在所有物理學(xué)家中,狄拉克擁有最純潔的靈魂。 ——玻爾 ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/01/1718/180641002_1_20200117061230144)
(圖源:John Keogh/flickr.com) 撰文 | 張?zhí)烊?/span>
那是1925年,玻恩和約爾當(dāng)剛剛從海森堡的計(jì)算中得出了許多好結(jié)果,卻收到一個(gè)他不知道的年輕英國(guó)物理學(xué)家撰寫的論文副本。這人名叫保羅·狄拉克(Paul Dirac,1902-1984)。緊接著,狄拉克發(fā)表了他量子力學(xué)的第一篇論文,令玻恩驚訝的是,其中已經(jīng)包含了比他和約爾當(dāng)在文章中使用的更為抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。原來(lái)狄拉克是從海森堡得花粉熱后,去劍橋訪問(wèn)時(shí)做的一個(gè)小型報(bào)告中得知矩陣力學(xué)的,狄拉克散步時(shí),腦海中總在盤旋著海森堡那個(gè)奇怪的乘法規(guī)則:p×q≠q×p。并且聯(lián)想起了經(jīng)典的泊松括號(hào),與此不是很相似嗎?所以,實(shí)際上,量子力學(xué)當(dāng)初是由三套馬車?yán)Q生的:海森堡、薛定諤、狄拉克。盡管當(dāng)年,狄拉克的知名度似乎不如海森堡和薛定諤,但這個(gè)年輕的英國(guó)人很快就在量子江湖上嶄露頭角。狄拉克“單位” ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/01/1718/180641002_2_20200117061230535)
圖1. 沉默寡言的狄拉克(圖源:wikipedia) 狄拉克出生于英格蘭的布里斯托,他的風(fēng)格是以精確和沉默寡言而著稱。你聽(tīng)過(guò)“狄拉克單位”嗎?它不是狄拉克在物理學(xué)中的創(chuàng)造,而是當(dāng)年劍橋大學(xué)的同事們描述狄拉克時(shí)所開(kāi)的善意的玩笑,因?yàn)樗麄儗ⅰ?小時(shí)說(shuō)一個(gè)字”定義為1個(gè)“狄拉克單位”,來(lái)描述狄拉克的少言寡語(yǔ)。狄拉克的母親是英國(guó)人,而父親是來(lái)自瑞士的移民。父親是一位法語(yǔ)教師,對(duì)家人嚴(yán)厲而專制,例如,他規(guī)定孩子們要說(shuō)法語(yǔ),使得家人之間交談極少,家中完全沒(méi)有了社交氣氛。父母加兄弟姐妹無(wú)言以對(duì)的場(chǎng)景,小狄拉克司空見(jiàn)慣,并且還以為每個(gè)家庭都如此!狄拉克和哥哥費(fèi)利克斯曾經(jīng)同在一所大學(xué)學(xué)工程,兄弟倆街頭碰見(jiàn)擦肩而過(guò)也互不言語(yǔ)。直到后來(lái),1925年,哥哥因抑郁癥自殺身亡,而引發(fā)了父母的極度悲傷,才第一次深深地觸動(dòng)了狄拉克,方知不言不語(yǔ)的家人之間,心中尚有真情在!狄拉克惜字如金的習(xí)慣,使他的文章形成特殊的風(fēng)格:言簡(jiǎn)意賅,沒(méi)有廢話。這點(diǎn)楊振寧先生在他的文章和演講中經(jīng)常多次提到。楊先生在他的《物理學(xué)與美》的文章中說(shuō)[1],狄拉克的文章給人以“秋水文章不染塵”的感受……。在另一個(gè)場(chǎng)合,楊先生又用高適在《答侯少府》中的詩(shī)句:“性靈出萬(wàn)象,風(fēng)骨超常倫。”來(lái)描述狄拉克方程和反粒子理論。認(rèn)為狄拉克方程確實(shí)包羅萬(wàn)象,而又能讓人感受到其中噴發(fā)而出的靈感。狄拉克特別追求物理規(guī)律的數(shù)學(xué)美,比較科學(xué)和詩(shī),他有一段精彩評(píng)論,令人聽(tīng)后不由得莞爾一笑。他說(shuō):“科學(xué)是以簡(jiǎn)單的方式去理解困難事物,而詩(shī)則是將簡(jiǎn)單事物用無(wú)法理解的方式去表達(dá),兩者是不相容的?!?/section>海森堡與狄拉克個(gè)性迥異。海森堡喜歡社交,在晚會(huì)上經(jīng)常與女孩子跳舞,狄拉克靜坐旁觀后,問(wèn)海森堡為何這么喜歡跳舞。海森堡說(shuō):“和好女孩跳舞是件很愉快的事啊!”狄拉克聽(tīng)后沉思無(wú)語(yǔ),好幾分鐘之后冒出一句似乎與量子力學(xué)之“測(cè)量”以及“不確定性關(guān)系”有點(diǎn)關(guān)聯(lián)的話:“在未測(cè)試時(shí),你如何能判定她是不是好女孩呢?”![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/01/1718/180641002_3_20200117061230581)
圖2. 狄拉克和海森堡 狄拉克不僅言稀語(yǔ)少,文不染塵,性情品格也是超脫不群,幾乎是一位獨(dú)一無(wú)二的“純潔”科學(xué)家!當(dāng)他獲知自己贏得了1933年的諾貝爾物理獎(jiǎng)時(shí),對(duì)盧瑟福說(shuō),他不想出名,想拒絕這個(gè)獎(jiǎng)。盧瑟福對(duì)他說(shuō):你如果拒絕了,更會(huì)出名,別人會(huì)不停地來(lái)麻煩你。聽(tīng)了盧瑟福的話,狄拉克才欣然前往,在領(lǐng)獎(jiǎng)典禮上作了一個(gè)“電子和正電子理論”的報(bào)告。據(jù)說(shuō),英國(guó)皇室曾經(jīng)冊(cè)封狄拉克為騎士,可是狄拉克卻拒絕了,只因?yàn)樗幌胱屪约好旨由弦粋€(gè)前冠。狄拉克是一個(gè)純粹的真正學(xué)者型人物,玻爾曾說(shuō):“在所有物理學(xué)家中,狄拉克擁有最純潔的靈魂?!彼瞬徽f(shuō)廢話之外,物質(zhì)生活上也極為簡(jiǎn)單,不喝酒、不抽煙、只喝水,別無(wú)他求。其它方面的興趣也很少。最大的業(yè)余興趣就是“散步” [2]。狄拉克在散步中,散出了若干項(xiàng)成果,有數(shù)學(xué)的、物理的、工程的。即使就在量子力學(xué)范圍內(nèi),也有方程、有符號(hào)、有預(yù)言,可謂不勝枚舉。下面我們不按時(shí)間順序,先介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的。狄拉克函數(shù) 學(xué)物理和工程的,大凡沒(méi)有不知道狄拉克δ函數(shù)的。如圖3所示, δ函數(shù)最為簡(jiǎn)單直觀的定義,是被如下兩點(diǎn)特性表述:- 零點(diǎn)為無(wú)窮大,其它都是零的實(shí)數(shù)變量函數(shù);
- 整個(gè)函數(shù)在實(shí)數(shù)軸上積分為1。
如將δ函數(shù)用在許多具體運(yùn)算上,你會(huì)覺(jué)得它十分地好用,甚至?xí)械椒浅5孛烂?,讓你真切地體會(huì)到狄拉克本人無(wú)比欣賞的“數(shù)學(xué)之美”!舉一個(gè)狄拉克名言,以說(shuō)明他對(duì)數(shù)學(xué)美的極端追求。在1963年《美國(guó)科學(xué)人》的一篇文章中,他寫出如此超凡脫俗的話:“使一個(gè)方程具有美感比使它去符合實(shí)驗(yàn)更重要!”![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/01/1718/180641002_4_20200117061230706)
圖3. 狄拉克δ函數(shù) 狄拉克是在發(fā)展量子力學(xué)的過(guò)程中使用狄拉克δ函數(shù)的。狄拉克形式地將泊松括號(hào)拆開(kāi),創(chuàng)造了表示量子態(tài)的著名的左矢<|、右矢|>、等“狄拉克符號(hào)”,并以此發(fā)展出一個(gè)漂亮的量子力學(xué)符號(hào)運(yùn)算體系,最終導(dǎo)致馮·諾伊曼(von Neumann)提出用抽象的希爾伯特向量空間來(lái)構(gòu)建量子理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。事實(shí)上,狄拉克并不是第一個(gè)想到類似的δ函數(shù),早在1827年,柯西就首次明確地寫過(guò)一個(gè)“無(wú)限高的單位脈沖函數(shù)”。狄拉克是為了更為方便地讓人們使用希爾伯特向量空間中的線性算子,將空間中的向量表示成特征向量的線性組合。在他的《量子力學(xué)原理》一書中,第一次正式將δ函數(shù)寫成如今的形式。因此,后來(lái)大家就稱其為狄拉克δ函數(shù)。也許只有像狄拉克這樣集物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、工程師于一身的人,才有膽量創(chuàng)造出來(lái)如此美妙的“函數(shù)”,以至于大大驚動(dòng)了做數(shù)學(xué)的人們,不想承認(rèn)這個(gè)不符合經(jīng)典函數(shù)理論的怪異函數(shù)!不過(guò),最終,δ函數(shù)在物理和工程中被眾人喜愛(ài)且被廣為應(yīng)用,成為科學(xué)家和工程師們處理不連續(xù)情形時(shí)最強(qiáng)有力的工具。這時(shí)候,數(shù)學(xué)家們才來(lái)緊跟著忙乎了一陣子,就此而讓它嚴(yán)格化,使它成為了最早定義的“廣義函數(shù)”,并由此也幫助了數(shù)學(xué)家們,啟迪了泛函分析這個(gè)函數(shù)論發(fā)展中的重要分支。這個(gè)事實(shí)再一次證明了:物理學(xué)家“離經(jīng)叛道”發(fā)明的數(shù)學(xué)工具,往往能夠出其不意地推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。據(jù)狄拉克自己聲稱,大學(xué)時(shí)代接受的工程教育對(duì)他的研究工作影響深遠(yuǎn),使他明白了做科學(xué)研究時(shí)要“容許近似”。近似的理論照樣表現(xiàn)出驚人的“數(shù)學(xué)美”,狄拉克-δ函數(shù)即為一例。狄拉克方程 1933年,狄拉克與薛定諤分享諾貝爾物理獎(jiǎng),因?yàn)樗麄兌紴榱孔恿W(xué)建立了方程:狄拉克方程和薛定諤方程。 薛定諤一開(kāi)始,是想搞一個(gè)相對(duì)論性的方程(即后來(lái)的克萊因—高登方程),但他沒(méi)成功。不過(guò)薛定諤很聰明,退而求其次,根據(jù)牛頓力學(xué)中能量-動(dòng)量的關(guān)系,首先弄了個(gè)非相對(duì)論的方程,這就是著名的薛定諤方程。薛定諤方程在低能非相對(duì)論的條件下,居然還出奇地好用,解決了微觀世界的許多物理難題。最終解決粒子的相對(duì)論性波動(dòng)方程問(wèn)題的是狄拉克。狄拉克方程又一次表現(xiàn)出這位天才學(xué)者追求的數(shù)學(xué)美,他將粒子的自旋內(nèi)涵,自動(dòng)地包括在方程中!狄拉克想,如果從相對(duì)論經(jīng)典粒子應(yīng)該滿足的能量動(dòng)量關(guān)系式出發(fā):P2c2 + m2c4 = E2 將E和P換成量子力學(xué)中的微分算符的話,便得到下面方程:![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/01/1718/180641002_5_20200117061230753) 這就是克萊因-戈登方程,但人們發(fā)現(xiàn)它實(shí)用價(jià)值不大,還會(huì)導(dǎo)致解釋不通的負(fù)幾率和負(fù)能量問(wèn)題。這是為什么呢?狄拉克敏銳地感覺(jué)到,問(wèn)題出在時(shí)間的二階微分上。狄拉克異想天開(kāi):為什么不將微分算符進(jìn)行一個(gè)開(kāi)方運(yùn)算呢? 狄拉克還真就這么“形式的”做了,于是便得到了著名的狄拉克方程:![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/01/1718/180641002_6_20200117061230800) 狄拉克方程的優(yōu)越性是將相對(duì)論和電子自旋自動(dòng)地隱含其中。
狄拉克海 狄拉克對(duì)量子理論的貢獻(xiàn)可說(shuō)是無(wú)與倫比。他在1925-1927年所做的一系列工作為量子力學(xué)、量子場(chǎng)論、量子電動(dòng)力學(xué),及粒子物理奠定了基礎(chǔ)。 狄拉克喜歡單獨(dú)一人玩數(shù)學(xué),擺弄方程式,量子力學(xué)在他神奇的手里玩來(lái)玩去,最終被極為美妙地?cái)?shù)學(xué)化、形式化。他將眾物理學(xué)家們養(yǎng)大的這個(gè)“量子妖精”,用邏輯清晰,簡(jiǎn)潔而奇妙的數(shù)學(xué)理論,裝扮成了一個(gè)清純美麗的天使。狄拉克在1928年,發(fā)表了他的相對(duì)論性電子運(yùn)動(dòng)方程,即上面介紹的狄拉克方程,實(shí)現(xiàn)了量子力學(xué)和相對(duì)論的第一次綜合。這個(gè)方程不會(huì)像克萊因-戈登方程那樣,導(dǎo)致負(fù)數(shù)幾率的出現(xiàn),并且與電子快速運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)符合得很好,得到物理學(xué)界的認(rèn)可。狄拉克方程中,將旋量的概念引進(jìn)量子力學(xué),之前一年,泡利也曾經(jīng)用“旋量”來(lái)解釋電子的自旋,但狄拉克通過(guò)狄拉克方程,更系統(tǒng)、更美妙地描述了電子這一個(gè)極其重要的內(nèi)秉性質(zhì),充分體現(xiàn)出量子理論的“數(shù)學(xué)美”。不過(guò)當(dāng)時(shí),狄拉克方程的解中,仍然有一個(gè)結(jié)果令狄拉克困惑。這點(diǎn)和克萊因-戈登方程一樣,會(huì)導(dǎo)致電子可以具有“負(fù)能量”狀態(tài)的荒謬結(jié)論。因?yàn)槿绻嬖谶@種狀態(tài)的話,所有的電子便都可以通過(guò)輻射光子向真空中這個(gè)最低能態(tài)躍遷,這樣一來(lái),整個(gè)世界應(yīng)該在很短的時(shí)間內(nèi)毀滅。為了克服這一困難,狄拉克發(fā)揮了他天才的想象能力,他想象我們世界所謂的“真空”,已經(jīng)被所有具有負(fù)能量的電子填滿了,只是偶爾出現(xiàn)一、兩個(gè)“空穴”。因?yàn)樽畹湍芰繎B(tài)已經(jīng)填滿了,電子便不可能躍遷,由此而避免了世界毀滅的結(jié)論。他給這個(gè)被負(fù)能量電子填滿了的真空,取名叫做狄拉克海(Dirac sea)。狄拉克海中偶爾出現(xiàn)的“空穴”泡泡又是什么呢?狄拉克說(shuō),那些空穴應(yīng)該在所有方面,都具有和負(fù)能量的電子相反的性質(zhì),那就是說(shuō):一個(gè)“空穴”,應(yīng)該是一個(gè)電荷為正,能量為正的粒子。如果我們世界中的正能量電子,碰到這樣的“空穴”,就會(huì)輻射光子而向這個(gè)偶然出現(xiàn)的負(fù)能量躍遷,最后結(jié)果是電子沒(méi)有了,空穴也沒(méi)有了,它們的能量轉(zhuǎn)換成了光子的能量。說(shuō)到這兒,很多讀者都想到了,這就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的:電子碰到正電子時(shí),發(fā)生的“湮滅”現(xiàn)象,而“空穴”就是物理學(xué)家們后來(lái)稱之為正電子的東西。當(dāng)時(shí)的狄拉克,也許只是為了追求他的理論的數(shù)學(xué)美,而作出的能自圓其說(shuō)的美麗假設(shè)??蓻](méi)想到,在1932年,從美國(guó)加州理工學(xué)院傳來(lái)一條令人吃驚的消息:卡爾·戴維·安德森(Carl David Anderson)在研究宇宙射線的云室里,發(fā)現(xiàn)了一種與狄拉克假設(shè)的“空穴”一模一樣的新粒子-正電子!這是人類第一次發(fā)現(xiàn)的反物質(zhì),狄拉克的負(fù)能量電子海假設(shè),預(yù)言了正電子,啟迪人們對(duì)其他反物質(zhì)的設(shè)想,也導(dǎo)致科學(xué)家們對(duì)真空的重新思考。狄拉克海與反粒子預(yù)言是現(xiàn)代理論物理最高成就之一,這項(xiàng)成果來(lái)自于數(shù)學(xué)的力量,來(lái)自于狄拉克追求的數(shù)學(xué)美。1970年,將近70歲的狄拉克受聘來(lái)到美國(guó)弗羅里達(dá)州立大學(xué),14年后,他長(zhǎng)眠于弗羅里達(dá),留下他畢生追求的數(shù)學(xué)美照耀人間。
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