數(shù)學(xué)公式能激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)者們的“美感”嗎？科學(xué)家們用科學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)測(cè)試和證明這點(diǎn)，同時(shí)也研究美感的來(lái)源與大腦活動(dòng)的關(guān)系。例如，知名英國(guó)數(shù)學(xué)家阿提雅（M. Atiyah）在2014年曾經(jīng)利用核磁共振造影對(duì)大腦掃描，進(jìn)行了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果證實(shí)了：數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的美感，與人們對(duì)音樂(lè)繪畫等藝術(shù)產(chǎn)生的美感，是來(lái)源于腦部的同一個(gè)區(qū)域：前眼窩前額皮質(zhì)（mOFC）A1 區(qū)。 阿提雅選擇提供了60個(gè)包含許多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)公式，讓16位數(shù)學(xué)家受測(cè)，分別對(duì)這些公式從丑到美打分?jǐn)?shù)，并同時(shí)進(jìn)行腦部掃描，測(cè)量產(chǎn)生數(shù)學(xué)美感時(shí)大腦中情緒活躍的區(qū)域和程度。他們?cè)谡撐闹姓f(shuō)明了實(shí)驗(yàn)分析的結(jié)果，顯示數(shù)學(xué)或抽象公式不但激發(fā)美感，使人產(chǎn)生精神上的亢奮，而且在大腦中和藝術(shù)美感共享相同的情緒區(qū)域！ 有趣的是，這些數(shù)學(xué)專業(yè)人士，在提供給他們的60個(gè)公式中，評(píng)選出了一個(gè)“最丑的”和一個(gè)“最美的”數(shù)學(xué)表達(dá)式。它們分別是下面兩個(gè)。 最丑的： 最美的： 最丑的就沒(méi)有什么可評(píng)論的了，那是一個(gè)看起來(lái)十分復(fù)雜令人費(fèi)解的表達(dá)式，用無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算 1/π。況且，這只是從60個(gè)式子中選出來(lái)的，如果給出更多的選擇可能性，一定還有更復(fù)雜，更丑的！ 最美的公式被稱為“歐拉恒等式”，當(dāng)然也僅僅是從60個(gè)例子中脫穎而出的。不過(guò)，歐拉恒等式一直受到科學(xué)家們的好評(píng)，例如，美國(guó)物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼（Richard Phillips Feynman）就曾經(jīng)稱這恒等式為“數(shù)學(xué)最奇妙的公式”。 奇妙在哪里呢？因?yàn)樗炎匀唤缥鍌€(gè)最基本最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)e、i 、π、1、0極簡(jiǎn)極美地整合為一體。其中e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)的單位，π是圓周率，剩下的1和0，在數(shù)學(xué)上的地位就不言自明了。奇妙之處在于，憑什么把這5個(gè)常數(shù)，如此簡(jiǎn)潔地連系在一起？其中還包括了像p =3.141592653....，e =2.718281828....，這種奇怪的超越數(shù)？ 這條恒等式第一次出現(xiàn)于1748年瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的書中，是以下復(fù)分析歐拉公式當(dāng)x = π時(shí)的特殊情況： 但是，不懂?dāng)?shù)學(xué)的人是無(wú)法欣賞歐拉恒等式和歐拉公式之美的。如果不知道e、i 、π符號(hào)所表達(dá)的意思，不懂復(fù)數(shù)，不懂冪次，不知道無(wú)理數(shù)和三角函數(shù)以及它們代表的幾何意義，就無(wú)法理解這兩個(gè)公式體現(xiàn)的美。并且，隨著你越清楚這些概念在數(shù)學(xué)、量子力學(xué)、工程中的威力和聯(lián)系，你就就越會(huì)贊嘆這簡(jiǎn)潔公式之懾人之美！ 由上述“最美”、“最丑”的結(jié)果還可發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)數(shù)學(xué)家是把樸素簡(jiǎn)單看作數(shù)學(xué)之美的重要屬性。 數(shù)學(xué)美不僅使數(shù)學(xué)自身美不勝收，也給科學(xué)美錦上添花?？茖W(xué)中的數(shù)學(xué)美有多種形式，主要有：簡(jiǎn)潔之美、邏輯之美、對(duì)稱之美、完備之美。 ·簡(jiǎn)潔之美 科學(xué)用數(shù)學(xué)來(lái)凝練和濃縮，這是簡(jiǎn)潔之美，例如上面的歐拉恒等式。把復(fù)雜的事情簡(jiǎn)單化，是一種本領(lǐng)和智慧。簡(jiǎn)約不等于簡(jiǎn)單，大智若愚，大道至簡(jiǎn)，用簡(jiǎn)去繁，以少勝多。中國(guó)清代著名書畫家鄭板橋用“刪繁就簡(jiǎn)三秋樹” 表明他的書法及文學(xué)理念，主張以最簡(jiǎn)練清晰的筆墨，不同凡響的思想，表現(xiàn)出最豐富的內(nèi)容。實(shí)質(zhì)上與西方邏輯中常說(shuō)的所謂“奧卡姆剃刀”：“如無(wú)必要，勿增實(shí)體”的 原則，是一個(gè)意思，同屬“簡(jiǎn)潔之美”。 科學(xué)的目的本來(lái)就是要尋找對(duì)自然現(xiàn)象最簡(jiǎn)單最美的描述。刪除一切沒(méi)必要的多余“實(shí)體”，留下最少的。多樣性中的簡(jiǎn)單性，才意味著事物之間的和諧。 科學(xué)研究中的奧卡姆剃刀原則意味著：當(dāng)你面對(duì)導(dǎo)致同樣結(jié)論的兩種理論時(shí)，選擇那個(gè)最簡(jiǎn)單的，實(shí)體最少的！例如，物理學(xué)家研究統(tǒng)一理論，基本物理規(guī)律、各種粒子、和相互作用力，是理論中的實(shí)體。那么，統(tǒng)一理論所追求的就是一種簡(jiǎn)潔美。就是用最少數(shù)目的物理規(guī)律來(lái)描述自然現(xiàn)象；用最少數(shù)目的“不可分割基本粒子”來(lái)構(gòu)成所有的物質(zhì)；用最少種類的“力”來(lái)描述物質(zhì)之間的相互作用，這才符合奧卡姆剃刀原則！ 分形和混沌的理論，將自然界及科學(xué)理論中，看起來(lái)十分復(fù)雜的現(xiàn)象，通過(guò)“自相似性質(zhì)”用幾個(gè)簡(jiǎn)單的方程來(lái)描述，也是一個(gè)追求“簡(jiǎn)潔美”的例子。 麥克斯韋（James Clerk Maxwell 1831年—1879年）將電磁學(xué)中的高斯定律、高斯磁定律、法拉第感應(yīng)定律、麥克斯韋-安培定律等整合在一起，建立了麥克斯韋方程組，描述電和磁的性質(zhì)，并成功地得出，光也是一種電磁波的結(jié)論。 我們現(xiàn)在看到的麥克斯韋方程由4個(gè)簡(jiǎn)潔而美麗的方程構(gòu)成。然而，在麥克斯韋因胃癌而去世的那一年，麥克斯韋方程組還不是目前這種簡(jiǎn)潔的形式。那時(shí)候的方程組包含了20個(gè)方程，這種看起來(lái)并不漂亮、暫時(shí)也沒(méi)有實(shí)驗(yàn)證據(jù)的“整合”，使人們當(dāng)年反對(duì)麥克斯韋的觀點(diǎn)，不接受他的理論。 如今麥克斯韋方程組具備的簡(jiǎn)潔美，要?dú)w功于一個(gè)自學(xué)成才的英國(guó)人奧利弗·亥維賽（Oliver Heaviside，1850年－1925年）。 亥維賽小時(shí)家境貧寒，還患過(guò)猩紅熱，因此造成他有點(diǎn)兒聾。就是這樣一個(gè)沒(méi)有接受過(guò)正規(guī)高等教育、作風(fēng)頗為古怪的傳奇人物，自己教會(huì)了自己當(dāng)時(shí)世界上最高深的理論：微積分和電磁學(xué)。亥維賽善于用直覺(jué)進(jìn)行論述和數(shù)學(xué)演算，在數(shù)學(xué)和工程上都做出了許多原創(chuàng)性的成就。但也許與其自學(xué)的背景有關(guān)，他不太重視嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證，因而他提出的算子微積分開始時(shí)遭到數(shù)學(xué)家們的反對(duì)。 亥維賽不在乎別人的反對(duì)，獨(dú)自創(chuàng)立了矢量微積分學(xué)，即如今物理學(xué)中常用的矢量分析方法。亥維賽利用新發(fā)明的矢量微積分符號(hào)，在麥克斯韋逝世的六年之后，1885年，將麥克斯韋方程組改寫成為今天人們所熟知的4個(gè)方程的簡(jiǎn)潔對(duì)稱的形式。 1891年，亥維賽成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1905年，德國(guó)哥廷根大學(xué)授予亥維賽一個(gè)名譽(yù)博士頭銜。這是學(xué)術(shù)界給這位自學(xué)成才學(xué)者的承認(rèn)和嘉獎(jiǎng)。 ·邏輯之美 科學(xué)一旦形成了理論，首先要有邏輯性，否則就還只是一堆實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)象羅列，算不上理論。錢學(xué)森曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“科學(xué)工作源于形象思維，終于邏輯思維?！币彩沁@個(gè)意思。 因此，從事自然科學(xué)研究不一定需要多么復(fù)雜的頭腦，但卻一定需要清晰的邏輯思維。古希臘就開始的歐幾里德幾何是邏輯體系最初最好最經(jīng)典的樣板。 一個(gè)符合邏輯的理論體系，是從幾個(gè)基本的原理出發(fā)，用清晰簡(jiǎn)潔的思路和推論建立起整個(gè)理論大廈。例如，愛(ài)因斯坦當(dāng)初建立狹義相對(duì)論，有兩條基本假設(shè)：相對(duì)性原理和光速不變?cè)?。前者說(shuō)的是物理規(guī)律在所有慣性系中都具有相同 的形式，后者意味著在所有的慣性系中，真空光速具有相同的值c。 如果從牛頓經(jīng)典物理的觀點(diǎn)來(lái)理解，這兩條基本原理似乎邏輯上互相矛盾。特別是“光速恒定”這點(diǎn)不容易理解。為了解決這個(gè)互相不自洽的問(wèn)題，我們需要重新思考時(shí)間和空間，重新思考所謂“同時(shí)”這種平時(shí)看來(lái)是司空見慣的現(xiàn)象。仔細(xì)考察后我們才知道，原來(lái)同時(shí)性并不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的。在行駛的火車參考系上看起來(lái)“同時(shí)”的事件，在相對(duì)于地面靜止的參考系上看起來(lái)，就不是同時(shí)的。這樣，從上述兩條基本原理出發(fā)，愛(ài)因斯坦突破了牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，發(fā)現(xiàn)了時(shí)空間的聯(lián)系，對(duì)時(shí)間空間，以至于質(zhì)量、能量、動(dòng)量等，都進(jìn)行了重新定義。然后，再經(jīng)過(guò)邏輯推理，得出了洛倫茨變換，質(zhì)能公式，等等整個(gè)狹義相對(duì)論體系。 狹義相對(duì)論還可以說(shuō)是應(yīng)順時(shí)代的產(chǎn)物，解決了當(dāng)時(shí)晴朗物理天空上的兩片小烏云之一：與經(jīng)典電磁理論不符合的邁克爾遜－莫雷實(shí)驗(yàn)。之后，愛(ài)因斯坦將相對(duì)性原理中的慣性參考系推廣到非慣性參考系，得到了廣義相對(duì)論。這個(gè)過(guò)程并不是為了解釋當(dāng)時(shí)任何不符合理論的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，盡管后來(lái)也有“廣義相對(duì)論的三大實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”，但這并不是當(dāng)年愛(ài)因斯坦建立廣義相對(duì)論的初衷。他的目的是將經(jīng)典的牛頓萬(wàn)有引力定律與狹義相對(duì)論加以“邏輯”推廣，最后的結(jié)果就導(dǎo)致了廣義相對(duì)論的建立。這個(gè)過(guò)程可以說(shuō)幾乎完全是出于愛(ài)因斯坦自身對(duì)美的追求。廣義相對(duì)論使用幾何語(yǔ)言，統(tǒng)一了引力和時(shí)空，可以說(shuō)是完全構(gòu)建于理念之中，并非為了解決任何實(shí)際問(wèn)題。 正是因?yàn)槿缟显?，?dāng)年的愛(ài)因斯坦甚至不太在乎其理論與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果是否相符合。據(jù)說(shuō)當(dāng)愛(ài)丁頓的日全食觀測(cè)驗(yàn)證了廣義相對(duì)論之后，某人與愛(ài)因斯坦有如下一段有趣的對(duì)話： 某：“愛(ài)因斯坦博士，觀測(cè)證實(shí)您的理論是正確的！” 愛(ài)：“我早知道它是正確的?！?/span> 某：“那如果觀測(cè)結(jié)果和你的理論不一致呢？” 愛(ài)：“那很遺憾，但我的理論仍然是正確的！” 愛(ài)因斯坦以對(duì)時(shí)間、空間、引力這些最普通最基本概念的深沉反思，完全理性地建立了廣義相對(duì)論理論。令人驚奇的是，這個(gè)出于邏輯美之探求而成的理論，迄今為止已經(jīng)經(jīng)受住了100年來(lái)實(shí)驗(yàn)和天文觀測(cè)的考驗(yàn)，它體現(xiàn)的科學(xué)美著實(shí)令人震撼讓人折服。 相對(duì)論的建立過(guò)程給我們啟迪：欣賞和運(yùn)用數(shù)學(xué)的邏輯之美，能幫助物理、化學(xué)、生物、天文、地質(zhì)等自然科學(xué)建立嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，找到自然界不同現(xiàn)象背后的深層規(guī)律。 ·對(duì)稱之美 對(duì)稱性在自然界隨處可見，作為基本數(shù)學(xué)概念也不難理解。最簡(jiǎn)單的例子就是人體。人體基本上是左右對(duì)稱的，有左手又有右手，有左眼又有右眼。自然界還有許許多多對(duì)稱的例子：花草、樹木、動(dòng)物……對(duì)稱無(wú)處不在。對(duì)稱是一種美。各種各樣的對(duì)稱性，或許也應(yīng)該加上各種不對(duì)稱性，構(gòu)成了我們周圍美麗的世界。 有各種各樣不同形式的對(duì)稱：平移對(duì)稱、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱……。不僅僅大自然物質(zhì)世界具有對(duì)稱性，描述物理世界規(guī)律的科學(xué)理論也具有對(duì)稱性。例如，宏觀和微觀，經(jīng)典與量子，有互相對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)，也可視作互為對(duì)稱。 狄拉克可算是是物理學(xué)家中追美之第一人。他清心寡欲不染塵，沉迷科研無(wú)他求，得了諾貝爾物理獎(jiǎng)還不想赴會(huì)領(lǐng)取。他特別重視的，是其物理理論之美。 二十世紀(jì)初期，愛(ài)因斯坦建立相對(duì)論，解決了物理學(xué)晴朗天空中兩朵小烏云之一。另外一朵烏云的起因是黑體輻射問(wèn)題，并由此而誕生了量子力學(xué)。這兩場(chǎng)“革命”，令人對(duì)物理學(xué)中的“經(jīng)典”概念之理解，發(fā)生了翻天覆地的變化。相對(duì)論基本上是愛(ài)因斯坦一人的功勞，量子力學(xué)牽涉到分子原子物理中的種種問(wèn)題，引誘了一大批年輕物理學(xué)家蜂擁而上，其中的風(fēng)流才子薛定諤為量子力學(xué)建立了基礎(chǔ)的薛定諤方程，寡語(yǔ)少言、一整天說(shuō)不出幾個(gè)單詞的狄拉克，則建立了相對(duì)論粒子遵循的狄拉克方程。 相對(duì)于概念迥異的量子“革命”而言，不僅僅牛頓力學(xué)是經(jīng)典的，連同時(shí)是革命成果的相對(duì)論，也都被稱為“經(jīng)典”物理范疇。經(jīng)典物理處理宏觀粒子，量子力學(xué)處理微觀粒子，經(jīng)典物理用軌道來(lái)描述粒子運(yùn)動(dòng)，量子力學(xué)則使用概率意義上的波函數(shù)，經(jīng)典粒子具有能量和動(dòng)量，而在量子力學(xué)中變成了相對(duì)應(yīng)的算符。這些互為對(duì)應(yīng)之事實(shí)，描述了量子物理與經(jīng)典物理的對(duì)稱。 薛定諤根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的能量公式：E = p2/2m + V，將能量E、動(dòng)量p、及勢(shì)能V，代之以相應(yīng)的算符，得到了薛定諤方程。 然而，薛定諤方程有一個(gè)不足之處：它沒(méi)有將狹義相對(duì)論的思想包括進(jìn)去，因而只能用于非相對(duì)論的電子，也就是只適用于電子運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)的情形。于是，狄拉克使用相對(duì)論的能量動(dòng)量關(guān)系：E2 = p2c2 + m2c4，也對(duì)稱地代進(jìn)相應(yīng)算符，并且對(duì)算符進(jìn)行了一個(gè)巧妙的“開方”運(yùn)算，構(gòu)建了狄拉克方程。 狄拉克方程的美妙甚至超過(guò)了狄拉克的期望，它不僅考慮了相對(duì)論效應(yīng)，還將當(dāng)時(shí)還不是十分清晰的電子自旋特性自動(dòng)地包含于方程中。 由于對(duì)稱性，狄拉克的相對(duì)論性電子模型中負(fù)能量解跟正能量解一樣有效。這個(gè)問(wèn)題使狄拉克困惑，最后，為了解決這個(gè)問(wèn)題，同時(shí)也基于“對(duì)稱美”的考量，狄拉克提出了“狄拉克?！钡母拍?，預(yù)言了當(dāng)時(shí)并不存在，似乎顯得有些荒謬的正電子的存在。 1932年卡爾·安德森在宇宙射線中發(fā)現(xiàn)了正電子，證實(shí)了狄拉克的預(yù)言。1956年美國(guó)物理學(xué)家歐文·張伯倫（Owen Chamberlain）在勞倫斯-伯克利國(guó)家實(shí)驗(yàn)室發(fā)現(xiàn)了反質(zhì)子。 從此之后，與我們?cè)瓉?lái)所見的物質(zhì)相對(duì)稱的“反粒子”、“反物質(zhì)”逐漸被研究、被預(yù)言、被發(fā)現(xiàn)。這些預(yù)言充分地體現(xiàn)了“對(duì)稱”這個(gè)美麗理論的強(qiáng)大魅力，對(duì)稱性成為如今基本粒子標(biāo)準(zhǔn)模型的重要基礎(chǔ)。 不過(guò)，反物質(zhì)無(wú)法在自然界中找到，即使有少量存在（例如放射衰變或宇宙射線），也會(huì)很快地與正常物質(zhì)發(fā)生湮滅而稍縱即逝。所以，反物質(zhì)只能在實(shí)驗(yàn)室中人為地被制造出來(lái)。由此，對(duì)稱性也帶給科學(xué)家們一大難題：為什么在現(xiàn)今可見的宇宙范圍中，正反物質(zhì)如此明顯地不對(duì)稱？是否有反物質(zhì)為主的另類宇宙存在？ 世界就是如此奇妙，對(duì)稱中又有許多的“不對(duì)稱”！所以，不要以為“對(duì)稱之美”一定勝利！科學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)頒發(fā)給發(fā)現(xiàn)對(duì)稱的人，也頒發(fā)給發(fā)現(xiàn)不對(duì)稱的人。至少有7位學(xué)者，因?yàn)檠芯俊安粚?duì)稱”而獲得了諾貝爾物理獎(jiǎng)。這其中，我們熟知的華人學(xué)者李政道和楊振寧捷足先登。 李楊二人1956年提出了一個(gè)弱相互作用中的“宇稱不守恒”定律而得到了1957年的諾貝爾物理獎(jiǎng)。宇稱守恒是什么呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，它與公眾熟知的“鏡像對(duì)稱”有關(guān)。實(shí)際上，“宇稱不守恒”的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象在1928年被觀察到，另一位德國(guó)物理學(xué)家赫爾曼·魏爾（Hermann Weyl，外爾，1885年－1955年），早在1929年就曾經(jīng)提出一個(gè)二分量中微子理論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，但因?yàn)樵摾碚搶?dǎo)致左右不對(duì)稱，破壞了外爾心中的對(duì)稱之美，最終被他拋棄了。二十多年之后，外爾已經(jīng)去世，李政道和楊振寧重新考慮這個(gè)問(wèn)題，才打破了這個(gè)對(duì)稱性，吳健雄的實(shí)驗(yàn)最終證實(shí)了上帝果然是個(gè)弱左撇子！當(dāng)年的三位華人物理學(xué)家，在科學(xué)史上合作譜寫出了一段美妙的非對(duì)稱旋律。除了宇稱不守恒之外，楊振寧早期還有一項(xiàng)因研究“對(duì)稱性”而知名的成果：規(guī)范對(duì)稱場(chǎng)中的楊-米爾斯理論，這個(gè)杰出的工作使他躋身于當(dāng)今最偉大的物理學(xué)家之列。 還有一種不對(duì)稱現(xiàn)象曾經(jīng)困惑物理學(xué)家多年，稱之為“自發(fā)對(duì)稱破缺”。意思是說(shuō)，自然規(guī)律（方程）具有某種對(duì)稱性，但服從這個(gè)規(guī)律的現(xiàn)實(shí)情形卻不具有這種對(duì)稱性。 人們經(jīng)常舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明自發(fā)對(duì)稱破缺。比如說(shuō)，一支鉛筆豎立在桌子上，它所受的力（物理定律）是四面八方都對(duì)稱的，它往任何一個(gè)方向倒下的幾率都相等。但是，鉛筆最終只會(huì)倒向一個(gè)方向，這就破壞了它原有的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，而這種破壞是鉛筆自身發(fā)生的，所以叫自發(fā)對(duì)稱破缺。 再表達(dá)得更清楚一些，就是說(shuō)，物理規(guī)律具有某種對(duì)稱性，它的方程的某一個(gè)解不一定要具有這種對(duì)稱性。一切現(xiàn)實(shí)情況（實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)等）都只是“自發(fā)對(duì)稱破缺”后的某種特別情形，它只能反映物理規(guī)律的一小部分側(cè)面。在一定的意義上，這個(gè)概念也可以用以定性地解釋宇宙中正物質(zhì)多反物質(zhì)少的問(wèn)題。 奇妙的是：數(shù)學(xué)中的對(duì)稱與物理中的守恒定律緊密相關(guān)。最早研究這個(gè)相關(guān)性的是19世紀(jì)一位才華洋溢的德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家：艾米·諾特（Emmy Noether ，1882-1935）。她不僅對(duì)抽象代數(shù)作出重要貢獻(xiàn)，也為物理學(xué)家們點(diǎn)燈指路，發(fā)現(xiàn)了有關(guān)對(duì)稱和守恒的一個(gè)美妙的定理，被稱為諾特定理。 用通俗的話來(lái)說(shuō)，這個(gè)（諾特）定理認(rèn)為，每一個(gè)對(duì)稱性質(zhì)，都對(duì)應(yīng)物理學(xué)中的一個(gè)守恒量。比如說(shuō)，空間平移對(duì)稱，對(duì)應(yīng)于動(dòng)量守恒定律；時(shí)間平移對(duì)稱，對(duì)應(yīng)于能量守恒定律；旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，對(duì)應(yīng)于角動(dòng)量守恒定律。還有些諸位不太熟悉的，例如：電磁場(chǎng)規(guī)范變換對(duì)稱，對(duì)應(yīng)于電荷守恒； SU(2)規(guī)范變換對(duì)應(yīng)于同位旋守恒；夸克場(chǎng)的SU(3) 變換則對(duì)應(yīng)于“色”荷守恒。此外，在量子力學(xué)中，某些離散對(duì)稱性也對(duì)應(yīng)守恒量，例如，對(duì)應(yīng)于空間鏡像反演的守恒量便是李政道揚(yáng)振寧所發(fā)現(xiàn)并不守恒的“宇稱”。 ·完備之美 物理理論不僅追求簡(jiǎn)潔，也追求完備。盡量用最少的公式，但企圖描述更多的同類事物。 在數(shù)學(xué)上或相關(guān)領(lǐng)域，完備性可以從多個(gè)不同的角度被精確定義。但總的來(lái)說(shuō)，指的是一個(gè)“對(duì)象”（或理論、假說(shuō)、模型），如果不需要添加任何其他元素，可以達(dá)到邏輯自洽的話，便說(shuō)這個(gè)對(duì)象具有完備性。完備性也稱完全性。 科學(xué)不是純數(shù)學(xué)，需要實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)的驗(yàn)證，因此，在一定的條件下，一個(gè)科學(xué)理論的完備性可能是相對(duì)的，隨時(shí)間變化的。 例如，在上世紀(jì)60年代中期，物理學(xué)家們建立了基本粒子的“標(biāo)準(zhǔn)模型”，將當(dāng)時(shí)物理實(shí)驗(yàn)?zāi)芰磕軌蜻_(dá)到的微觀世界最小層次的物質(zhì)結(jié)構(gòu)和相互作用，統(tǒng)一于61種基本粒子。該理論所預(yù)言的數(shù)種粒子在實(shí)驗(yàn)中均被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，但其中的希格斯粒子卻遲遲未露面?？茖W(xué)家們孜孜以求，期望等待著希格斯粒子登場(chǎng)，也就是為了證實(shí)粒子物理學(xué)中 “標(biāo)準(zhǔn)模型” 的完備性，證實(shí)物理理論之美。因此，當(dāng)2012年歐洲核子中心（CERN）發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)模型的這個(gè)最后一個(gè)粒子時(shí)，科學(xué)界欣喜若狂。 然而，標(biāo)準(zhǔn)模型仍然有其不完備之處，它與少量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不相符合，并且，它只統(tǒng)一了3種作用力，而將引力拋棄在外，此外，現(xiàn)有的物理理論也無(wú)法解釋宇宙學(xué)領(lǐng)域傳來(lái)的有關(guān)暗物質(zhì)、暗能量的信息。因此，人們還在等待著更為完美的下一個(gè)“統(tǒng)一理論”。 愛(ài)因斯坦是追求完備性的物理學(xué)家，他認(rèn)識(shí)到經(jīng)典理論的不完備而建立了狹義相對(duì)論，繼而追求完備推廣至廣義相對(duì)論。然后又因追求最終的完備，將其后半生的努力獻(xiàn)給了物理學(xué)的統(tǒng)一大業(yè)，幾十年如一日，孤獨(dú)地尋找著一種更為基本更為完備的理論。 針對(duì)量子力學(xué)理論的詮釋，愛(ài)因斯坦曾經(jīng)與波爾展開一場(chǎng)世紀(jì)大戰(zhàn)。在爭(zhēng)論的最后一個(gè)回合，愛(ài)因斯坦于1935年發(fā)表了一篇題為《能認(rèn)為量子力學(xué)對(duì)物理實(shí)在的描述是完備的嗎？》的論文，通常被稱為EPR論文。文中愛(ài)因斯坦提出評(píng)價(jià)物理理論的標(biāo)準(zhǔn)：一是正確性，二是完備性。愛(ài)因斯坦等也提出EPR思想實(shí)驗(yàn)（或稱EPR佯謬），借著檢驗(yàn)兩個(gè)粒子量子糾纏的行為，企圖凸顯出定域?qū)嵲谡撆c量子力學(xué)完備性之間的矛盾。 愛(ài)因斯坦認(rèn)為量子力學(xué)不完備，堅(jiān)持哥本哈根詮釋的波爾認(rèn)為量子力學(xué)完備，這兒爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是量子力學(xué)中不確定性的本質(zhì)問(wèn)題。愛(ài)因斯坦一方認(rèn)為，不確定性的產(chǎn)生是因?yàn)槔碚摰牟煌陚?，忽略了背后隱藏的隱變量；而波爾一方認(rèn)為，量子力學(xué)中的不確定性，是微觀世界的本質(zhì)，沒(méi)有什么隱變量！爭(zhēng)論雙方的兩位大師去世之后，英國(guó)物理學(xué)家約翰·貝爾1964年提出了一個(gè)方法，可以借助實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證隱變量理論。如今半個(gè)世紀(jì)過(guò)去了，大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持量子力學(xué)，而非隱變量理論。實(shí)驗(yàn)結(jié)果似乎沒(méi)有站在愛(ài)因斯坦一邊，但對(duì)量子力學(xué)的完備性問(wèn)題，人們的看法仍然難以達(dá)成一致。 說(shuō)到完備性，想起著名數(shù)學(xué)家哥德爾的“不完備定理” ，哥德爾定理說(shuō)些什么？和科學(xué)理論的完備性有關(guān)系嗎？這個(gè)問(wèn)題難以用三言兩語(yǔ)說(shuō)清楚，留待下次吧。 |
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