記得很小的時(shí)候，特別喜歡用手把臉盆里的水?dāng)嚦梢粋€(gè)漩渦，然后看著漩渦的速度慢慢降下來(lái)，直到整個(gè)臉盤(pán)里的水趨于平靜。彼時(shí)，只會(huì)玩泥巴的小編只能看著這種有趣的現(xiàn)象一邊傻笑，一邊因?yàn)椴恍⌒陌阉疄⒃诘厣隙粙寢屪崞ü?。直到多年以后，在《流體力學(xué)》的課本上結(jié)識(shí)了粘性，小編開(kāi)始理解生活中許多習(xí)以為常的流動(dòng)現(xiàn)象，也認(rèn)識(shí)到原來(lái)粘性如此重要…

粘性的表象

“粘”，是古漢語(yǔ)規(guī)范字“黏”的通俗字形式，意為橡膠或糨糊一樣的性質(zhì)。而英文中viscosity一詞，則是來(lái)源于一種植物的拉丁文名稱“viscum”，也就是槲寄生，其漿果具有黏稠的特性。

VISCUM  ▲

在流體力學(xué)術(shù)語(yǔ)中，粘性指的是流體抗拒變形的能力。粘性越大，其抗拒外界剪切力作用的能力越強(qiáng)，比如攪動(dòng)杯子里的水輕而易舉，但攪動(dòng)糨糊或者糖漿則有些費(fèi)力。

對(duì)剪應(yīng)力毫無(wú)抵抗的流體被稱為理想流體或者無(wú)粘流體。不過(guò)，只有在極低溫度下的超流體才會(huì)呈現(xiàn)無(wú)粘的屬性，而我們常見(jiàn)的液體或者氣體都是有一定粘度的。具有極高粘度的流體則在一定程度接近固體屬性，比如常溫下的瀝青。

粘性的機(jī)理

我們都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，粘稠的液體加熱后，通常粘度會(huì)降低。比如公園里做“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)糖”的老大爺，通常要把糖漿加熱到一定的溫度，才能流暢的做出各種造型。再比如在寒冷的冬季，車(chē)輛在啟動(dòng)的一段時(shí)間內(nèi)感覺(jué)到動(dòng)力有一定的下降，換擋也不如平日那么順滑，也主要是由于發(fā)動(dòng)機(jī)、變速箱等動(dòng)力部件內(nèi)的潤(rùn)滑油粘度增加而引起。

大部分液體的粘性都會(huì)隨溫度上升而降低，但氣體卻恰恰相反——通常而言，氣體的粘度隨溫度升高而增大。而液體和氣體之所以有如此大的差異，是因?yàn)樗鼈儺a(chǎn)生粘性的機(jī)理不同。

下圖對(duì)比了固體、液體和氣體的分子排列示意圖，可以看出來(lái)，固體分子排列緊密且有序，分子之間被分子力牢牢控制而難以發(fā)生隨意的運(yùn)動(dòng)。液體分子則不會(huì)保持固定的形狀，但它們?nèi)匀恢旅芘帕?，就像游?lè)場(chǎng)里的海洋球，因此，液體的分子之間仍具有一定的分子力，而這也是液體粘性的主要來(lái)源。

液體分子由于分子力的存在而產(chǎn)生了相互的“糾纏”。而所有的分子或者原子都在自身附近做無(wú)規(guī)則的振動(dòng)，當(dāng)液體溫度升高時(shí)，這種振動(dòng)加強(qiáng)導(dǎo)致分子之間的“糾纏”變得松松垮垮，因而液體的粘度降低。事實(shí)上，局部振動(dòng)也會(huì)引起液體粘度降低，比如陷入泥潭的動(dòng)物越掙扎下沉的越快。

而氣體分子排列稀疏，分子之間相去甚遠(yuǎn)，分子力不再是動(dòng)量傳輸?shù)闹鲗?dǎo)，而分子間的相互碰撞則成為粘性的來(lái)源——比如上層分子運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，也源源不斷到下層串門(mén)，把鄰居家也攪得雞飛狗跳，帶來(lái)動(dòng)量的交換。而氣體溫度升高時(shí)，這種“串門(mén)”就更加頻繁和劇烈，下層也愈發(fā)雞犬不寧，粘度自然增大。

當(dāng)然，液體內(nèi)部也會(huì)存在類(lèi)似于氣體一樣由于“串門(mén)”產(chǎn)生的動(dòng)量交換，不過(guò)相比于液體的分子力而言還很小，不足以主導(dǎo)粘性變化。

粘性的科學(xué)表達(dá)

正如前面所說(shuō)，人們很早便感受到了流體具有“粘”的屬性，但是如何從科學(xué)上表達(dá)流體的粘性成為了一個(gè)新的問(wèn)題。作為世界物理學(xué)界金字塔尖的男人，牛頓幾乎霸屏了整個(gè)中學(xué)物理課本，當(dāng)然也沒(méi)有放過(guò)流體。1686年，牛頓經(jīng)過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)研究，提出了著名的“內(nèi)摩擦定律”——流體的內(nèi)摩擦力（即粘性力）的大小與流體的性質(zhì)（粘性系數(shù)μ）有關(guān)，并與流體的速度梯度和接觸面積成正比。

自牛頓之后，粘性系數(shù)成為描述流體屬性的一個(gè)重要參數(shù)，人們可以直觀的感受到，粘性大的流體不容易流動(dòng)，而粘性小的流體很容易動(dòng)起來(lái)，但是如何用流體力學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述粘性與流動(dòng)的關(guān)系成為了一個(gè)問(wèn)題。

距離“牛頓內(nèi)摩擦定律”大約兩百年之后，還在原來(lái)的地方，另一位著名的英國(guó)物理學(xué)家雷諾通過(guò)經(jīng)典的流體染色實(shí)驗(yàn)揭示了流動(dòng)與粘性的關(guān)系：相同的速度、密度和流動(dòng)尺度條件下，粘度更低的流體更容易趨向于某種混亂的、彎曲的流動(dòng)，也就是我們后來(lái)熟知的湍流。又過(guò)了20多年，著名的物理學(xué)家索末菲在第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上第一次明確以“雷諾數(shù)”命名了流體力學(xué)中最重要的無(wú)量綱數(shù)，而粘性系數(shù)便是雷諾數(shù)中不可替代的分母。

粘性與湍流

隨著雷諾實(shí)驗(yàn)和雷諾數(shù)被提出來(lái)以后，近代流體力學(xué)，尤其是湍流理論的發(fā)展出現(xiàn)了一個(gè)前所未有的盛況，而粘性與湍流的關(guān)系也順理成章的轉(zhuǎn)化成了雷諾數(shù)和湍流的關(guān)系。1974年刊登于《流體力學(xué)》期刊中的一篇經(jīng)典文章，通過(guò)流動(dòng)顯示技術(shù)生動(dòng)形象的描繪了雷諾數(shù)和流態(tài)的關(guān)系：隨著雷諾數(shù)的增大，渦旋的整體形狀和尺度基本一致，然而射流摻混的渦系結(jié)構(gòu)卻越來(lái)越豐富。

而之所以會(huì)出現(xiàn)上圖中的有趣現(xiàn)象，則要牽扯到湍流的生成、傳遞及耗散：湍流中的大渦會(huì)破碎為小渦，小渦再破碎為更小的“迷你渦”，然后逐漸耗散，這個(gè)過(guò)程與當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)相關(guān)。當(dāng)“迷你渦”變得足夠小時(shí)，根據(jù)角動(dòng)量守恒，渦的角速度將會(huì)非常大，意味著局部速度剪切很強(qiáng)，粘性就變得舉足輕重了，于是，“迷你渦”就這樣被粘性耗散掉了。事實(shí)上，渦的尺度足夠小時(shí)，體現(xiàn)為當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)非常小，粘性力對(duì)流體的影響則顯著大于慣性力。

在給定特征長(zhǎng)度（大渦尺度）和特征速度（湍流脈動(dòng)速度）的條件下，流體的粘性幾乎決定了耗散渦的大小，即湍動(dòng)能在什么樣的尺度上耗散。大渦的形態(tài)取決于幾何尺度，當(dāng)雷諾數(shù)足夠高且?guī)缀纬叨炔蛔兊那闆r下，增大雷諾數(shù)并不會(huì)改變大渦的形態(tài)，但是小渦的尺度取決于湍流雷諾數(shù)，雷諾數(shù)越高的流動(dòng)需要越小的渦尺度才能完成耗散，因此雷諾數(shù)越高的流動(dòng)，其大渦到小渦的覆蓋尺度越復(fù)雜。

粘性與流體力學(xué)

雖然早在1686年，牛頓就通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得了流體的粘性，可是，當(dāng)我們攜帶著粘性回歸到流體力學(xué)的時(shí)候，還是會(huì)發(fā)現(xiàn)由于粘性的存在，使得實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)的研究變得非常復(fù)雜。為了便于理論分析和公式的推導(dǎo)，物理學(xué)家們?cè)诹黧w力學(xué)中引進(jìn)了“理想流體”的概念。

理想流體當(dāng)然是假想的，不過(guò)研究無(wú)粘流體的運(yùn)動(dòng)，可以使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，容易得到流體流動(dòng)的基本規(guī)律。1755年，數(shù)學(xué)家歐拉將微分方程應(yīng)用到了流體力學(xué)的領(lǐng)域，并提出了影響后世的歐拉方程，即牛頓第二定律施加到理想流體上的微分方程。

歐拉提出歐拉方程后不久，人們就認(rèn)識(shí)到方程中缺乏粘性項(xiàng)，這會(huì)導(dǎo)致歐拉方程的計(jì)算結(jié)果和實(shí)際產(chǎn)生偏差，比如大家熟知的達(dá)朗貝爾佯謬。下圖顯示了理想流體和實(shí)際流體下圓柱繞流的對(duì)比，可以看出，無(wú)粘流動(dòng)的結(jié)果和實(shí)際存在很大的差異。因此，如何在流動(dòng)方程中添加粘性項(xiàng)成為了跨越百年的流體力學(xué)難題。

后來(lái)的我們都知道了《流體力學(xué)的“白月光”》的故事，直到1845年，結(jié)合納維對(duì)粘度的思考和柯西的張量思維，斯托克斯爵士便大展神威，推出了引無(wú)數(shù)流體人盡折腰的“N-S方程”，該方程定義為“描述粘性不可壓縮流體動(dòng)量守恒的運(yùn)動(dòng)方程”。迄今為止，該方程仍然是流體力學(xué)領(lǐng)域里最通用的流體運(yùn)動(dòng)方程。

值得一提的是，對(duì)某些粘性影響不大的流動(dòng)問(wèn)題，忽略粘性所得到的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果往往差別不大。而對(duì)于高雷諾數(shù)的湍流，在主流中使用歐拉方程，而在粘性影響較大的邊界層中使用邊界層方程或者經(jīng)驗(yàn)公式，也能得到不錯(cuò)的結(jié)果。

物理粘性之外的粘性

粘性是流體流動(dòng)的穩(wěn)定器所言非虛。而CFDer都知道，對(duì)于數(shù)值計(jì)算而言，粘性也至關(guān)重要。不過(guò)在傳統(tǒng)CFD算法中，除了物理粘性之外，還有湍流粘性和數(shù)值粘性兩個(gè)妖魔鬼怪。

湍流粘性來(lái)源于雷諾平均的N-S方程，下式中多出來(lái)的脈動(dòng)應(yīng)力項(xiàng)，稱之為雷諾應(yīng)力。1877年Boussinesq借助于牛頓切應(yīng)力公式，提出了影響深遠(yuǎn)的渦粘性假設(shè)：雷諾應(yīng)力正比于時(shí)均速度梯度，其中比例系數(shù)μt表征了湍流脈動(dòng)引起的切應(yīng)力效應(yīng)，稱為渦粘性系數(shù)。

湍流粘性雖然是人為定義的，但是也具有相對(duì)清晰的物理含義：由于湍流的“上躥下跳”，給不同速度的流體帶來(lái)更多的動(dòng)量交換，類(lèi)似于物理粘性對(duì)流動(dòng)帶來(lái)的影響。當(dāng)然，湍流粘性的更大意義在于，CFDer們逃脫了直接求解NS方程的魔咒，轉(zhuǎn)而走向CFD的工程實(shí)用化。

而數(shù)值粘性則完全是從微分方程離散到差分方程的過(guò)程中產(chǎn)生的誤差。從數(shù)學(xué)推導(dǎo)而言，相比于原始的微分方程，從差分方程導(dǎo)出的修正方程中有多余的項(xiàng)。其中二階項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)常規(guī)N-S方程中二階項(xiàng)的系數(shù)，類(lèi)似于方程中的物理粘性，因此被稱為數(shù)值粘性。

數(shù)值粘性實(shí)際上是來(lái)源于空間離散的步長(zhǎng)是一個(gè)有限的小量（而不是無(wú)限?。?，這引起了物理變量在這個(gè)小范圍內(nèi)的平均，其效應(yīng)相當(dāng)于擴(kuò)散，并帶來(lái)了額外的動(dòng)能耗散，也即是粘性。

不同于湍流粘性有相應(yīng)的物理含義，數(shù)值粘性則由對(duì)方程的離散處理而來(lái)。增加數(shù)值粘性對(duì)流場(chǎng)的影響，本質(zhì)上和增大物理粘性類(lèi)似，比如使分離區(qū)減弱、激波變寬抹平等，本質(zhì)上改變了整個(gè)流場(chǎng)的熵。而從雷諾數(shù)的角度理解，增大數(shù)值粘性意味著減小了有效雷諾數(shù)，從而改變了流態(tài)。

從網(wǎng)格離散的那一刻起，數(shù)值粘性便隱含在離散方程的迭代中，降低了解的精度。不過(guò)數(shù)值粘性也常常有利于收斂，堪稱CFD的穩(wěn)定器。而在許多CFD的應(yīng)用中，數(shù)值方法中隱含的數(shù)值粘性還不夠，求解容易發(fā)散，因此人們還會(huì)顯性添加更多的數(shù)值粘性。在《計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》的書(shū)中，作者建議道：對(duì)于那些必須使用人工粘性的問(wèn)題，審慎的運(yùn)用大概率都能獲取合理的、有時(shí)甚至相當(dāng)精確的解。但重要的是，你必須知道自己在做什么。

粘性作為流體的穩(wěn)定器，多年以來(lái)讓CFDer們又愛(ài)又恨。而給自己的程序中添加粘性時(shí)，我們仿佛化身食堂打菜的大媽?zhuān)恳ㄆ鹨簧卓傄滩蛔《度?，生怕加的多了。不過(guò)望著窗外可憐的快要發(fā)散的小眼神，又忍不住糾結(jié)起來(lái)。