1977年，當(dāng)羅伯特·錦穆爾（Robert Zimmer）前往芝加哥大學(xué)任教時，他繼續(xù)著自己在哈佛大學(xué)讀研究所時所開始的工作。他的研究包括了動力學(xué)（研究重復(fù)變換）和李理論（研究對稱性的數(shù)學(xué)領(lǐng)域）之間的關(guān)系。

作為芝加哥大學(xué)的一名數(shù)學(xué)教授，錦穆爾完善了他的研究，其中也包括遍歷理論和微分幾何，并最終在1980年代初概要了今天被稱為錦穆爾綱領(lǐng)（Zimmer program）的工作，包括了錦穆爾猜想。

自2006年起，錦穆爾開始擔(dān)任芝加哥大學(xué)校長，之后他因獲得了九位數(shù)的捐款，以及為捍衛(wèi)校園言論自由撰寫專欄文章，而登上了新聞頭條。在他把嚴(yán)肅的研究拋諸身后很久之后，他啟動的研究計劃終于得到了回報。

一年前，三位數(shù)學(xué)家解決了錦穆爾猜想，這個猜想與幾何空間呈現(xiàn)某種類型對稱的環(huán)境有關(guān)。他們的證明是近年來最大的數(shù)學(xué)成就之一。錦穆爾說：“有五年的時間，我每天晚上睡覺的時候都在思考這個問題，它讓我著迷，能看到人們解決這個問題真是太好了。“

○ 如今是芝加哥大學(xué)校長的錦穆爾，在近40年前提出了齊默猜想。| 圖片來源：University of Chicago

一般來說，一個幾何空間的維度越多，它就具有更多的對稱性。例如，比較二維平面上的圓和延伸到三維方向的球可以發(fā)現(xiàn)：相比于旋轉(zhuǎn)一個圓，旋轉(zhuǎn)一個球的方式更多。球的額外維度創(chuàng)造了額外的對稱。

錦穆爾猜想涉及到被稱為”高階晶格（higher-rank lattice）“的特殊對稱，它追問的是，幾何空間的維度是不是會限制這些對稱類型是否適用。這次證明錦穆爾猜想的作者是芝加哥大學(xué)的Aaron Brown、Sebastian Hurtado-Salazar和印第安納大學(xué)的David Fisher，他們證明，一旦低于某個特定的維度，將無法找到這種特殊的對稱。也就是說，他們證實了錦穆爾猜想。

他們的工作解決了一個長期存在的重要問題，為研究其他許多問題開辟了道路，并揭示了幾何空間一些深刻的內(nèi)在本質(zhì)。對稱是理解這種空間最基本的特性之一。這項新研究以精確的方式表明：這些對稱可以存在于一種空間，卻不能存在于另一種空間。在此之前，這一猜想的進(jìn)展已經(jīng)停滯了幾十年。

芝加哥大學(xué)的數(shù)學(xué)家Amie Wilkinson在今年初組織了一場關(guān)于這個新證明的會議。他說：“他們以相對簡單的方式攻克了這個問題?！?/span>

對稱性是小孩子在數(shù)學(xué)中最先遇到的幾何概念之一。通過動手操作，他們發(fā)現(xiàn)可以旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、四處移動形狀，最終重新得到初始時的形狀。變化中的物體保持著不變的特性，這暗示宇宙中存在深刻的秩序。

數(shù)學(xué)家有自己的正式語言來研究對稱。這種語言為他們提供了一種簡潔的方式來思考所有適用于給定幾何空間的不同對稱。例如，正方形有八種對稱——可以通過八種方式翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)來得到一個正方形。相比之下，圓可以在旋轉(zhuǎn)任意角度之后仍然是圓，它有無限的對稱性。數(shù)學(xué)家將給定幾何對象或空間的所有對稱性打包成一個“群（group）”。

群本身也是研究的對象。群通常出現(xiàn)在研究特定幾何空間的時候，但也出現(xiàn)在完全非幾何的語境中，例如，數(shù)的集合可以構(gòu)成群。錦穆爾說：“原則上，群可以作為各種事物的對稱出現(xiàn)?！?/span>

除了我們在小學(xué)學(xué)到的各種對稱，對稱還有更多奇異形式。例如，可以考慮晶格的對稱。最簡單的晶格是一個二維網(wǎng)格。在平面上，你可以把晶格向上、向下、向左、向右移動任意數(shù)量的方格，最終得到的晶格和開始時一模一樣。你也可以將晶格映射到網(wǎng)格中任意一個方格上。具有晶格的空間有無數(shù)不同的晶格對稱。

○ 二維晶格的對稱。| 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

晶格可以存在于任意維數(shù)的空間中。在三維空間，晶格可以由立方體而不是正方形構(gòu)成。在四維或更高維空間中，我們無法描繪出晶格，但工作原理是相同的，數(shù)學(xué)家可以精確地描述它。

錦穆爾猜想研究的群是那些涉及特殊的“高階”晶格的，這些晶格存在于特定的高維空間。Hurtado-Salazar說：“如果能夠看到這種奇怪的網(wǎng)格，就會發(fā)現(xiàn)它們非常美，雖然我看不見，但是我猜想那一定很好看?！?/span>

在整個20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)群不僅僅出現(xiàn)在幾何中，還出現(xiàn)在數(shù)論、邏輯和計算機(jī)科學(xué)。當(dāng)新的群被發(fā)現(xiàn)時，人們自然會問：什么樣的空間會呈現(xiàn)出這些特定的對稱集合？

有時，一些群不能應(yīng)用于一個空間是很明顯的。例如，只需要片刻就會意識到，圓的對稱群不能應(yīng)用于正方形——將一個正方形旋轉(zhuǎn)10度，不會得到初始的那個正方形。但是，一個具有無限對稱性的群和一個具有許多維度的空間的組合，會使得確定這個群是否適用于這個空間變得非常困難。錦穆爾說：“對于處于更高維度的更復(fù)雜的群，這些問題會變得復(fù)雜得多。”

當(dāng)我們想到對稱的時候，我們想象的是一個整體形狀被旋轉(zhuǎn)，比如說一個順時針旋轉(zhuǎn)90度的正方形。不過，在細(xì)微的層級，對稱實際上是關(guān)于點的移動。通過對稱來變換空間意味著，取空間中的每個點，將其移動到空間中的另一個點。在這種情況下，將一個正方形順時針旋轉(zhuǎn)90度事實上意味著：取正方形上的每個點，將其順時針旋轉(zhuǎn)90度，最終這些點出現(xiàn)在與初始位置不同的位置上。

或多或少，我們能夠以剛性的方式移動這些點。最常見的對稱變換——沿著對角線上對一個正方形做鏡像變換，或者將正方形旋轉(zhuǎn)90度——都是非常剛性的。這種變換是剛性的，因為它們不會把點打亂。在鏡像變換前是頂點的點，在變換后仍然是頂點，只不過是不同的頂點；在鏡像變換前構(gòu)成邊的點，在變換后仍然構(gòu)成邊，只不過是不同的邊罷了。

不過，對稱變換有更松散、更靈活的類型，而且這些才是錦穆爾猜想研究的對象。在這些變換中，點被更徹底地重組，在應(yīng)用變換之后，點不一定會保持先前彼此間的關(guān)系。

例如，可以將正方形上每一個點沿著周長移動三個單位——這滿足對稱變換的基本要求，只是將空間中的每一個點移動到某個新的位置。這次證明錦穆爾猜想的作者之一Aaron Brown描述了對于一個球體，這種更松散的變換會是什么樣子：“你可以將球的南北兩極向相反方向拉扯，球上的點和距離會被拉開?！?/span>

對于網(wǎng)格，不僅可以在平面上移動網(wǎng)格，還可以扭曲網(wǎng)格，或者在某些地方拉伸，在另一些地方壓縮，這樣變換后的網(wǎng)格與初始網(wǎng)格不再完美重疊。這種類型的變換不那么剛性，被稱為微分同胚（diffeomorphism）。

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