1956年，物理學(xué)家約翰-凱利（John Larry Kelly），在《貝爾技術(shù)期刊》上，發(fā)了一篇題為“信息比例新解（A New Interpretation Of Information Rate）”的論文。

在這篇論文中，凱利提出了一個(gè)如何處理信息傳輸中信號(hào)和噪音的公式，這就是后來大名鼎鼎的“凱利公式(Kelly Formula)”：

其中：

f為信號(hào)發(fā)射端每次發(fā)送信號(hào)占總信息量的比率；

p為接收端接受到有效信號(hào)占總信息量的比率；

q為接收端接收到噪音信號(hào)占總信息量的比率，q=1-p；

b為特定介質(zhì)在信息傳輸過程中的信噪比（信號(hào)與噪聲的比值）。

這篇論文，看上去科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)又高大上，但實(shí)際上完全不是那么回事兒——

因?yàn)?，這個(gè)公式是凱利在研究一個(gè)賭博游戲時(shí)琢磨出來的。

當(dāng)時(shí)有一檔電視答題節(jié)目正在熱播，名叫《64000美元的問題》，因?yàn)楣?jié)目火爆，就有人賭哪位選手能獲勝。賭徒們能夠提前獲取一部分選手的信息，但這些信息有限而且可能有誤，賭徒需要在不完全信息下進(jìn)行下注。

凱利了解到這個(gè)賭局之后，就開始琢磨，如何利用有限的信息來參與賭博，才能在保證永遠(yuǎn)不輸完的情況下，實(shí)現(xiàn)“利潤最大化”？

經(jīng)過反復(fù)的推導(dǎo)，凱利總結(jié)出來了如下公式：

其中的f，為計(jì)算出來的賭金最優(yōu)投資比例，b 為賠率，即期望盈利/預(yù)計(jì)虧損，p 為成功概率，q 為失敗概率即 1-p。

舉個(gè)例子，假設(shè)一個(gè)拋硬幣猜正反的簡(jiǎn)單賭局，每局賭注1元，猜中了得2元，猜錯(cuò)了輸?shù)?元，也就是賠率b=2，勝率p=0.5，帶入公式后算得f=0.25——也就是說，在這樣一個(gè)簡(jiǎn)單拋硬幣賭局中，如果能夠無限次重復(fù)，每次投入所持有本金的25%，可以在永遠(yuǎn)不輸光本金的前提下實(shí)現(xiàn)收益的最大化。

從這個(gè)公式里可以得出來兩個(gè)推論：

1）除非勝率是100%，否則任何賭局都不能all in；

2）f為正值的賭局才值得參與，f為0或負(fù)值的游戲，重復(fù)參與的人必輸無疑。

別人的一個(gè)賭博游戲，凱利能總結(jié)出如此簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)公式，由此可見凱利之聰明。凱利此人不僅長得帥，聰明，還特別有趣。在加入貝爾實(shí)驗(yàn)室之前，他是美國海軍的飛行員，加入貝爾實(shí)驗(yàn)室之后，他還加入了槍械俱樂部，又和妻子組隊(duì)打橋牌錦標(biāo)賽，還給敞篷車裝上彈射座椅……

不過，在當(dāng)時(shí)的貝爾實(shí)驗(yàn)室：

凱利的帥，只能排第二位；

凱利的聰明，也只能排第二位；

凱利的有趣好玩，還是只能排第二位。

以上三項(xiàng)，都穩(wěn)排在第一位的那個(gè)家伙，叫香農(nóng)（Claude Elwood Shannon）。

很多人可能沒聽說過這個(gè)人。但其實(shí)，香農(nóng)是當(dāng)代信息論的開山鼻祖。他的碩士論文以及后來發(fā)表在《貝爾技術(shù)期刊》上的兩篇論文，確立了當(dāng)代通信編碼的基本原理，他用數(shù)學(xué)公式來描述通信定理，為信息論和數(shù)字通信奠定了基礎(chǔ)。正是沿著他的思路，才有了今天的互聯(lián)網(wǎng)世界。

某種程度上說，現(xiàn)在的我們，能夠在互聯(lián)網(wǎng)上自由地即時(shí)聊天、打電話、聽音樂、看電影等等，其實(shí)都應(yīng)該感謝他。

話說凱利總結(jié)出這個(gè)公式后，就拿給香農(nóng)看，香農(nóng)建議他寫成文章。起初，題目是“信息理論與賭博”，但貝爾實(shí)驗(yàn)室的東家AT&T擔(dān)心，大眾可能認(rèn)為實(shí)驗(yàn)室在拿著研究資金搞非法賭博，所以在發(fā)表時(shí)名字特意改成了“信息比新解”。

凱利公式發(fā)表后，一直沒有激起什么特別的浪花，直到被一個(gè)叫愛德華-索普（Edward O.Thorp）的家伙給看到。

索普這人，從小就是個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算神童，28歲就在著名的麻省理工學(xué)院當(dāng)了數(shù)學(xué)講師。但他從小就喜歡研究賭博，一直想要找到一種方式，通過大量的數(shù)據(jù)計(jì)算，來預(yù)測(cè)輪盤賭中彈珠最后的大致位置。

1960年，索普大致完成了自己的猜想，他想將論文發(fā)表在美國科學(xué)院院刊上，但這個(gè)刊物規(guī)定，必須由科學(xué)院院士推薦或署名才行。于是，索普就找到了當(dāng)時(shí)麻省理工唯一的國家科學(xué)院院士——香農(nóng)。

香農(nóng)一直都是個(gè)老頑童，索普的這種主意很快就打動(dòng)了他，他同意推薦論文發(fā)表，然后，按照索普的理論，兩個(gè)人一起制造了一個(gè)簡(jiǎn)易的計(jì)算器，到各個(gè)輪盤賭上去小試身手。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，因?yàn)楦鞣N計(jì)算誤差，賭博成果一直都差強(qiáng)人意。

這個(gè)時(shí)候，香農(nóng)忽然想起來凱利公式，就把這篇論文，推薦給了索普，索普一眼就看了出來，這個(gè)公式可以應(yīng)用到當(dāng)時(shí)各大賭場(chǎng)盛行的21點(diǎn)賭博游戲中——該游戲由2到6個(gè)人玩，使用除大小王之外的52張撲克牌，游戲者的目標(biāo)，是使手中的牌的點(diǎn)數(shù)之和不超過21點(diǎn)且盡量大。

為了驗(yàn)證凱利公式和“數(shù)牌法”在實(shí)際中的效果，索普于是約了一個(gè)專業(yè)賭徒，拿著1萬美元的本錢，到附近的兩個(gè)小賭場(chǎng)里小試身手，結(jié)果，僅一個(gè)周末里，就狂賺1.1萬美元。

確認(rèn)策略有效后，索普聯(lián)合香農(nóng)，設(shè)計(jì)了史上第一個(gè)便攜式“計(jì)算器”。接下來，一旦沒錢花了或者手癢難耐的時(shí)候，索普就和香農(nóng)及夫人在周末坐上飛機(jī)，飛往拉斯維加斯，在賭場(chǎng)里大玩21點(diǎn)，掙一大把錢后走人。

由于索普在賭場(chǎng)中屢屢獲勝，不久就被各大賭場(chǎng)列為“不受歡迎的人”。為了能繼續(xù)贏下去，索普使用了化妝術(shù)，后來干脆雇傭別人代替他本人去賭博，但賭場(chǎng)也越來越警惕。

索普的名聲在賭博業(yè)里傳開了，很多人都想學(xué)這種方法。索普干脆從挖金子改行賣鏟子，于是在1962年寫了一本書： 《戰(zhàn)勝莊家：21點(diǎn)中的獲勝策略》（Beatthe Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One），詳細(xì)披露了自己是如何在賭場(chǎng)中賺錢的。

這本書迅速登上紐約時(shí)報(bào)暢銷書排行榜，銷量高達(dá)70萬冊(cè)，比索普本人化妝去辛苦賭博掙錢多多了，這也證明了一個(gè)真理：賣鏟子比挖金子賺錢。

那我們來看，索普到底是怎么在21點(diǎn)的賭博中掙錢的呢？

其實(shí)很簡(jiǎn)單，記牌！

因?yàn)?1點(diǎn)是撲克牌游戲，而每一副牌中某花色或點(diǎn)數(shù)的總量是一定的，每一輪賭博過后，發(fā)牌員手中的牌數(shù)就會(huì)減少。通過記下已經(jīng)出現(xiàn)的牌，索普就能計(jì)算發(fā)牌員手中有什么樣的牌，然后根據(jù)這些牌的花色、點(diǎn)數(shù)估算出現(xiàn)不同情況的概率，進(jìn)而用凱利公式來計(jì)算下注比例。形勢(shì)有利的時(shí)候就下大賭注，形勢(shì)不利的時(shí)候就下小賭注。

那個(gè)時(shí)代賭場(chǎng)也很“笨”，一般只用1-2副牌，而且發(fā)牌員常常將牌發(fā)完之后才洗牌，導(dǎo)致記牌并非難事。索普公布了自己的辦法之后，賭場(chǎng)就學(xué)精了，每次用6-8副牌，而且發(fā)牌不到1/3就重新洗牌，而且禁止攜帶電腦和數(shù)牌的電子設(shè)備進(jìn)場(chǎng)，基本就堵上了這個(gè)漏洞。

索普的書暢銷了之后，凱利公式開始變得世人皆知，甚至有人稱之為“財(cái)富公式”。

到了1969年，一個(gè)年輕的紐約證券經(jīng)紀(jì)人里根找到了索普，希望和索普一起成立一個(gè)對(duì)沖基金，將索普的理念和方法完全商業(yè)化。索普可以繼續(xù)做他的研究，并作為基金經(jīng)理下交易指令，而里根幫助他做產(chǎn)品銷售，客戶維護(hù)，完成交易執(zhí)行以及其他所有的瑣事。

從1969年成立，到1988年因訴訟而意外停業(yè)，索普的基金20年年化收益率19.1%。雖然在投資大師里貌似不算驚人，但如果你查看該基金凈值會(huì)發(fā)現(xiàn)，近20年的跨度下，該基金居然沒有一年虧損，共計(jì)230個(gè)月，只有3個(gè)月有回撤，且回撤幅度全部小于1%——這，大概是有史以來“最完美的投資曲線”。

實(shí)際上，索普的基金，是美國第一支完全的中性策略基金，僅基于數(shù)學(xué)計(jì)算的概率和市場(chǎng)的定價(jià)失誤進(jìn)行投資，即使在1987年的美股暴跌中，索普的基金也基本保持穩(wěn)定，到年末，甚至還賺了大錢。

隨著參與到華爾街的“大賭博”中來，索普見了許多投資界人士，其中有一個(gè)，叫巴菲特。那個(gè)時(shí)候他還不是股神，但兩人交流之后惺惺相惜，索普甚至預(yù)言，巴菲特會(huì)成為美國最富有的人。多年之后的巴菲特，的確實(shí)現(xiàn)了索普的預(yù)言。

索普認(rèn)為，巴菲特是真正的投資大師，所以他把自己相當(dāng)一部分財(cái)富，入股了巴菲特的公司，成為巴菲特的早期股東之一，這些股份一直持有到現(xiàn)在。

1994年，索普重新成立了一家對(duì)沖基金，這個(gè)基金業(yè)績更好，可惜到2002年他也主動(dòng)解散——外部原因來說，是對(duì)沖基金數(shù)量激增，交易機(jī)會(huì)減少，但更重要的原因，是索普對(duì)賺錢的興趣降低了，他覺得和家人在一起，才是更好的時(shí)光。

索普對(duì)名聲也并不在意，后來震動(dòng)了整個(gè)投資界Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，其實(shí)索普自己早已推導(dǎo)出來，但他的選擇是自己默默掙錢。后來，這個(gè)公式的兩位作者布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes），還特意在論文里感謝索普的貢獻(xiàn)。

索普對(duì)此很平靜：“我從未考慮過我的榮譽(yù)，因?yàn)槲也皇菑氖陆?jīng)濟(jì)學(xué)和金融行業(yè)研究的人，這個(gè)問題附帶的重大意義并不在我的思考范圍。”

相比于索普研究的個(gè)人化和隱私化，BS期權(quán)定價(jià)模型讓每個(gè)投資者都可以預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格，它的提出徹底顛覆了以往的金融運(yùn)行體系，華爾街的量化投資時(shí)代正式到來了。到了后來，麻省理工教授羅伯特-默頓（Robert Merton）采用隨機(jī)微積分將公式進(jìn)一步完善，他和斯科爾斯共同獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

所以，某種程度上說，索普是當(dāng)今所有量化投資的鼻祖。

實(shí)際上，當(dāng)前金融市場(chǎng)上叱咤風(fēng)云的知名對(duì)沖基金經(jīng)理，幾乎都在使用凱利公式進(jìn)行投資，這其中包括比爾-格羅斯（Bill Gross，債券投資之王）、詹姆斯-西蒙斯（James Simons，文藝復(fù)興公司名譽(yù)主席、世界級(jí)的數(shù)學(xué)家）和投機(jī)之王喬治-索羅斯（George Soros）等人。

特別值得一提的是，索普不再做對(duì)沖基金后，偶爾會(huì)做一些基金管理咨詢的事情，結(jié)果他就發(fā)現(xiàn)，伯納德-麥道夫的證券投資公司大有問題，勸朋友把錢撤出來。果不其然，2008年的時(shí)候，這一美國歷史上最大的“龐氏騙局”被揭露，詐騙金額超過600億美元。

索普寫了一本自傳《A Man For All Markets》，這里的All Markets，意思是，他涉及了幾乎所有的交易市場(chǎng)，從賭場(chǎng)到華爾街，OTC期權(quán)、可轉(zhuǎn)債、股票、期貨等……

另外，如今在美國量化對(duì)沖基金領(lǐng)域鼎鼎大名的TGS基金，據(jù)說就是索普的三個(gè)徒弟一起創(chuàng)辦的，而TGS中的“T”，就是Thorp的名字。