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投資工具介紹(2)——凱利公式

 redwineczy 2017-07-31


多年前,美國一位數(shù)學(xué)家愛德華·索普,拿著粉絲資助的1萬美金,來到賭城拉斯維加斯。索普先生出手不凡,屢戰(zhàn)屢勝,不多久就引起賭場老板的“關(guān)注”。但這并沒有影響事態(tài)的發(fā)展,索普先生愈戰(zhàn)愈勇,1萬美金很快翻了幾番,幾個賭場遭到不同程度的“血洗”。索普先生因此遭到賭場老板的封殺,以后要想過一把賭癮,還要喬裝打扮,潛入賭場。


為了不影響自己的“賭興”,索普先生把目光轉(zhuǎn)移到更大的賭場——華爾街。在這里,他把用在賭場上的理論發(fā)揚(yáng)光大,創(chuàng)立了全新的量化投資策略,并成立了第一支量化對沖基金。在上個世紀(jì)70、80年代,索普的量化對沖基金連續(xù)11年獲得了超過兩位數(shù)的回報。索普先生也被稱為“量化投資之父”。


索普先生的投資理論博大精深,非我吃瓜群眾能用一言半語解釋清楚的。今天我只拿當(dāng)年索普先生去賭場時用的一個小工具——凱利公式為主題,談?wù)勝€博和投資。


講凱利公式之前,咱們先熱熱身,算幾個賭博的小例子。


例1:參與概率對自己有利的游戲


假設(shè)有人要和你賭博,猜從某個學(xué)校校門里出來的是男生還是女生,猜錯輸?shù)糍€注,猜對贏得對方賭注。你如果知道這個學(xué)校的男女比例是2:1,那么這就是一個概率對你有利的游戲,你的策略應(yīng)該是每次都猜男生。如果初始資金是100塊錢,每次都下注資金的50%,咱們現(xiàn)在模擬一下各種情況下最終的資金情況。



從表中可以看出,每次都下注50%的資金,參與了3次,贏了2次,最終的資金是一樣,和輸贏出現(xiàn)的順序無關(guān)??梢酝茰y,如果參與了300次,贏了200次,無論這200次盈利是以怎樣的順序?qū)崿F(xiàn),最終的結(jié)果都是一樣的。


例2:參與賠率對自己有利的游戲


如果有人和你玩猜硬幣的游戲,你如果猜錯了,會輸?shù)糍€注;如果猜對了,除了返還賭注外,還會再額外贏得2倍賭注(1賠3)。如果猜對和猜錯的概率各是50%的話,這是一個賠率對你有利的游戲,你也應(yīng)該持續(xù)參與。你有100元,每次投入資金的80%,現(xiàn)在也模擬一下各種情況下的最終資金:



咦?怎么回事?不管是先贏再輸,還是先輸再贏,結(jié)果都是錢越賭越少了!再這么持續(xù)下去,來個10來輪,就剩個零頭了。說好的賠率對自己有利,要持續(xù)參與呢?


其實(shí),在賭博中能否獲勝,不僅跟概率和賠率有關(guān),還跟每次下注的比例有關(guān)。下注比例不合適,即使獲勝的概率大,賠率對自己有利,也不見得能獲勝。凱利公式就是專門用來解決賭博時每次下注比例的工具。


凱利公式在賭博中的應(yīng)用


凱利先生等了這么久,終于該到了閃亮登場的時候了。凱利是美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的物理學(xué)家,他通過研究信息論,發(fā)現(xiàn)賭徒可以在知道勝率和賠率的情況下,確定最優(yōu)的下注比例,從而使自己的長期復(fù)合收益最大化。凱利1956年發(fā)表了一篇論文,把這個方法發(fā)表了出來。


這里需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),凱利先生雖然發(fā)明了凱利公式,但他卻對賭博興趣不大。而數(shù)學(xué)家索普看到這個論文后欣喜若狂,他把這個公式發(fā)揚(yáng)光大,在賭場和華爾街賺的盆滿缽滿,成就了自己量化投資之父的地位。


凱利公式有幾種形式,其中的一種如下:


f=p/a-q/b


其中:f表示分配的資金比例

p表示獲勝的概率

q表示失敗的概率

a表示失敗損失率,指失敗后押注的資金從1變成1-a

b表示獲勝增長率,指獲勝后押注的資金從1變成1+b


如果f算出來是0,表示這是一個期望收益為0的游戲,最優(yōu)決策是不參加。


如果f算出來是負(fù)數(shù),表示這是一個期望收益為負(fù)的游戲,更是不能參加了。


如果f算出來是小于1的正數(shù),就應(yīng)該按照這個比例下注;如果是個大于1的數(shù),最優(yōu)的決策是需要借錢來參與這個游戲。


對于例1來說,我們把數(shù)字代入進(jìn)去:


p=2/3,q=1/3,a=1,b=1,計(jì)算出f=1/3


我們把例1重算一下,利用凱利公式,每次投入資金的1/3,結(jié)果如下表所示


可以看出,每次下注1/3,比每次下注50%最終的收益要高。


對于例2來說,我們把數(shù)字代入進(jìn)去:


p=0.5,q=0.5,a=1,b=2,計(jì)算出f=0.25


現(xiàn)在把例2重新計(jì)算一次,用的是凱利公式,每次押注25%的本金



可以看出,每次下注25%的資金,最終的收益不但遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于下注80%,而且實(shí)現(xiàn)了正收益??磥?,賭徒即使發(fā)現(xiàn)一個期望收益為正的游戲,如果不知道凱利公式而胡亂下注,最終也很有可能是虧損的。


大家如果感興趣可以自己算一下,用任何其他只要不是凱利公式算出來的比例,最終的收益一定低于用凱利公式算出來的比例。


賭徒不可怕,就怕賭徒有文化啊。


凱利公式在投資中的應(yīng)用


賭博和投資在很多方面都是有相通之處的。有時想一想,我們做的投資決策,如果成功的概率不是100%,何嘗又不是一種賭博呢?


舉例來說,某只在美國上市的中概股,原本價格是50,突然宣布要私有化退市了,私有化價格為110。消息公布后,股票價格漲到100。這時,你通過對大量的信息進(jìn)行分析后,得出如下的判斷:最終成功私有化退市的概率為80%,不成功的概率為20%。


那么問題來了:應(yīng)該參與這次的私有化退市套利嗎?如果參加,資金投入的比例應(yīng)該是多少?


可以看出,如果私有化成功,獲利會是10%;如果失敗,虧損會是50%。這時用凱利公式代入各項(xiàng)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算:


p=0.8,q=0.2,a=0.5,b=0.1,算出f=-0.4


由于f是負(fù)數(shù),所以我們不應(yīng)該買入這樣的股票,甚至應(yīng)該做空這只股票。


但如果成功的概率是90%,失敗的概率是10%的話。此時p=0.9,q=0.1,a=0.5,b=0.1,算出f=0.8


這時應(yīng)該投入80%的資金參與私有化套利。(并不是全部資金的80%,而是計(jì)劃參與私有化套利資金的80%)


看到這里,凱利公式就基本介紹完了。大家看完后千萬不要太激動,認(rèn)為自己學(xué)會了凱利公式就可以在投資中所向披靡了。投資的世界實(shí)在是太復(fù)雜,遠(yuǎn)不是一個凱利公式就能解決所有問題的。但是,通過凱利公式,我們還是能夠得到一定的啟發(fā),那就是:


1. 只參與期望收益為正的游戲,期望收益為零或者為負(fù)的游戲堅(jiān)決不碰;


2. 利用數(shù)學(xué)工具用量化的手段來幫助我們做投資,與憑感覺做投資相比,更具有優(yōu)勢。


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