本文描述大渦模擬（Large Eddy Simulation，LES）應(yīng)用的局限性。

為理解混合RANS/LES模型存在的原因，必須先了解大渦模擬(LES)的局限性。在過去的幾十年中，LES一直是使用最為廣泛的SRS模型。LES模型基于只解析大尺度湍流和模型化小尺度湍流的概念。LES 的經(jīng)典動機(jī)是：大尺度取決于流動問題且難以模化，而小尺度變得越來越普遍及各向同性，可以更容易地被?；?/p>

LES 在有限空間區(qū)域（通常是網(wǎng)格體積）上對Navier-Stokes方程進(jìn)行過濾，旨在僅解析大于過濾器寬度的湍流部分，而對小于過濾器的湍流結(jié)構(gòu)進(jìn)行?；幚恚ㄍǔ２捎煤唵蔚臏u粘模型進(jìn)行模化處理）。

LES中的過濾操作定義為：

式中，為空間過濾器。

Navier-Stokes 方程在過濾后會得到以下形式（忽略密度脈動）：

過濾操作使得方程具有額外的應(yīng)力項：

盡管推導(dǎo)過程中存在差異，但額外的亞格子應(yīng)力張量通常與RANS中使用的渦流粘度模型相同：

這種模擬方法的重要實際意義在于，如果在兩種情況下都使用渦粘模型，則RANS和LES的動量方程是相同的。換句話說，Navier-Stokes方程對起推導(dǎo)一無所知。它們從湍流模型中得到的唯一信息是渦粘水平。根據(jù)這一點(diǎn)，方程將在RAN或LES模式(或某些中間模式)下運(yùn)行。過濾后的Navier-Stokes方程與RANS方程具有一致的形式是混合RANS/LES湍流模型的基礎(chǔ)。顯然只需切換模型(和數(shù)值)即可將它們引入到同一組動量方程中。

經(jīng)典的大渦模擬模型Smagorinsky(1963)模型的形式：

式中，為網(wǎng)格間距；為應(yīng)變率標(biāo)量； 為常數(shù)。這顯然是一個相當(dāng)簡單的公式，表面LES模型無法提供最小尺度的高精度表示。從實際應(yīng)用的角度來看，可能也并不需要非常詳細(xì)的建模。LES更合適的目標(biāo)不是模擬未解析尺度渦對已解析尺度渦的影響，而是模擬最小解析尺度渦的耗散。這可以從下圖中看出，該圖顯示了衰減各向同性湍流的湍流能譜。 為湍流能量，其為波數(shù)  的函數(shù)。小  值表示大渦流，大值表示小渦流。湍流在湍流譜中從小波數(shù)向高波數(shù)移動。在完全解析的湍流模擬（直接數(shù)值模擬，DNS）中，湍流通過粘度在最小的尺度上耗散為熱量。耗散量通過下式計算：

式中，為非常小的運(yùn)動分子粘度。由于最小尺度的速度梯度很大，耗散仍然是有限值的。

然而，LES計算通常是在太粗而無法解析最小尺度的數(shù)值網(wǎng)格上執(zhí)行的。在當(dāng)前的例子中，大渦模擬的截止極限(分辨率極限)在k=10左右。大渦模擬中最小分辨尺度的速度梯度比DNS極限下的速度梯度要小得多，因此分子粘度不足以提供正確的耗散水平。在這種情況下，適當(dāng)?shù)暮纳⒘靠梢酝ㄟ^增加渦粘度來實現(xiàn)：

渦粘度通過在LES網(wǎng)格極限下提供正確的耗散量來校準(zhǔn)?？梢栽谙聢D中看到效果，圖中展示的是在沒有LES模型和使用不同的LES模型的情況下執(zhí)行DIT情況的LES。當(dāng) LES 模型被激活時能量被耗散，模式為所有分辨率的尺度提供了一個敏感的譜。換句話說，LES 并未模擬未解析的小尺度湍流對較大的已解析尺度的影響，而是將湍流耗散為熱量（耗散的能量相對于流體的熱能通常非常小，除了高馬赫數(shù)流動外通常不必考慮。）

這一討論表明，LES是一種相當(dāng)簡單的技術(shù)，其并不能提供可靠的建模骨架，即便是更復(fù)雜的LES模型(如Dynamic Models)也是如此。動態(tài)渦粘LES模型(見Guerts 2004)的設(shè)計目的是根據(jù)較大尺度(通常是過濾器寬度的兩倍)的流動條件來估計網(wǎng)格極限下所需的耗散水平，從而減少對模型校準(zhǔn)的需要。然而，這樣的模型也只能為能量耗散提供合適的渦粘度水平。因此在 LES 框架內(nèi)，必須在空間和時間上求解工程師感興趣和相關(guān)的所有流動特征和影響，這使得 LES 成為一項非常耗費(fèi) CPU 的技術(shù)。

更苛刻的是將 LES 應(yīng)用于工程流動中的典型的壁面有界流。大渦的湍流長度尺度 可以表示為：

其中，為壁面距離；為常數(shù)。換句話說，即使是（局部）最大的尺度在壁面附近也變得非常小，并且在所有三個空間維度和時間上都需要高分辨率。

對  的線性相關(guān)性表明壁面附近的湍流長度尺度接近于零，因此這將需要一個無限精細(xì)的網(wǎng)格來求解湍流結(jié)構(gòu)。然而實際情況并非如此，因為分子粘度會阻止小于 Kolmogorov 極限的尺度。這體現(xiàn)在粘性或?qū)恿髯訉由希@是一個非?？拷诿娴膮^(qū)域，在該區(qū)域湍流受到抑制，并不需要求解。然而，粘性子層的厚度是流動雷諾數(shù) Re 的函數(shù)。在較高的 Re 數(shù)下，粘性子層變得越來越薄，從而允許越來越小的渦存在，而這些小渦都需要求解。

下圖顯示了壁面附近湍流結(jié)構(gòu)的草圖（如流向垂直于觀察者的通道流）。圖片的上半部分代表低 Re 數(shù)，下半部分代表較高 Re 數(shù)的情況?；疑虮硎緝蓚€不同 Re 數(shù)條件下的粘性子層。粘性子層內(nèi)的結(jié)構(gòu)如灰色框內(nèi)的圓圈所示?，F(xiàn)實中并不存在粘性阻尼，只有粘性子層之外（即灰色框上方）的結(jié)構(gòu)需要解析。由于高 Re 情況下粘性子層的厚度減小，因此需要更大的分辨率來解析所有激活的尺度。壁面解析LES 對于中到高雷諾數(shù)來說計算開銷非常大，這是 LES 不適合大多數(shù)工程流動的主要原因。

對于下圖所示的簡單周期性通道流，可以估計壁面解析LES的雷諾數(shù)依賴性(x-流動方向，y-壁面法線方向，z-展向方向，H-通道高度)。

LES的典型分辨率要求為：

式中，為流向方向上的無量綱網(wǎng)格間距；為展向方向的無量綱網(wǎng)格間距；為橫跨半個通道高度的網(wǎng)格單元數(shù)量。根據(jù)定義有：

根據(jù)雷諾數(shù)的定義：

可得到三方向上網(wǎng)格數(shù)量：

對這個簡單的流體域，需要的網(wǎng)格數(shù)量如下表所示。

基于體積速度的雷諾數(shù) 比基于摩擦速度的雷諾數(shù)大10倍左右。注意基于 h=H/2。網(wǎng)格單元的數(shù)量隨著 Re 數(shù)的增加而急劇增加，即使對于非常簡單的流體流動也需要大量的計算資源。另外還需要減少時間步長以保持恒定的 CFL 數(shù)（）。

通道流的 Re 數(shù)尺度可以通過應(yīng)用壁面函數(shù)來減少，隨著 Re 數(shù)的增加，y+值不斷增加。然而，壁面函數(shù)是模型不確定性的重要來源，其會破壞模擬的整體準(zhǔn)確性。此外，RANS 模型的經(jīng)驗表明，為復(fù)雜幾何生成高質(zhì)量的壁面函數(shù)網(wǎng)格是一項非常具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。對于 LES 應(yīng)用更是如此，用戶必須控制所有三個空間維度的分辨率以符合 LES的需求。

對于外部流動，邊界層的相對厚度(如相對于翼型弦長的邊界層厚度)會產(chǎn)生額外的Re數(shù)效應(yīng)。當(dāng)雷諾數(shù)較高時，邊界層相對于物體的尺寸變得非常薄。假設(shè)每個邊界層體積的分辨率不變，Spalart(1997,2000)在最有利的假設(shè)下對高雷諾數(shù)空氣動力流動的計算能力需求進(jìn)行了估計。即便如此，計算資源需求仍然過多，除了簡單的流動外，即使是對幾十年的計算能力增長進(jìn)行樂觀估計，也無法滿足這一要求。

雖然高 Re 數(shù)流的計算要求由相對薄的邊界層主導(dǎo)，但低 Re 數(shù)流動的情況通常同樣不利，因為層流-湍流轉(zhuǎn)捩效應(yīng)占主導(dǎo)地位，需要進(jìn)行求解?；谌~輪機(jī)械葉片的簡化幾何模擬(例如Michelassi，2003)，下表給出了帶有端壁的單個渦輪葉片的估計值：

考慮到透平機(jī)械公司的目標(biāo)是整機(jī)(或至少是其中的重要部分)的模擬，假設(shè)大渦模擬將成為工業(yè)CFD模擬的主要元素是不現(xiàn)實的，即使對于如此低Re數(shù)(Re~1e5)的應(yīng)用。但是，LES可以在對此類流動的組成部分(如冷卻孔或主動流動控制)的詳細(xì)分析中發(fā)揮作用。

所有這些并不意味著壁面有界流動的大渦模擬完全不可行，只是這種模擬的成本很高。下圖顯示了在NACA 0012翼型周圍使用Wale模型的大渦模擬所采用的計算網(wǎng)格。使用該方向的周期性邊界條件，計算區(qū)域在展向方向上被限制在翼型弦長的5%范圍內(nèi)。在雷諾數(shù)Re=1.1e6時，估計了5%的跨度范圍是允許湍流結(jié)構(gòu)在不被周期邊界條件同步的情況下發(fā)展的最小區(qū)域尺寸。這一估計是基于前置RANS計算得到的后緣邊界層厚度。該邊界層厚度約為2%弦長。網(wǎng)格在展向方向上有 80 個網(wǎng)格，總共有 11e6 個網(wǎng)格。在不可壓縮模式下使用 Fluent 以 a=7.3° 的攻角進(jìn)行模擬。弦長設(shè)置為 c=0.23 [m]，自由流速度 U=71.3 [m/s]，流體為標(biāo)準(zhǔn)條件下的空氣。時間步長設(shè)置為 Dt= 1.5×10-6 [s]，在邊界層內(nèi)給出 CFL~0.8 的 Courant 數(shù)。

下圖顯示了前緣 (a) 和后緣 (b) 附近的湍流結(jié)構(gòu)。在前緣附近，可以清楚地看到層流-湍流轉(zhuǎn)捩，其是由層流分離氣泡觸發(fā)的。在后緣附近，湍流結(jié)構(gòu)已經(jīng)相對較大，但在展向方向上仍然顯得不同步(沒有軸向在展向方向上的大尺度二維結(jié)構(gòu))。

在開始平均化過程之前，大約模擬了1e4個時間步。下圖(a)顯示了翼型吸力側(cè)的壁面壓力系數(shù)Cp和圖(b)壁面剪切應(yīng)力系數(shù)Cf與使用SST模型的RANS計算(Menter，1994)的比較。這里不打算詳細(xì)討論模擬過程，但將壁面剪且應(yīng)力與校準(zhǔn)好的RANS模型進(jìn)行比較表明，網(wǎng)格的分辨率仍然不足以捕捉近壁面細(xì)節(jié)。因此在前緣區(qū)與SST模型相比，壁面剪應(yīng)力被明顯低估了約30%。隨著尾緣的接近，對比效果改善，這主要是因為邊界層厚度增加，而壁面剪且應(yīng)力減小，這意味著大渦模擬獲得了更高的相對分辨率。基于此模擬，估計需要在流向和展向兩個方向上將網(wǎng)格細(xì)化2倍，才能再現(xiàn)正確的壁面剪應(yīng)力。雖然這樣的分辨率并不超出現(xiàn)有計算機(jī)的能力范圍，但對于日常模擬來說，它的計算開銷仍然太高了。

總體而言，在可預(yù)見的將來，工業(yè)流動的LES將被限制在對不涉及壁面邊界層的流動模擬上，或在強(qiáng)烈減少的幾何形狀中的壁面邊界流動，優(yōu)先在低Re數(shù)下。傳統(tǒng)LES方法的局限性是混合RANS-LES模型發(fā)展的驅(qū)動力。