女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

數(shù)學(xué)家已經(jīng)確定，恰好有17個平面對稱群，即所謂的“墻紙圖案”。多篇數(shù)學(xué)纖維藝術(shù)論文描述了這些圖案的子集，這些圖案適合于使用針織和十字繡等基于網(wǎng)格的媒介進(jìn)行紡織品設(shè)計。本文對現(xiàn)有的這些圖案庫進(jìn)行了擴展，包括基于方向的變化和四重旋轉(zhuǎn)。特別地，我們列舉了可以使用格子平移和其他格子對稱的組合從正方形拼塊生成的所有平面格子對稱。這項工作具有超越數(shù)學(xué)的應(yīng)用，因為我們還為針織和纖維藝術(shù)設(shè)計者提供了一個有用的圖案制作工具；我們介紹了使用Python/Process和OpenSCAD創(chuàng)建的對稱生成器軟件，該軟件提供了一種方法，可以將平面晶格對稱設(shè)計導(dǎo)出為手工編織圖案或物理穿孔卡片，用于針織機中。

動機

Laura Taalman擁有一臺穿孔卡片驅(qū)動的針織機。作為一名計算設(shè)計師，她想創(chuàng)造一種工具，允許輸入一塊黑白像素，從中可以生成墻紙圖案，作為針織機的穿孔卡片。作為數(shù)學(xué)家，我們希望直觀地生成所有可能的基于對稱的穿孔卡片圖案，以便針織品設(shè)計師能夠選擇最吸引人的圖案來制作穿孔卡片。

為了解決這個問題，我們在用Python/Processing編程時使用了一個離散的正方形格子來創(chuàng)建多功能對稱生成器[7]，這將證明對教育工作者、學(xué)生、對稱和設(shè)計的愛好者以及針織品、十字繡的設(shè)計師是有用的。對稱生成器是一個交互式數(shù)字界面，它僅使用方形圖塊圖像和單位轉(zhuǎn)換來使每個潛在的墻紙對稱服從冗余和編程約束。我們發(fā)現(xiàn)其中七種對稱有多種設(shè)計變體。對稱生成器中的大量模式和切換使用戶能夠在更深的層次上進(jìn)一步研究對稱，并使軟件作為教學(xué)和研究工具有用。

本文的第二部分描述了由于我們在對稱生成器中使用正方形拼塊而產(chǎn)生的對可能的墻紙設(shè)計的限制。第三部分包括一個定理，該定理列舉了使用具有格子設(shè)計和某些平移約束的正方形拼塊的所有可用墻紙設(shè)計。結(jié)論部分總結(jié)了這些結(jié)果并指出未來的工作。

方形拼塊墻紙設(shè)計允許的對稱

令人驚訝的是，由平面的平移和反射產(chǎn)生的平面對稱群只有17個；見[3，1，4]?；谌~子圖案的這些群組的例子顯示在圖1中。在本文中，我們將用它們的IUC符號來指代對稱性，同時也在圖1和圖4中給出了相應(yīng)的軌道符號[1]。

圖1：使用葉子生成的17個墻紙圖案，用IUC和軌道符號表示。修飾語h/v表示水平和垂直版本；修飾語A/B表示其他變體；修飾語RT/FT表示需要有內(nèi)部對稱的拼塊。

為了生成平面圖案，我們的對稱生成器從一般的正方形輸入起始拼塊開始，應(yīng)用正方形二面體群D4的對稱性來填充2×2的拼塊陣列，然后通過水平和垂直平移兩個拼塊長度的倍數(shù)來密鋪平面。正方形輸入圖塊是墻紙模式的基本領(lǐng)域。我們將生成模式的平移單元定義為通過水平和垂直平移可以密鋪平面的最小區(qū)域。

使用對稱生成器創(chuàng)建的陣列必須具有跨越1×1、1×2、2×1或2×2密鋪長度的平移單位。有了這些約束，并考慮到[5]中的單元結(jié)構(gòu)圖，我們可以創(chuàng)建一個與設(shè)計相關(guān)的變體的基本集，覆蓋17個墻紙圖案中的9個；請參閱定理1的第一部分。在未來的工作中，我們可能會擴展我們的算法，以考慮更長和更小的平移，這可能會產(chǎn)生進(jìn)一步的設(shè)計變體。

讀者會注意到，圖1中顯示的最后五個圖案每個都有一個三階或六階對稱點。在假設(shè)任何合理的基礎(chǔ)網(wǎng)格的情況下，潛在的墻紙對稱集從17個減少到12個，因為需要60°旋轉(zhuǎn)的對稱固有地將網(wǎng)格點移動√3的合理倍數(shù)，參見[6]。這在我們的對稱生成器中排除了墻紙對稱p3、p3m1、p31m、p6和p6m。

圖1中所示的三個墻紙圖案p4、p4m和p4g需要90?旋轉(zhuǎn)才能在平面上等距，這意味著為了在對稱生成器中包含這樣的設(shè)計，我們必須假設(shè)起始拼塊是正方形的。這解釋了我們決定將正方形圖像輸入到對稱生成器中，并意味著我們選擇忽略大多數(shù)編織針跡不具有與其寬度相同的高度。與之形成鮮明對比的是，戈德斯汀并沒有忽視針織針法的這一特性，這就是為什么她的藝術(shù)作品《雙針組》只描繪了九種對稱性[2]。

我們還注意到，為了僅使用起始拼塊的平移來包括圖1中的墻紙圖案p4m、p4g和cmm，對稱生成器需要具有特定內(nèi)部對稱性的特殊正方形起始拼塊。圖2顯示了這三種模式的細(xì)胞結(jié)構(gòu)圖(轉(zhuǎn)載自schatt schneider[5])；注意，在每種情況下，都有相互成45°角的對稱線。

圖2：三種墻紙對稱的正方形網(wǎng)格單元的例子。粗體顯示鏡面反射；灰色虛線顯示滑移反射；實線顯示平移單元的輪廓；小點表示居中單元格的輪廓。鉆石標(biāo)志著兩個旋轉(zhuǎn)中心；正方形標(biāo)志著四個旋轉(zhuǎn)中心。

從圖2中的單元結(jié)構(gòu)圖可以看出，如果我們從對角線上具有內(nèi)部鏡面反射的拼塊開始，圖案p4m和p4g可以由2 × 2平移單元產(chǎn)生。圖案cmm需要具有180°旋轉(zhuǎn)對稱的起始拼塊或者更大的平移單元。在對稱生成器算法中，我們被限制為最多2×2拼塊長度的平移單元，所以我們選擇前者。在圖3a中，我們展示了一個生成cmm的2 × 4平移單元；相反，我們使用圖3b所示的特殊起始拼塊，以便在對稱發(fā)生器中使用2 × 2轉(zhuǎn)換單元。

(a)以cmm對稱模式配置的2 × 4平移裝置。

(b)具有180°旋轉(zhuǎn)對稱的拼塊。

(c)以cmm對稱模式配置的2 × 2平移裝置。

圖3:我們可以使用任何拼塊來生成具有2 × 4基本單元的cmm對稱性(a)，但是如果我們使用旋轉(zhuǎn)對稱拼塊(b ),我們可以生成具有2 × 2基本單元的cmm對稱性(c)。

列舉格子設(shè)計中的墻紙圖案

出于我們的設(shè)計考慮，我們現(xiàn)在將注意力限制在基于網(wǎng)格的拼塊設(shè)計上，這些拼塊包含晶格點，可以被認(rèn)為是針織縫紉、十字繡或其他基于網(wǎng)格的紡織媒介。

給定一個細(xì)分為打孔/縫合的整數(shù)正方形網(wǎng)格的平面，我們可以考慮我們所說的網(wǎng)格平面對稱性:水平和垂直單位平移，水平和垂直反射，對角反射，水平和垂直單位滑移，以及保持網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的二階和四階旋轉(zhuǎn)。在本文的其余部分，所有的對稱將被假設(shè)為晶格對稱。

按照上一節(jié)中的術(shù)語，我們將把格平面的任何正方形子集稱為拼塊。為了機器編織的目的，拼塊的邊長應(yīng)能分開穿孔卡片的寬度或機器循環(huán)，但一般來說，拼塊可以是任何尺寸。拼塊上的正方形條件使我們能夠考慮四階旋轉(zhuǎn)，但對于不包括這種旋轉(zhuǎn)的平面圖案，可以放寬到矩形。

我們的主要定理列舉了所有可能類型的平面晶格模式，即所有可以使用晶格平移和其他晶格對稱的組合從拼塊生成的模式。這個枚舉也是使用作者的對稱生成器工具可以獲得的模式類型的計數(shù)。

在本文中，我們將只考慮一個或兩個完整拼塊寬度的平移和滑移；這足以恢復(fù)所有非三倍墻紙對稱的變化。在未來的工作中，我們可以推廣到分?jǐn)?shù)和更長的平移和滑翔長度。因此，給定任何平面點陣圖形，都有一個1 × 1、1 × 2、2 × 1或2 × 2的平移單元，通過平移覆蓋平面。

定理1。對于離散的點陣設(shè)計，正好有21個平面點陣圖形，這些點陣圖形產(chǎn)生于正方形拼塊的單位平移和對稱性；參見圖4。

a)使用晶格平移以及其他晶格對稱性的組合，可以從起始拼塊產(chǎn)生正好18個平面晶格圖案。這些圖案展示了17種經(jīng)典墻紙圖案中的9種。

b)通過考慮從具有內(nèi)部對稱性的起始拼塊構(gòu)造的2 × 2平移單元，我們可以在晶格平面中展示3個附加墻紙圖案的實例。

圖4:離散格子設(shè)計的21種可能的墻紙圖案，帶有IUC和orbfold符號。前18個模式是從鍵中的左側(cè)貼圖生成的，后兩個來自鍵中的反射對稱貼圖，最后一個來自鍵中的旋轉(zhuǎn)對稱貼圖。與圖1比較。

考慮到我們對平移單元施加的長度限制(我們將在整個定理中使用它)，正好有11種非平移對稱可以應(yīng)用于起始正方形輸入密鋪，以創(chuàng)建保留基本晶格的平面圖案：垂直和水平邊緣反射、垂直和水平邊緣滑移、垂直和水平密鋪中間滑移、密鋪角點處的兩種類型(基于位置)四次旋轉(zhuǎn)、垂直和水平密鋪邊緣中點的兩次旋轉(zhuǎn)，以及密鋪角處的兩次旋轉(zhuǎn)。在定理1的證明中，這些是我們將系統(tǒng)地考慮的對稱性，大致按照這個順序。圖中加黑的粗線表示鏡像線，粗的中灰色虛線表示滑移對稱線，小的深色輪廓的白色正方形表示四倍旋轉(zhuǎn)的點，小的深色輪廓的白色鉆石表示兩倍旋轉(zhuǎn)的點。在圖中網(wǎng)格的側(cè)面，帶有豎線的線條顯示了平移單位。

證明：

為了證明(a)，我們將通過系統(tǒng)地添加平移和其他對稱的各種組合來生成所有可能的平面圖案，直到確定整個平面。請注意，因為我們的目標(biāo)是構(gòu)建適合設(shè)計目的的完整枚舉，所以如果平面網(wǎng)格圖案在視覺上看起來不同，那么我們將區(qū)分它們，即使它們共享相同的墻紙對稱群。

作為一個普通的例子，如果我們從一個沒有內(nèi)部對稱性的拼塊開始，應(yīng)用一個拼塊寬度的水平和垂直平移，那么我們就得到了平面圖案p1。這個模式和這個證明中的所有其他命名模式都可以在圖4中找到。

案例1:邊緣反射

從一個拼塊開始，假設(shè)我們添加一個垂直的邊緣反射。這種反射迫使水平平移單位為兩個拼塊寬度(而不是一個)，并因此確定了我們的平面圖案的一個無限水平條帶；參見圖5a。

如果我們現(xiàn)在添加水平邊緣反射，我們確定平面圖案的其余部分并生成pmm，如圖5b所示?；蛘?，如果我們添加一個中間拼塊垂直下滑，我們產(chǎn)生cm-v；參見圖5c。以類似的方式，我們可以增加一個拼塊高度的垂直平移，以獲得pm-v，或者增加一個水平的拼塊中間滑移，以獲得pmg-vh。很容易檢查出在我們最初的反射中加入任何其他的滑移或旋轉(zhuǎn)是多余的或是矛盾的。

圖5:從垂直邊緣反射和其他對稱產(chǎn)生的平面圖案。

(a)一個拼塊和一個垂直邊緣鏡確定一個水平條帶。

(b)添加垂直邊緣鏡決定了圖案pmm。

(c)添加平行的中間拼塊滑行代替確定模式cm-v

如果我們改為從水平邊緣反射開始，那么可以使用類似的論證來獲得額外的平面圖案cm-h、pm-h和pmg-hv。注意，由于起始拼塊沒有被假定為具有任何內(nèi)部對稱性，所以我們通常不能具有中間拼塊反射軸，因此我們現(xiàn)在已經(jīng)窮盡了包括反射的所有情況。

情況2:邊緣滑移，無邊緣反射

我們現(xiàn)在可以假設(shè)不存在反射；假設(shè)我們從垂直邊緣滑移開始，其平移分量是一個拼塊高度。因為我們被限制為一個和兩個拼塊寬度平移，這確定了棋盤圖案中的一半平面；參見圖6a。如果我們增加一個中拼塊垂直下滑，那么我們得到平面模式pg-v；參見圖6b。如圖6c所示，添加中間拼塊水平滑移反而產(chǎn)生pgg-B。我們可以增加的所有其他非反射對稱，要么是矛盾的，誘發(fā)反射，要么是在第一種情況下出現(xiàn)的。以類似的方式，從水平單位邊緣下滑開始，我們可以得到pg-h和pgg-A圖形。

圖6:從垂直邊緣滑移和其他(非反射)對稱產(chǎn)生的平面圖案。

(a)一個拼塊和一個垂直邊緣滑移確定無限棋盤區(qū)域。

(b)增加一個中拼塊垂直下滑確定了pg-v型。

(c)增加一個中間的水平下滑代替確定圖形pgg-B。

情況3:中間拼塊滑移，沒有邊緣反射或邊緣滑移

假設(shè)我們現(xiàn)在從一個中間拼塊滑移開始，其平移分量是一個拼塊高度。這確定了圖案的無限垂直條帶，如圖7a所示。增加一個水平的中間拼塊滑行產(chǎn)生模式pgg參見圖7b。一個簡單的檢查表明，沒有其他新的對稱性可以添加到原始的中間拼塊滑移，以獲得在情況1或情況2中尚未考慮的平面圖案。

情況4：僅旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在仍然只考慮由2倍和4倍旋轉(zhuǎn)組合產(chǎn)生的圖案。假設(shè)我們從拼塊轉(zhuǎn)角處開始旋轉(zhuǎn)4倍。如果這個角在原始拼塊的右上角或左下角，那么我們立即獲得平面圖案p4-A；參見圖7c。如果4折旋轉(zhuǎn)角被放置在原始拼塊的左上角或右下角，那么我們就得到了p4-B；參見圖7d。(在這兩種情況下，“原始拼塊”都被認(rèn)為是具有“P”設(shè)計的拼塊。)

圖7:左邊兩個平面圖案產(chǎn)生于垂直的中間滑移和其他(非反射、非邊緣滑移)對稱。從四重角對稱生成的右兩個平面圖案。

(a)一個拼塊和一個垂直中部拼塊滑移確定一個無限垂直條帶。

(b)增加一個中間的水平下滑確定了圖形pgg。

(c)放置在“P”區(qū)塊的右上角的4重旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)p4-A圖案。

(d)放置在“P”區(qū)塊右下角的4重旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)p4-B圖案。

現(xiàn)在假設(shè)只有兩次旋轉(zhuǎn)，從拼塊的任意一個角開始。這僅確定在該角的另一側(cè)的另一個圖塊；參見圖8a。如果我們選擇在該點應(yīng)用一個拼塊高度的垂直平移，我們獲得平面圖案p2-v，如圖8b所示。如果我們改為應(yīng)用一個密鋪寬度的水平平移，我們得到p2-h，如圖8c所示。

圖8：由二倍角對稱性產(chǎn)生的平面圖案。

(a) 在原始 "P "拼塊的左上角進(jìn)行2倍的旋轉(zhuǎn)，可以確定多出一個拼塊。

(b) 將平移單元限制在1×2，決定了平面圖案p2-v。

(c) 將平移單元限制為2×1決定了平面圖案p2-h。

最后，假設(shè)我們在垂直拼塊邊緣的中點處進(jìn)行2倍旋轉(zhuǎn)。這確定了圖案的無限水平條帶，如圖9a所示。如果我們在水平拼塊邊緣的中點處添加2倍旋轉(zhuǎn)，則得到p2-vh，如圖9b所示。添加任何其他晶格對稱，包括密鋪寬度一的平移，要么重復(fù)以前的平面圖案，要么不一致。

為了證明(b)部分，我們只需要展示其余非三重墻紙對稱中的每一種的一個實例:p4m、p4g和cmm，正如我們在圖4中通過使用密鑰中的特殊拼塊所做的那樣。在本文中，我們不會試圖找到所有的實例，也不會使用這些特殊的拼塊對其他對稱性進(jìn)行分類。為了在正方形晶格平面內(nèi)實現(xiàn)這三種對稱，并且僅使用2 × 2平移單元，我們必須考慮具有內(nèi)部反射對角對稱或內(nèi)部2重旋轉(zhuǎn)對稱的起始拼塊。

圖9:從二重邊中點對稱生成的平面圖案。

(A)在原始“P”區(qū)塊的左邊緣中點處的2倍旋轉(zhuǎn)確定了一個更多的區(qū)塊。

(b)在底部邊緣中點增加2倍旋轉(zhuǎn)定義了平面圖案p2-vh

在圖4中，p4m對稱性是通過從反射對角線拼塊開始并將pmm圖案應(yīng)用于該拼塊而獲得的。當(dāng)與特殊反射拼塊的內(nèi)部對稱性相結(jié)合時，我們獲得了p4m中的所有對稱性，如[5]中所述。類似地，p4g對稱性可以通過將圖案pgg應(yīng)用于相同的拼塊來獲得，而cmm可以通過將圖案pmm應(yīng)用于2重旋轉(zhuǎn)起始拼塊來獲得。在未來的工作中，我們將探索這種模式類型的完整枚舉。

結(jié)論和未來工作

在本文中，我們提供了一套完整的設(shè)計變體，用于受平移單元大小約束的離散點陣設(shè)計上的墻紙圖案。在未來的工作中，我們打算寫對稱生成器的其他功能，包括它為[1，4]中列舉的雙色設(shè)計類型生成大量設(shè)計變量的特殊能力。我們也將進(jìn)一步探討穿孔卡片針織機重復(fù)所造成的設(shè)計限制。此外，我們希望將對稱生成器的功能擴展到分?jǐn)?shù)和擴展的平移單元。

參考文獻(xiàn)

[1] J. H. Conway, H. Burgiel, and C. Goodman-Strauss. The Symmetries of Things, AK Peters, 2008.

[2] S. Goldstine. “A Survey of Symmetry Samplers.” Bridges Conference Proceedings, Waterloo, Canada, July 27–31, 2017, pp. 103–110. http://archive./2017/bridges2017-103.pdf.

[3] F. Goodman. Algebra: Abstract and Concrete, 2nd ed. Prentice Hall, 2002.

[4] B. Gründbaum and G. C. Shephard. Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Co, 1987.

[5] D. Schattschneider. “The Plane Symmetry Groups: Their Recognition and Notation.” The American Mathematical Monthly, vol. 85, no. 6, 1978, pp. 439–450.

[6] M. Shepherd. “Symmetry Patterns in Cross-Stitch.” In Making Mathematics with Needlework: Ten Papers and Ten Projects, edited by s. belcastro and C. Yackel, AK Peters 2007.

[7] L. Taalman and C. Yackel, “Symmetry Generator.” Software for generating wallpaper patterns from lattice designs. For demos or copies contact taalmala@jmu.edu.

[8] Laura Taalman1 and Carolyn Yackel2, Wallpaper Patterns for Lattice Designs

最后照例放幾本扯犢子書目：

青山不改，綠水長流，在下告退。

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