之所以說凱利公式是對學(xué)渣最友好的公式有兩點(diǎn)原因： 第二：讓人保持「清醒」，這個(gè)「清醒」含義有很多。 為了低調(diào)的靠賭博賺錢，比爾·巴特放棄了香港賽馬的 1 億元頭獎(jiǎng)，此后依靠自己搭建的預(yù)測系統(tǒng)在博彩界收割「莊家」，全球業(yè)務(wù)累計(jì)賺取 10 億美金，可謂是真正的「悶聲發(fā)大財(cái)」。在比爾·巴特的預(yù)測系統(tǒng)中，如果只有 MLR 模型是顯然不夠的，必須有一個(gè)安全機(jī)制來理性地阻止“貪婪的欲望”。在 2004 年國際華人數(shù)學(xué)家大會(huì)上（ICCM）比爾非?？犊馗蠹曳窒砹怂€馬的模型，其中提到了一個(gè)至關(guān)重要一點(diǎn)就是凱里公式?？梢哉f，如果沒有此公式，比爾就無法獲得如此高的收益率。約翰·拉里·凱利（John larry Kelly 1923-1965）1923 年出生于美國德克薩斯州，在第二次世界大戰(zhàn)中加入美國海軍當(dāng)了一名飛行員。
退役后，進(jìn)入得克薩斯州奧斯汀分校念物理學(xué)。1953年獲得物理學(xué)博士學(xué)位，畢業(yè)后去了號稱諾獎(jiǎng)批發(fā)部的貝爾實(shí)驗(yàn)室工作。在貝爾實(shí)驗(yàn)室中，他認(rèn)識了好友兼同事，著名信息論創(chuàng)始人的克勞德·香農(nóng)。1956年凱利受到香農(nóng)信息論的啟發(fā)，在內(nèi)部期刊《貝爾技術(shù)系統(tǒng)期刊》中發(fā)表了一篇名為《對信息傳輸速率的新解釋》的論文。然而這并不是論文原來的標(biāo)題，原標(biāo)題更有意思，叫《信息論與賭博》。因?yàn)楣靖邔佑X得這樣的標(biāo)題有損公司道德形象，才被迫他換了一個(gè)新名字。但凱利的初衷確實(shí)是以一個(gè)棒球比賽的賭徒視角，去思考如何合理押注才能讓資產(chǎn)得到最大指數(shù)的增長。雖然標(biāo)題不嚴(yán)肅，但論文的證明過程卻相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)。后來，香農(nóng)指導(dǎo)另一個(gè)數(shù)學(xué)大神應(yīng)用凱利的研究，吊打拉斯維加斯的各個(gè)賭場。這個(gè)數(shù)學(xué)大神就是愛德華·索普。愛德華·索普，一個(gè)數(shù)學(xué)怪才，作為加州大學(xué)洛杉磯分校的物理系研究生，卻對輪盤游戲念念不忘。他一直認(rèn)為根據(jù)小球的投入角度和運(yùn)動(dòng)軌跡可以預(yù)測小球的落點(diǎn)，所以他想設(shè)計(jì)一個(gè)基于變量計(jì)算的輪盤預(yù)測系統(tǒng)。
但現(xiàn)實(shí)條件卻制止了他，由于手上的輪盤模型太簡單，又恰巧馬上要畢業(yè)了論文還沒寫完，于是對輪盤的研究就停止了。畢業(yè)后，索普對輪盤念念不忘，于是動(dòng)身去了拉斯維加斯。出發(fā)前，他在《美國統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)會(huì)刊》上讀到了一篇關(guān)于如何贏得 「21 點(diǎn)」游戲的論文。此時(shí)，索普覺得 21點(diǎn) 這個(gè)看似比輪盤更有意思，自己也有必要嘗試驗(yàn)證一下這個(gè)論文里的內(nèi)容。于是，索普應(yīng)用論文中的理論去了賭場，可結(jié)果輸?shù)煤軕K。于是索普開始自己研究「21點(diǎn)」游戲，不久也原創(chuàng)了自己的一套理論，基于此理論寫了一篇論文叫《21點(diǎn)的常勝策略》。為了順利發(fā)表論文，他求助了香農(nóng)，而香農(nóng)不但同意幫助索普發(fā)表論文，還建議他把題目改成《21點(diǎn)的有利策略》，他表示：「科學(xué)院的那些人都很傳統(tǒng)，所以，要低調(diào)?！?/section>但論文有個(gè)不完善的地方，因?yàn)橹皇撬伎肌?1點(diǎn)」游戲本身的策略，卻沒有涉及到如何在游戲過程中如何下注的問題。這時(shí)巧合來了，香農(nóng)告訴他之前有個(gè)叫約翰·凱利的同事早就研究完了。兩個(gè)數(shù)學(xué)大神的思想碰撞在了一起，一個(gè)研究怎么「贏得多」，一個(gè)研究怎么「輸?shù)蒙佟埂?/section>于是索普利用凱利公式，對「21點(diǎn)」游戲進(jìn)行量化計(jì)算，通俗的解釋就是：勝算大的適合多下注，勝算小的時(shí)候少下注。憑此理論，索普「血洗」拉斯維加斯各大賭場，又把所有制勝手法寫入了《戰(zhàn)勝莊家》這本書里，最終被賭場所封殺。之后索普不斷完善理論，在金融市場做量化交易，這是后話，以后單獨(dú)詳解。
那么，凱利呢？很遺憾，也許是天妒英才，凱利突發(fā)腦溢血而亡，享年41歲，他至死也沒能被大眾熟知。 但凱利公式，卻在未來慢慢的展現(xiàn)了威力，在 60 多年的發(fā)展中，凱利公式被投資界和博彩界奉為經(jīng)典。 所以，想賺錢？先拜凱利吧。 
先看公式，某度百科上寫的比較詳細(xì)，這里我用學(xué)渣都看得懂方式寫一下：
f：單次下注占本金的比例； b: 除去本金外計(jì)算的賠率； p：勝率，這次下注獲勝的幾率； q：敗率，這次下注失敗的幾率； （p q）= 1； 根據(jù)凱利公式，用這個(gè) f 比例下注，可以讓收益的復(fù)利效應(yīng)達(dá)到最大，且風(fēng)險(xiǎn)較小。 舉個(gè)例子：我能來玩投骰子游戲，投到 1、2、3 （小）你贏，投到 4、5、6（大）我贏，每次游戲下注 10 元。你贏了你拿走 30 元，你輸了就沒有錢拿。 分析，你投到小的情況如下： 勝率 p= 0.5； 敗率 q= 0.5； 賠率 b=（30-10）/ 10= 20/10 = 2； 如果你有 100 元錢，根據(jù)公式： f= [（2*0.5）-0.5] /2 = 25%也就是說，在這種勝率下，你可以投 25 元錢試試手氣，最合理。如果你手氣好到極點(diǎn)，連贏 20 局后，根據(jù)公式投注的話，收入是這樣的：看著一個(gè)復(fù)利效應(yīng)的收益曲線，誰能不激動(dòng)。
但凡你的手氣平衡一點(diǎn)，現(xiàn)實(shí)的殘酷就迎面而來：現(xiàn)實(shí)還能更殘酷，莊家可能不會(huì)給你這么高的賠率，如果換個(gè)賠率：你贏了你拿走 20 元，你輸了就沒有錢拿。這樣還好玩嗎？賠率 b=（20-10）/ 10= 10/10 = 1； f= [（1*0.5）-0.5 ] /2 = ？？？此時(shí)，數(shù)學(xué)勸你，這游戲碰都別碰。如果你對凱利公式感興趣，想用程序?qū)崿F(xiàn)以下，可以參考以下代碼：
 代碼來源：http://www./?p=664
事實(shí)上，凱利公式只是讓你在最小風(fēng)險(xiǎn)下，來合理分配投資比例。但如果只依靠凱利公式是完全不可行的。 第一：在游戲中，你的數(shù)學(xué)期望必須為正值。也就是說，這個(gè)游戲需要從數(shù)學(xué)的角度來判斷是否值得參與。第二：單次下注的勝率和賠率必須是固定的，但是勝率從獨(dú)立事件上看是不可靠的，我們需要進(jìn)行足夠的游戲次數(shù)才能判斷勝率是否在統(tǒng)計(jì)學(xué)上是固定的。如果只是單次或幾次，玩游戲的話，除了相信運(yùn)氣，其他什么都別信了。比爾·巴特之所以可以贏錢，是因?yàn)樗ㄙM(fèi)很大精力財(cái)力搭建的預(yù)測系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)之前也提到過，凱利公式在系統(tǒng)中提供減少投資風(fēng)險(xiǎn)的作用，而自定義的 MLR 模型其實(shí)就是保證自己賽馬的勝率是較高的，才使得賽馬在數(shù)學(xué)期望上值得玩。所以凱利公式讓我們認(rèn)清一個(gè)道理，想賺錢的話，如果你沒有好運(yùn)氣，就需要有好腦子學(xué)數(shù)學(xué) 。
《普林斯頓概率論讀本》 第三部 “普林斯頓” 系列讀本 [美]史蒂文·J.米勒（Steven J. Miller） | 著
本書講解概率論的基礎(chǔ)內(nèi)容, 包括組合分析、概率論公理、條件概率、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、期望的性質(zhì)、極限定理和模擬等, 內(nèi)容豐富, 通俗易懂, 并配有豐富的例子和大量習(xí)題, 涉及物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、遺傳學(xué)、博弈論、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多方面的應(yīng)用，極具啟發(fā)性。
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