狄拉克 δ 函數(shù)為數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及工程技術(shù)人員所熟悉 ；它由英國科學(xué)家保羅 ·狄拉克引進(jìn)，因而得名。

保羅 · 狄拉克

保 羅 · 狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）1902年8月8日出生于英國的布里斯托爾（Bristol）， 就讀于主教路（Bishop Road）小學(xué)，在和布里斯托爾大學(xué)合辦的 Merchant Venturers 男子技術(shù)學(xué)校（現(xiàn)已不存在）讀完中學(xué)，之后在布里斯托爾大學(xué)工學(xué)院電子工程及應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)以優(yōu)異成績畢業(yè)，最后于 1926 年在劍橋大學(xué)圣約翰學(xué)院取得物理博士學(xué)位。

有兩件事足以表明狄拉克在學(xué)術(shù)界的地位 ：英國劍橋大學(xué)有一個燦耀得無與倫比的盧卡斯數(shù)學(xué)榮譽(yù)講座教授職位，于 1663 年根據(jù)當(dāng)時著名的大學(xué)議會議員亨利 · 盧卡斯（Henry Lucas）的捐款和遺愿而設(shè)立。曾榮登此寶座的有大名鼎鼎的牛頓和霍金。1932 年，30 歲的狄拉克便榮膺這個桂冠。翌年，狄拉克和薛定諤（Erwin Schr?dinger）一起分享了當(dāng)年的諾貝爾物理獎。

我通常認(rèn)為狄拉克是一個“工程物理數(shù)學(xué)家”。在向大家作更詳盡的解釋之前，先讓我們一起來簡要地回顧他的 δ 函數(shù)的背景和簡史。

對于工程技術(shù)人員、物理學(xué)和應(yīng)用科學(xué)家們來說，下面這兩個式子算是定義了δ函數(shù) ：

這兩個式子一目了然且功能巨大 ：對實軸 R 上的任何連續(xù)函數(shù) f(x) 和任何實數(shù) r 都有

這實在太好用了，不是嗎？

數(shù)學(xué)家對此不以為然，因為它不是一個常義下的標(biāo)準(zhǔn)實值函數(shù)。它只是一種廣義函數(shù)，因而需要把它的定義嚴(yán)格化?，F(xiàn)在知道，可以把 δ 函數(shù)嚴(yán)格地定義為一種測度 ：

對定義在實軸上任意連續(xù)函數(shù) f(?)，可以令 δ 為滿足 Lebesgue–Stieltjes 積分

的一種測度，其中 H(x) 是 Heaviside 階梯函數(shù)。也可以把 δ 函數(shù)嚴(yán)格地定義為一種Sobolev-Schwartz 分布 ：考慮一個包含所有某類足夠光滑的、在實軸上具有緊支集 Ω的函數(shù) ?（稱為試驗函數(shù)）的空間 S。此空間中每一個有定義的連續(xù)線性泛函都稱為是一個分布。一個定義在空間 S 中具有緊支集 Ω ＝｛0｝的線性泛函被稱為狄拉克 δ 函數(shù)。

在這里讓我們更感興趣的，是 δ 函數(shù)出現(xiàn)的歷史契機(jī)。

幾乎所有的科學(xué)發(fā)現(xiàn)和技術(shù)發(fā)明都有歷史可循，基本相同或相似的思想火花在漫長的過去時常已有浮現(xiàn)甚至多次閃爍。回顧一下歷史，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家共同探討數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象在十九世紀(jì)初就已經(jīng)很普遍，那時許多科學(xué)家同時是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。δ 函數(shù)的基本思想可以追溯到泊松（Siméon Poisson）在 1815 年關(guān)于復(fù)平面上線積分的研究以及傅立葉（Jean-Baptiste Fourier）在 1822 年關(guān)于熱的解析理論一書。特別是柯西（Augustin-Louis Cauchy）在 1815 年寫成、1827 年發(fā)表的一篇關(guān)于無窮小分析的論文里，實際上已經(jīng)使用了無限高和無限窄的單位脈沖來做積分核，因此后人也稱之為柯西 δ 函數(shù)，或柯西 - 狄拉克 δ 函數(shù)。后來，基爾霍夫（Gustav Kirchhoff ）在 1882年關(guān)于積分方程的研究和海威賽（Oliver Heaviside）在 1883 年關(guān)于奇異函數(shù)的求導(dǎo)中，都間接隱晦地使用了實質(zhì)上的 δ 函數(shù)。

我們今天使用的 δ 函數(shù)的簡單明確表述形式歸功于狄拉克。狄拉克需要 δ 函數(shù)的主要動因來自他對量子力學(xué)的研究。也許是基于下面馬上就要來介紹的狄拉克關(guān)于 δ函數(shù)的自然又合理的引進(jìn)方式，后人都把它稱為“狄拉克 δ 函數(shù)”。

早在十九世紀(jì)，克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）就引進(jìn)了離散 δ 函數(shù)

其中 i 和 j 為任意整數(shù)。狄拉克 δ 函數(shù)是對它的一種自然卻又艱難的推廣。我們不妨猜測，狄拉克當(dāng)時考慮一個粒子 a 的量子態(tài)，并創(chuàng)造性地用符號|a>來標(biāo)記（現(xiàn)稱為狄拉克符號）。首先，狄拉克把它在一個有限維的完備內(nèi)積空間中作展開 ：

其中{|x_i>}_i-1ⁿ為正交基底，滿足<x _i |x _j> = δ _ij ， i, j =1,2,…,n 。于是，從基底態(tài) |x _i>去計算量子態(tài) |a> 的概率為 p _i =< x _i | a>=a_i ，從而

然后，狄拉克要把上式推廣到無窮維的量子態(tài)空間去，以便描述粒子 a 的完全狀態(tài) ：

因為粒子 a 的量子態(tài)是連續(xù)而不是離散的，從而需要把這個無窮級數(shù)換成積分 ：

其中 f(x) 是在位置 x 上粒子出現(xiàn)的概率，滿足

這個關(guān)系式對所有的量子態(tài) |a> 成立，因而對所有的 f(x) 也成立。剩下的問題是如何去找“函數(shù)” <x'| x> 使得上述積分成立。為簡單起見，考慮位置 x' ＝ 0 并記 g(x) ＝< 0| x> 。于是上式變成

啊哈，這個“函數(shù)”g(x)，不就是狄拉克想要的“δ 函數(shù)” 嗎 ? ！

δ 函數(shù)是狄拉克留給后人的一個可喜可賀的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。更重要的是，狄拉克的名字和二十世紀(jì)最重要的科學(xué)成果之一的“量子力學(xué)”密不可分。

1928 年狄拉克 26 歲，提出了一個符合相對論的關(guān)于電子的方程式，即后來著名的狄拉克方程，這里簡寫為 ：

其中 m 為質(zhì)量，r^μ是狄拉克引進(jìn)的特殊矩陣（現(xiàn)稱為狄拉克矩陣）， ψ 是狄拉克引進(jìn)的一個用于描述自旋 ?1/2 基本粒子場（現(xiàn)稱為狄拉克場）。這個方程式被后人稱為是世界上和歷史上最漂亮的幾個方程式之一，它能非常成功地推導(dǎo)出所有已知的關(guān)于電子的屬性。但是，這個方程式隱含著一個致命的問題，就是它有具有負(fù)能量的量子態(tài)的解，而這一點(diǎn)是違背當(dāng)時物理學(xué)基本理論的?？墒?，把這種解丟掉的話又會引來一些數(shù)學(xué)的內(nèi)在矛盾。怎么辦呢？

狄拉克在冥思苦想了兩年之后，在 1930 年提出了一個非常大膽的猜想 ：具有負(fù)能量的量子態(tài)是存在的，只是我們還沒有觀測到！他的論據(jù)是，這種量子態(tài)通常被電子占據(jù)了，而電子又遵循不兼容原理，所以其它電子無法進(jìn)駐這些帶負(fù)能量的量子態(tài)，致使這些負(fù)能量態(tài)好像不起任何作用 ；但是，一旦某個負(fù)能量態(tài)空了出來，它的行為就會像一個帶正電的粒子一樣。狄拉克認(rèn)為這個“空穴”應(yīng)該是一種新粒子，并稱之為正電子。他還指出，真空中充滿了無限多這種具有負(fù)能量的粒子態(tài)，后人稱之為“狄拉克海”。

時間很快又過去了兩年。1932 年，卡爾 · 安德森（Carl Anderson）在宇宙線中發(fā)現(xiàn)了正電子，證實了狄拉克的預(yù)言真的是“空穴來風(fēng)”！當(dāng)時的新聞?wù)痼@了整個科技界。狄拉克因此和薛定諤一起分享了 1933 年的諾貝爾物理獎——那時狄拉克才 31 歲，在他劍橋大學(xué)博士論文《量子力學(xué)》答辯七年之后。這期間，狄拉克還發(fā)展了費(fèi)米-狄拉克（Fermi-Dirac）統(tǒng)計原理并開創(chuàng)了量子電動力學(xué)。順便提及，到 1936 年，卡爾 · 安德森也獲得了諾貝爾物理獎。

狄拉克對正電子的正確預(yù)測是近代理論物理最偉大輝煌的成就之一?，F(xiàn)在我們知道，不僅負(fù)電子有其相反的正電子，所有粒子都有其反粒子——反質(zhì)子和反中子于1955-56 年相繼在美國加州勞倫斯-伯克利國家實驗室（Lawrence Berkeley National Laboratory）中被發(fā)現(xiàn)，反氫原子則于 1995 年在歐洲核子研究組織（CERN）被成功制造出來——反粒子的存在性證明是量子力學(xué)與相對論相結(jié)合之后的必然結(jié)果。

前面說過，幾乎所有的科學(xué)發(fā)現(xiàn)和技術(shù)發(fā)明都有歷史可循。歷史紀(jì)錄表明，在德國出生的英國物理學(xué)家舒斯特（Sir Franz Schuster）早在 1898 年就曾兩次寫信給《自然》雜志，推測反原子和太陽系中反物質(zhì)的存在。狄拉克則給出了科學(xué)理論根據(jù)。今天科學(xué)家們雖然相信反粒子可以進(jìn)一步構(gòu)成各種物質(zhì)的反物質(zhì)，但同時也知道反物質(zhì)與物質(zhì)并不對稱地存在，它們在太陽系中微乎其微并且與物質(zhì)相互湮滅，因而不會對人類帶來特別的好處或者傷害 ——至少目前來看是這樣。

1927 年第五次索爾維（Solvay）會議參與者（攝于比利時索爾維國際物理研究所）；這是一幅被稱為“世界上最具睿智的大腦群集”的世紀(jì)照片，包括愛因斯坦（前排，左五）和居里夫人（前排，左三）等；狄拉克站在全幅照片的正中央（二排，左五）

狄拉克極具天才物理學(xué)家的直覺。1931 年，他在對電磁場理論做了深入研究后得出一個令人驚奇的結(jié)論 ：電場和磁場應(yīng)當(dāng)對稱。他認(rèn)為如果存在只有一個極而不是同時具有南北兩極的磁粒子（稱為磁單極子）的話，電和磁現(xiàn)象就具有美好的完全對稱性。狄拉克預(yù)測了磁單極子的存在。它不僅使麥克斯韋方程具有了完全對稱的形式，而且可以解釋電荷的量子化現(xiàn)象，條件是任何帶電粒子的電荷必須是單位電荷的整數(shù)倍以及任何帶磁粒子（磁單極子）的磁荷必須是單位磁荷的整數(shù)倍。這一結(jié)論揭示了電荷和磁荷的不連續(xù)性，解釋了懸而未決的“電荷量子化”難題。可是，多年來科學(xué)家們通過種種方式尋找磁單極子，均一無所獲，直到 1994 年美國物理學(xué)家塞伯格（NathanSeiberg）和威滕（Edward Witten）才從理論上證明磁單極子可以存在。不過，功夫不負(fù)有心人，2013 年德國亥姆霍茲國家研究中心聯(lián)合會（Helmholtz-Gemeinschaft）的研究人員莫里斯（Jonathan Morris）在其他大學(xué)同事的協(xié)作下，首次觀測到了磁單極子在一種實際材料中出現(xiàn)的過程，從而證實了它的存在。他們的研究報告于當(dāng)年9月3日發(fā)表在《科學(xué)》雜志上。

自古名人多軼事，狄拉克也不例外。

狄拉克一生多思寡言，總是被同事稱為怪誕之人。當(dāng)年劍橋大學(xué)的同事們在描述狄拉克時有一個善意的玩笑，把“一小時說一個字”定義為 1 個 “狄拉克單位”，足見他平日言辭之少。倫敦博物館資深研究員格雷厄姆 · 法米羅（Graham Farmelo）在他 2009 年的一本傳記文學(xué)作品《最奇怪的人》（The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Mystic of the Atom）里收集了不少關(guān)于狄拉克的軼事趣聞。

法米羅著狄拉克傳記（2009 年出版）

狄拉克一生對文學(xué)藝術(shù)沒有興趣，他只追求物理與數(shù)學(xué)之美。美國猶太人物理學(xué)家、曼哈頓計劃主要領(lǐng)導(dǎo)者之一的羅伯特 · 奧本海默（Julius Robert Oppenheimer）喜歡文學(xué)和詩。狄拉克有一次見到他時說 ：“聽說你在寫詩。我不明白一個工作在物理學(xué)前沿的人怎么能夠同時又去寫詩。這兩者是不相容的?？茖W(xué)是把以前沒有人了解的事情用大家都能明白的話來說清楚，詩卻是將大家都已經(jīng)知道的東西以無人能夠理解的方式表述出來?！?/p>

有 一 次， 狄 拉 克 與 物 理 學(xué) 家 玻 爾（Niels Bohr）一起參觀哥本哈根的國家藝術(shù)博物館。當(dāng)他們來到一幅印象派油畫面前時，玻爾頗為欣賞，但狄拉克卻驚奇地指著畫面說 ：“咦，這條船還沒有畫完嘛！”

又有一次，狄拉克和物理學(xué)家海森堡（Werner Heisenberg）一同到日本講學(xué)。海森堡向來社交活躍，在一次晚會上與年輕姑娘們翩翩起舞。狄拉克問他為什么這樣興高采烈？海森堡笑了，說和好姑娘們跳舞是一種享受。狄拉克想了一會，依然不解 ：“您怎么知道她們是好姑娘？”

還有一次，狄拉克在美國威斯康辛大學(xué)作報告。報告中他不時停下來，問問大家有什么問題沒有？期間，有一位聽眾說 ：“您寫在黑板右上方的那個方程我看不懂?！钡依寺牶笠谎圆话l(fā)，讓當(dāng)時的場面相當(dāng)尷尬。幾分鐘過去了，主持人試圖打破僵局，說狄拉克教授您就回答一下剛才那個問題吧。狄拉克喃喃地回應(yīng)道： “剛才那個不是問題，好像是一個說明?！?/p>

前面提到，1933 年狄拉克與薛定諤共享諾貝爾物理獎。當(dāng)時他私下對學(xué)術(shù)老前輩盧瑟福（Ernest Rutherford，1908 年諾貝爾化學(xué)獎得主）說，他不想成為新聞人物，打算拒絕接受這個榮譽(yù)。盧瑟福對他說 ：“如果你這樣做，你會更出名，人家更要來麻煩你了。”于是狄拉克才同意去領(lǐng)獎。另一個例子說，英國皇室曾經(jīng)冊封狄拉克為騎士，可是狄拉克卻拒絕了，只因為他不想讓自己名字加上一個前冠。難怪玻爾后來評論說 ：“物理學(xué)家中，狄拉克具有最純潔的靈魂?！?/p>

時間飛越到了 1970 年。為了與嫁到美國佛羅里達(dá)州州府塔拉哈西（Tallahassee）的女兒瑪麗 · 伊麗莎白（Mary Elizabeth）住得近一點(diǎn)，68 歲的狄拉克以劍橋大學(xué)榮譽(yù)教授的身份全職加盟佛羅里達(dá)州立大學(xué)。他在那里平靜地度過了輝煌一生最后的十四年，于 1984 年 10 月 20 日辭世，被安葬在該地的玫瑰坪墓園（Roselawn Cemetery）。2002 年 7 月 9 日，他的夫人 Margit Wigner Dirac 逝世，合葬一處。他們的另一個女兒佛羅倫斯 · 莫妮卡（Florence Monica）則安家在加州拉由拉市（La Jolla），在那里度過一生。

狄拉克夫婦在玫瑰坪墓園的石碑

保羅 · 狄拉克的父親查理斯 · 狄拉克（Charles A. L. Dirac）出生在瑞士的圣莫里斯（Saint-Maurice）, 后來移民到英國。保羅去世后，鄉(xiāng)親們?yōu)樗诩亦l(xiāng)圣莫里斯的父親墓旁修建了一個小小紀(jì)念碑。此外，位于英國倫敦的威斯敏斯特教堂（Westminster Abbey），俗稱西敏寺，是英國國王登基和皇室舉行婚禮的地方 ；如果死后能在此地放一墓碑，則是至高無上的榮耀。這里長眠著許多偉大人物，如牛頓、達(dá)爾文、狄更斯、邱吉爾、彌爾頓。牛頓墓旁放置有一塊小小石碑，上面鐫刻著保羅 · 狄拉克的名字以及他那優(yōu)美的方程式。

位于瑞士莫里斯的狄拉克紀(jì)念碑

位于倫敦西敏寺的狄拉克石碑

2013 年我在布里斯托爾大學(xué)的工學(xué)院學(xué)術(shù)訪問三個月，在布里斯托爾度過了整個夏天。趁此之便，走訪了狄拉克的故居和小學(xué)，更在狄拉克曾經(jīng)讀書的地方工作多時、瀏覽多遍。

狄拉克的故居已經(jīng)為他人私有，僅在大門邊墻上掛著藍(lán)底白字的圓牌一塊，寫著 ：

“保羅 · 狄拉克 ；1902 – 1984 ；1933 年諾貝爾獎獲得者，他闡明了量子物理和反物質(zhì)的奧秘 ；他出生在這所房子里并居住于此至 1913 年?！?/span>

英國布里斯托爾的狄拉克故居

狄拉克就讀過的主教路小學(xué)和布里斯托爾大學(xué)及其工學(xué)院內(nèi)外，則完全找不到狄拉克的任何痕跡 ：沒有匾額、沒有圖片、沒有說明。

主教路小學(xué)

驚詫或者說失望之余，我與幾位狄拉克故居及小學(xué)鄰居、教師，特別是布里斯托爾大學(xué)工學(xué)院的資深教授作過閑聊，問他們?yōu)楹尾话训依斯示幼優(yōu)椴┪镳^？為何不在小學(xué)圍墻外貼上狄拉克的巨幅畫像？為何不在工學(xué)院內(nèi)設(shè)置狄拉克展覽廳？

呵呵，我自認(rèn)為問得在理，沒想到所得回應(yīng)大同小異、平淡無奇 ：

“全世界都知道我們的狄拉克，用不著去刻意渲染?！?/span>

“誰不知道狄拉克的話是他的無知，不是我們的過錯?！?/span>

言語之間，流露出莫大的民族自信。

最后回顧一下，我前面把狄拉克稱為是“工程物理數(shù)學(xué)家”。事實上，我并不是唯一這樣來理解他的人。上面提到格雷厄姆 · 法米羅 2009 年的傳記中說 ：“狄拉克常常具有令人費(fèi)解的驚人思路的根本原因之一在于他是一個異同尋常的'混血兒’——他身上有一部分是理論物理學(xué)家，有一部分是純粹數(shù)學(xué)家，還有一部分是工程師?！钡依说摩暮瘮?shù)正好就是這種三位一體的科學(xué)技術(shù)理論的完美產(chǎn)物。

狄拉克常常以直截了當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行數(shù)學(xué)推理，每一步的推理都受物理直覺的引導(dǎo)，有時還抗拒數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性——如果這種嚴(yán)密性妨礙他思考的話。他對δ函數(shù)的定義和使用就是一個例證。數(shù)學(xué)家伯克霍夫（Garrett Birkhoff）曾經(jīng)在寫給物理學(xué)家肯布爾（Edwin Kemble）的信中說，他在劍橋大學(xué)聽狄拉克講授量子力學(xué)課程時，“出乎意料的是，我發(fā)現(xiàn)狄拉克表述物理系統(tǒng)的方法只是為了形式上的方便，它不具體表達(dá)那些人們尚不完全熟悉的數(shù)學(xué)原理?！依嗽试S自己享有太多數(shù)學(xué)上的自由。”肯布爾回信表示同意，并寫道： “就不合理的推理而言，我已聽說有人列出過他四十至五十個錯誤?？墒牵淖罱K結(jié)果總與實驗一致。對我來說，他十分神秘?！?/p>

狄拉克對數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的寬松態(tài)度也許滋生于他早期接受的工程教育。然而狄拉克非常感激自己在工程學(xué)院里獲得的訓(xùn)練。他說 ：“如果沒有這些來自工程學(xué)的訓(xùn)練，我或許無法在后來的研究中做出任何成果?！?那些要求所有計算推導(dǎo)上完全精確的數(shù)學(xué)家們很難在物理學(xué)上走得很遠(yuǎn)。”

物理學(xué)家們喜歡狄拉克自然不必說了，他的物理直覺居然預(yù)言并論證了不可思議的反物質(zhì)的存在。工程技術(shù)人員則喜歡他的簡明直接的推理邏輯，特別是他對 δ 函數(shù)的直觀表達(dá)。數(shù)學(xué)家們其實也很喜歡他，為補(bǔ)證他的 δ 函數(shù)而發(fā)展了分布理論不說，今天許多人依然沉迷于研究狄拉克流形（Dirac manifold）。這當(dāng)然也可以從狄拉克本人的自述反過來品味： “我的工作中有很多時候只是在玩方程式，看看可以得到什么結(jié)果。”這不是一句典型的數(shù)學(xué)家的話嗎？狄拉克也說 ：“一個數(shù)學(xué)理論如果是真正漂亮的話，它一定會顯示為一種優(yōu)雅而重要的物理現(xiàn)象?！?956 年他訪問莫斯科大學(xué)時，曾在黑板上寫道 ：“物理學(xué)定律必須具有數(shù)學(xué)的美?！?/p>

狄拉克是無神論者，不過他 1963 年發(fā)表在《科學(xué)美國人》雜志中的一篇論文里寫道 ：“上帝是一位高明的數(shù)學(xué)家，祂用高深的數(shù)學(xué)來構(gòu)建宇宙?！?/p>

作者簡介

陳關(guān)榮，香港城市大學(xué)電子工程系講座教授，歐洲科學(xué)院院士 。

《數(shù)學(xué)文化》為季刊，目的是將數(shù)學(xué)展示給我們的世界，在文化層面上闡釋數(shù)學(xué)的思想、方法、意義，函蓋數(shù)學(xué)人物，數(shù)學(xué)歷史，數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)趣談以及數(shù)學(xué)煙云等等，雜志的對象是對數(shù)學(xué)有興趣的讀者。

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