之父”的美譽(yù)，也是語言哲學(xué)的奠基人，影響了羅素、維特根斯坦和卡納普等人。 “一個好的數(shù)學(xué)家，至少是半個哲學(xué)家；一個好的哲學(xué)家，至少是半個數(shù)學(xué)家?！?/p> （《讀書》2022年7期新刊） 歲月的流逝是最關(guān)鍵的評判師?！笮l(wèi)·休謨 十九世紀(jì)以來，德國哥廷根大學(xué)便是一處數(shù)學(xué)圣地，那里產(chǎn)生了數(shù)學(xué)王子高斯和黎曼等彪炳史冊的數(shù)學(xué)巨匠。二十世紀(jì)初，菲利斯·克萊因和希爾伯特創(chuàng)建了哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派，使得世界數(shù)學(xué)中心從巴黎轉(zhuǎn)移到了哥廷根。在哥廷根成長的眾多數(shù)學(xué)博士中，還有一位成為哲學(xué)大師，那便是弗雷德里?！ぢ返戮S希·戈特洛布·弗雷格，他是邏輯學(xué)家、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，被廣泛認(rèn)為是亞里士多德以來最偉大的邏輯學(xué)家，享有“現(xiàn)代邏輯之父”“分析哲學(xué)之父”的美譽(yù)，也是語言哲學(xué)的奠基人，對二十世紀(jì)哲學(xué)有著廣泛而深刻的影響，甚至影響了胡塞爾、羅素、維特根斯坦等大哲學(xué)家以及卡納普、奧斯汀、安斯康姆、維金斯等富有原創(chuàng)性的哲學(xué)家。
維斯馬俯瞰（來源：namu.moe） 一八四八年十一月八日，弗雷格出生在波羅的海港口城市維斯馬（Wismar），比克萊因年長一歲。維斯馬的對岸是丹麥的哥本哈根和瑞典的馬爾默，這座城市于一二六六年加入著名的“漢薩同盟”，十九世紀(jì)曾通過航運貿(mào)易繁榮一時。如今，維斯馬依舊是德國重要的貨運港和漁港，同時擁有波羅的海沿岸最具哥特式風(fēng)光的建筑群。弗雷格的雙親都是教師，父親亞歷山大還在故鄉(xiāng)與人合伙創(chuàng)辦了一所女子高中，并擔(dān)任校長。亞歷山大擅長數(shù)學(xué)，這一點對兒子有絕對的影響。弗雷格童年時，亞歷山大還為九至十三歲的孩子寫過一本德語教科書，開頭一節(jié)即是有關(guān)語言的結(jié)構(gòu)和邏輯。一八六六年，普奧戰(zhàn)爭爆發(fā)，那一年弗雷格十八歲，父親去世，母親瑪利亞接管了父親的學(xué)校，她的祖先是波蘭貴族，于十七世紀(jì)離開波蘭。普奧戰(zhàn)爭又稱“七星期戰(zhàn)爭”或“德意志戰(zhàn)爭”，是普魯士和奧地利這兩個德意志大邦國為爭奪統(tǒng)治權(quán)進(jìn)行的內(nèi)戰(zhàn)，最后以普魯士獲勝告終。一八六七年，在普魯士領(lǐng)導(dǎo)下，北德意志邦聯(lián)誕生了，弗雷格一家成為北德意志邦聯(lián)的公民。兩年以后，弗雷格從市立學(xué)校畢業(yè)，他的老師古斯塔夫是一位詩人。古斯塔夫鼓勵弗雷格到耶拿大學(xué)繼續(xù)深造。一八六九年春天，瑪利亞把二十一歲的兒子送到德國最古老的大學(xué)之一——耶拿大學(xué)。耶拿屬于圖林根州，那時恰好在北德意志邦聯(lián)之外。十七世紀(jì)的全才萊布尼茲曾在耶拿攻讀數(shù)學(xué)，獲得碩士學(xué)位。但耶拿大學(xué)更以人文學(xué)科見長，尤其是十八世紀(jì)末以來，哲學(xué)家費希特、黑格爾、謝林、施萊格爾相繼來校任教。在隨后的兩個學(xué)年里，弗雷格修了大約二十門課程，主要是數(shù)學(xué)和物理學(xué)，也修化學(xué)和哲學(xué)。
耶拿大學(xué)景色 弗雷格就讀耶拿的第二年，即一八七〇年夏天，普法戰(zhàn)爭爆發(fā)了。這次戰(zhàn)爭由法國發(fā)動，歷時十個月，普魯士大獲全勝，統(tǒng)一奧地利之外的南方各邦（巴伐利亞、符騰堡、巴登連同黑森公國的剩余部分），建立德意志帝國。那一年，弗雷格在老師阿貝的鼓勵和幫助下，離開了耶拿大學(xué)，轉(zhuǎn)學(xué)來到哥廷根，其時高斯、狄里克萊早已去世，黎曼五年前也在意大利辭世，哥廷根數(shù)學(xué)系盛極而衰，唯有曾與高斯合作發(fā)明有線電報的物理學(xué)家威廉·韋伯尚在哥廷根任教，弗雷格聽過他的物理課。一八七三年，二十五歲的弗雷格在數(shù)學(xué)家恩斯特·謝林（與哲學(xué)家弗雷德里?！ぶx林其實不同姓）的指導(dǎo)下，以《論平面上虛影的幾何圖形》獲得哥廷根大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。弗雷格的博士論文通過對平面上虛影圖形性質(zhì)的討論，闡明了幾何學(xué)基于直覺的觀點。在哥廷根期間，弗雷格還聆聽了赫爾曼·洛采有關(guān)宗教哲學(xué)方面的系列講座。關(guān)于弗雷格的哲學(xué)思想是否受到這些講座的影響，曾經(jīng)是一個廣為討論的話題。有些人認(rèn)為，洛采的邏輯觀念，特別是他對純粹邏輯的看法，對弗雷澤邏輯思想的形成有著重要的影響。博士畢業(yè)以后，弗雷格回到耶拿大學(xué)擔(dān)任無薪講師，之后一直任教于數(shù)學(xué)系，長達(dá)四十五年，直到七十歲退休。弗雷格三十一歲成為助理教授，三十五歲晉升教授，他講授過數(shù)學(xué)的各門分支課程，也有一些數(shù)學(xué)研究成果，但更多致力于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)哲學(xué)和邏輯理論的研究。弗雷格一生的工作主要圍繞著一個問題，即為數(shù)學(xué)提供可靠的邏輯基礎(chǔ)。雖然數(shù)學(xué)一向被視為嚴(yán)格演繹的典范，但那個時代的一些數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家已經(jīng)認(rèn)識到，數(shù)學(xué)缺少邏輯基礎(chǔ)，他們開始致力于這方面的工作。至于數(shù)學(xué)是否當(dāng)真需要邏輯基礎(chǔ)，人們是否能夠為數(shù)學(xué)建立起邏輯基礎(chǔ)，至今仍存在爭論。另一方面，正是在數(shù)學(xué)和邏輯的交叉領(lǐng)域所進(jìn)行的各項研究形成了數(shù)理邏輯這門新學(xué)科，并產(chǎn)生了許多積極的成果。
1871年1月18日，威廉一世就任德意志帝國第一任皇帝（來源：cdn.britannica.com）
一八七九年，弗雷格出版了第一部著作《概念演算》（又譯《概念文字》），這是一本不足八十頁的小冊子。書中首次提供了現(xiàn)代意義下的數(shù)理邏輯的一個體系，但當(dāng)時的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都未能清楚地理解其意義。幾十年以后，這個主題開始發(fā)展，弗雷格的觀念透過其他同行（例如意大利人皮亞諾）的理解和宣揚傳播開來。在弗雷格生前，只有極少數(shù)同行（羅素是其中之一）給予他應(yīng)得的贊賞。作為一名數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家，弗雷格使得高斯以來建立的數(shù)學(xué)體系更加準(zhǔn)確和完善，確立了算術(shù)演算的基本規(guī)則，因而成為數(shù)理邏輯的奠基人。他同時提出數(shù)學(xué)可以歸化為邏輯、數(shù)學(xué)是邏輯的延伸的思想，成為數(shù)學(xué)哲學(xué)三大流派之一——邏輯主義——名副其實的創(chuàng)始人（另兩個流派為直覺主義和形式主義）。但弗雷格自己卻因為游離于數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間，長期被數(shù)學(xué)界和哲學(xué)界冷落。他身材矮小、性格安靜、沉默寡言，與同事和學(xué)生均較為疏遠(yuǎn)，以至于在耶拿大學(xué)做了多年的編外教授。通常認(rèn)為，用數(shù)學(xué)方法來研究邏輯問題，開始于萊布尼茲，他提出了文字學(xué)的設(shè)想。十九世紀(jì)的兩位英國數(shù)學(xué)家德·摩根和布爾用代數(shù)的方法建立了邏輯代數(shù)，其中布爾代數(shù)后來為二進(jìn)制應(yīng)用于電子計算機(jī)鋪平了道路。但這種邏輯代數(shù)與亞里士多德的形式邏輯（三段論是其間接推理的基本形式）本質(zhì)上是一樣的。弗雷格在獲得博士學(xué)位以后，對布爾學(xué)派和萊布尼茲、康德的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想進(jìn)行了一番研究，建立并構(gòu)造出了一個自給自足的邏輯演算體系。
哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)所小樓，弗雷格求學(xué)時尚未落成（作者攝） 弗雷格把真理分為兩種，一種真理是以經(jīng)驗事實為依據(jù)，比如物理學(xué)中的浮力定律和自由落體定律；另一種真理的證明純粹來自邏輯規(guī)律，他認(rèn)為算術(shù)命題就屬于后一種。在探討這類真理時，必須絕對嚴(yán)格，防止直觀因素的滲入。弗雷格認(rèn)定，日常語言在表達(dá)嚴(yán)密思想時存在障礙，尤其是在表達(dá)的關(guān)系較為復(fù)雜的情況下，日常語言更難滿足要求，因此他創(chuàng)造了概念語言或概念演算。弗雷格指出，概念語言與日常語言之間的差異，就如同機(jī)械手與人手、顯微鏡與肉眼之間的差異。為此，弗雷格首先嚴(yán)格地區(qū)分了命題的表達(dá)和判斷。他認(rèn)為，只有在理解和表達(dá)了一個思想以后，才能對它加以判斷。其次，他明確地提出真值蘊(yùn)含的思想，同時指出它與日常語言的區(qū)別，并采用否定和蘊(yùn)含作為基本的邏輯連接詞。再次，他先后引進(jìn)了“內(nèi)容同一”符號和“對象同一”符號，試圖尋求“相等”與“同一”之間的統(tǒng)一。再其次，他在邏輯演算過程里引入數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念，建立起量詞的理論。最后，他建立了九條公理和四條規(guī)則，在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行了大量的推演。雖說弗雷格成功地構(gòu)造了一整套嚴(yán)格的邏輯演算體系，從而有效地終結(jié)了亞里士多德建立的形式邏輯長達(dá)兩千多年的統(tǒng)治，給出了歷史上第一個嚴(yán)格的關(guān)于邏輯規(guī)律的公理系統(tǒng)——現(xiàn)代邏輯系統(tǒng)，可是，由于他在書中利用了既復(fù)雜又陌生的符號來表達(dá)新奇的概念，使得讀者望而生畏。與弗雷格同時代的數(shù)學(xué)家施羅德當(dāng)年曾撰寫長文予以全面的批評，在羅素發(fā)現(xiàn)其價值之前，《概念演算》幾乎無人問津。
位于耶拿大學(xué)的黑格爾雕像（來源：commons.wikimedia.org） 雖然《概念演算》出版后遭受冷遇，弗雷格有幾年沒有作品發(fā)表，但他并沒有氣餒，而是重新思考，并深入地研究了邏輯哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)。一八八四年，弗雷格的第二本著作《算術(shù)基礎(chǔ)》出版了，這本書包含了弗雷格核心思想最明確、最完善的闡述。弗雷格在書中提出了一個根本性的問題：“數(shù)是什么？”他指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于，一切能證明的都要證明，而不是通過歸納法來驗證，因此，我們也應(yīng)考慮如何證明關(guān)于自然數(shù)的命題?！?/span>在《算術(shù)基礎(chǔ)》里，弗雷格論證了以下的論題：第一，反對康德認(rèn)為算術(shù)真理為先天綜合命題的主張，論證它們是分析命題；第二，數(shù)可以被歸結(jié)為邏輯的類，是邏輯的一部分；第三，數(shù)，尤其算術(shù)（數(shù)論），是某種獨立的抽象對象，數(shù)字是關(guān)于數(shù)的指稱，算術(shù)是關(guān)于這些對象的性質(zhì)的科學(xué)；第四，算術(shù)不是人的創(chuàng)造性游戲，而是對客觀真理的發(fā)現(xiàn)。至少，以數(shù)論學(xué)家的經(jīng)驗來看，我認(rèn)同弗雷格有關(guān)算術(shù)是客觀真理的結(jié)論。事實上，算術(shù)是一座取之不竭的礦藏。弗雷格將《概念演算》中有關(guān)數(shù)學(xué)序列的理論進(jìn)一步發(fā)展，他規(guī)定了“n是一個數(shù)”與“存在一個概念使得n是屬于它的數(shù)”的意義是相等的。在此基礎(chǔ)上，弗雷格取0作為數(shù)列的起點，0是屬于概念“不同于自身的”數(shù)，1是屬于概念“同于0”的數(shù)，2是屬于概念“同于0或同于1”的數(shù)，如此等等。很明顯，他給出自然數(shù)的定義（由此推演出整個算術(shù)理論）在于使用了“一一對應(yīng)”的概念，這與年長他三歲的數(shù)學(xué)家康托爾所謂集合的“等價”意義相同，后者最引人矚目的工作是證明了整數(shù)集與實數(shù)集之間不存在一一對應(yīng)。
位于維斯馬的圣尼古拉斯教堂，為哥特式建筑（來源：eurob.org）
康托爾是集合論的創(chuàng)始人，他也在同一年（一八八四）給出了自然數(shù)的定義，但弗雷格的定義更為準(zhǔn)確。依照弗雷格的觀點，數(shù)學(xué)真理可以從邏輯中推演出來，只需把某些內(nèi)容翻譯或再造成邏輯的語言和命題。經(jīng)過弗雷格的奠基之作，羅素進(jìn)一步加以發(fā)揮。翌年，其論文《數(shù)學(xué)的原理》已有了大致的輪廓。再經(jīng)過十年努力，羅素和懷特海合著的三卷本《數(shù)學(xué)原理》出齊了。這套書成為邏輯主義的權(quán)威之作，書中表達(dá)了這樣的觀念：“數(shù)學(xué)就是邏輯?！?/span>在《算術(shù)基礎(chǔ)》中，弗雷格還闡明了數(shù)學(xué)哲學(xué)中的三個主要原則：第一，反對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題上的經(jīng)驗主義，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理的先天性；第二，他認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是客觀存在的，這種客觀性是產(chǎn)生思想的必要條件；第三，他主張一切數(shù)學(xué)都可以歸化為邏輯，數(shù)學(xué)概念可以定義為邏輯普遍要求的概念，數(shù)學(xué)公理可以從邏輯原則中得到證明。其中，第三條在羅素和與他亦師亦友的懷特海合作的《數(shù)學(xué)原理》中發(fā)揚光大，也因此廣為傳播，從這個意義上我們可以說，弗雷格是邏輯主義的創(chuàng)始人。在《算術(shù)基礎(chǔ)》之后，弗雷格集中精力寫作《算術(shù)的基本法則》，原計劃寫三卷，但實際上只完成兩卷（一八九三，一九〇二）。弗雷格擬從邏輯出發(fā)，展開幾何學(xué)以外的全部數(shù)學(xué)，他認(rèn)為，邏輯的原則是完全可靠的，一旦完成了這項工作，數(shù)學(xué)“就被固定在一個永恒的基礎(chǔ)之上了”。第一卷發(fā)展了《算術(shù)基礎(chǔ)》中的理論，改進(jìn)了《概念演算》中的符號系統(tǒng)，提出了不同的公理，闡述了多元的謂詞演算。謂詞演算是弗雷格的一大貢獻(xiàn)，衍生出現(xiàn)代數(shù)理邏輯學(xué)，雖說他的符號系統(tǒng)和記錄法笨拙繁冗，今天已無人使用。
弗雷格三角（來源：researchgate.net） 弗雷格所謂的謂詞是個廣義的概念，它包含了數(shù)學(xué)中的函數(shù)。例如，x≤y可以看成二元謂詞，x＋y＝z可以看成三元謂詞，謂詞演算包含了數(shù)學(xué)中的一些命題。二十世紀(jì)三十年代，波蘭數(shù)學(xué)家塔爾斯基還定義了謂詞公式，并引進(jìn)了模型的概念，發(fā)展出了模型論這一現(xiàn)代數(shù)理邏輯的四大分支之一（另外三個是公理化集合論、證明論和遞歸論）。弗雷格開創(chuàng)了獨特的求真方式，區(qū)分了“是真”和“把某物看作真”，他通過研究句子來研究“真”，這一獨特的真之理論對語言哲學(xué)的研究有著重要的意義。弗雷格把語言的意義構(gòu)成一分為二，即意義與指稱，為了說明這個觀點，他舉了金星作為例子。“長庚星”和“啟明星”指稱的是同一事物——金星，但兩者意義不同，“長庚星”強(qiáng)調(diào)的是金星在夜晚閃亮，而“啟明星”強(qiáng)調(diào)的則是金星在早晨閃爍。當(dāng)我們想到“啟明星”，我們的心也許會激動甚至顫抖，因為它與早晨起床和新的一天聯(lián)系在一起，但金星本身的“意義”并沒有這層意思。說到語言哲學(xué)，它是哲學(xué)家對語言現(xiàn)象的研究，是分析哲學(xué)的一個變種或支脈，也是現(xiàn)代西方哲學(xué)中影響最大、最富成果的哲學(xué)流派。因其所用的方法是對語言進(jìn)行邏輯分析，故而是以現(xiàn)代數(shù)理邏輯的運用為基礎(chǔ)的。對歐陸哲學(xué)家來說，語言哲學(xué)是邏輯、歷史甚至政治的一部分。值得一提的是，語言哲學(xué)領(lǐng)域的兩個主要哲學(xué)家之一奧斯汀是弗雷格《算術(shù)基礎(chǔ)》的英譯者，而他本人生前并無著作出版。回顧歷史上哲學(xué)與數(shù)學(xué)的交融，大致有三個蜜月期，數(shù)學(xué)家往往也是哲學(xué)家，反之亦然。首先是古希臘，泰勒斯提出了物質(zhì)世界的構(gòu)成問題，他認(rèn)為我們的世界是由水組成的，后來的哲人各有各的看法，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬物皆數(shù)”。其次是十七世紀(jì)，哲學(xué)家關(guān)注人和人性，笛卡爾斷言“我思，故我在”，帕斯卡爾寫成了《思想錄》。最后是十九世紀(jì)后期和二十世紀(jì)前期，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家開始用邏輯方法探討語言現(xiàn)象和語言中的思想。換句話說，越來越接近哲學(xué)的本質(zhì)——認(rèn)識人自身。
弗雷格最后的居所
那為何要探討語言現(xiàn)象呢？這是由于科學(xué)的突飛猛進(jìn)，新的學(xué)科和分支不斷涌現(xiàn)，甚至帶走了一些哲學(xué)的研究對象，例如心理學(xué)。與此同時，物理學(xué)也開始挑戰(zhàn)哲學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科地位。哲學(xué)有了危機(jī)，有兩個重任落在數(shù)學(xué)家出身的弗雷格頭上：其一，重新劃分哲學(xué)的界限，捍衛(wèi)哲學(xué)的領(lǐng)地；其二，促使哲學(xué)科學(xué)化。對第二個任務(wù)，弗雷格的《概念演算》已創(chuàng)造出與容易混淆的日常語言劃清界限的新的精確語言。對第一個任務(wù)，弗雷格的回答是：其他科學(xué)研究“什么”是真的問題，而哲學(xué)研究什么是“真”本身這個問題。《算術(shù)的基本法則》第一卷出版以后，再次受到冷遇，只有皮亞諾做了評述，但他顯然對這本書沒有足夠的理解。弗雷格并沒有受到影響，而是繼續(xù)撰寫第二部，主要論述實數(shù)的理論?？墒牵葲]有深入研究集合論，也沒有觸及關(guān)于無窮集合的各種問題，尤其是悖論。事實上，有關(guān)集合論和無窮集合的工作已被康托爾建立，但那時尚未被人承認(rèn)和知曉，更有甚者，他遭到了同胞數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克的激烈反對和打擊。一九〇二年，正當(dāng)?shù)诙砑磳⒏队≈畷r，弗雷格收到了羅素的來信。信中羅素首先稱頌了弗雷格的工作：“就我所知，您的工作是我們時代中最好的?！薄霸谠S多具體問題上，我發(fā)現(xiàn)您的著作都進(jìn)行了討論、區(qū)分和定義，這使得其他邏輯學(xué)家的工作黯然失色。”信中接著說道：“只有在一點上我遇到了困難，……下述矛盾：令W為不能論斷自身的謂詞的謂詞，W可以論斷自身嗎？任何回答都會導(dǎo)致矛盾?！纱宋业玫剑谀撤N條件下，一個可定義的集合并不構(gòu)成一個整體?！币簿褪钦f，羅素的來信一方面意味著弗雷格的工作開始得到承認(rèn)，另一方面又宣告了他的工作的終結(jié)。
弗雷格之墓
羅素在參加一九〇〇年巴黎首屆國際數(shù)學(xué)家大會期間，讀到了皮亞諾的一本著作，對書中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬃粝律羁逃∠?。第二年，羅素便提出了悖論，他給弗雷格寫的信正是基于此發(fā)現(xiàn)，這封信使得弗雷格把數(shù)學(xué)建立在集合論之上的想法遭到沉重打擊。一九一九年，羅素又提出了更為通俗的理發(fā)師悖論：一個宣稱給所有不給自己刮臉的人刮臉的人，他到底有沒有給自己刮臉呢？無論如何，這都會得出矛盾的結(jié)論，這個悖論揭示了集合論本身存在著矛盾。可是，邏輯主義并未就此中斷或消失，發(fā)現(xiàn)問題的羅素和懷特海等人很好地繼承了弗雷格的事業(yè)。弗雷格曾指出：“模棱兩可與含糊其辭，對詩人來說沒有問題，具體到論述真理的語言，尤其是科學(xué)的語言，就應(yīng)該準(zhǔn)確又清晰?！眰鹘y(tǒng)哲學(xué)通常是對思維內(nèi)容和認(rèn)識能力進(jìn)行探討，弗雷格則對語言表達(dá)形式和內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，他認(rèn)為對語言意義的分析，是哲學(xué)研究的主要任務(wù)。弗雷格深信他的研究在未來會贏得更大的贊譽(yù)，并把未發(fā)表的文章留給其養(yǎng)子。弗雷格有關(guān)語言意義的觀點，深得奧地利哲學(xué)家維特根斯坦的推崇甚至膜拜，這位二十世紀(jì)著名的思想家明確指出，他的哲學(xué)工作的兩個來源是“弗雷格的巨著和我的朋友羅素的著作”。維特根斯坦曾短期來耶拿跟隨弗雷格，一九一二年他前往劍橋，在羅素的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)理哲學(xué)，那也正是弗雷格的建議和推薦。
紀(jì)念弗雷格的行走 一九二一年，在羅素的幫助下，維特根斯坦的《邏輯哲學(xué)論》出版了，這部書的中心問題是：“語言是如何可能成其為語言的？”讓維特根斯坦驚訝的是我們司空見慣的一個事實：一個人居然能聽懂他以前從未遇到的句子。他本人對此是這樣解釋的：“一個描述事物的句子或命題必定是一幅圖像。”維特根斯坦認(rèn)為，所有的圖像和世界上所有可能的狀態(tài)一定具有某種相同的邏輯形式。弗雷格曾寫道：“一個好的數(shù)學(xué)家，至少是半個哲學(xué)家；一個好的哲學(xué)家，至少是半個數(shù)學(xué)家?！币痪乓话四晁诵莺?，回到故鄉(xiāng)梅克倫堡-前波美拉尼亞州，在德國第四大湖施韋里納湖北岸的小城巴德克萊茵（Bad Kleinen）定居，繼續(xù)著書立說，并轉(zhuǎn)向他年輕時的課題——幾何學(xué)，提出幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。巴德克萊茵離弗雷格的出生地維斯馬只有二十多公里，他于一九二五年七月二十六日去世，安葬在施韋里納湖畔。如今每年春天，梅克倫堡西北地區(qū)的居民都會通過往返這兩座城市的集體行走活動紀(jì)念弗雷格。
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