導(dǎo)語(yǔ)

我們生活在三維空間和時(shí)間編織而成的四維時(shí)空中，可是在精確的意義上，維度到底是什么？更高維度的時(shí)空意味著什么？不同維度之間是否存在難以突破的壁壘，還是有著深刻聯(lián)系？非整數(shù)維度是什么樣子？

研究領(lǐng)域：維度，分形，四維時(shí)空，高維數(shù)據(jù)
維度的概念乍一看似乎很直觀(guān)。瞥一眼窗外，我們可能會(huì)看到落在纖細(xì)的旗桿上體驗(yàn)零維空間的烏鴉，被限制在一維電話(huà)線(xiàn)上的知更鳥(niǎo)，在二維地面上自由移動(dòng)的鴿子，還有翱翔在三維空間的老鷹。

但是對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，為維度的概念找到一個(gè)明確定義實(shí)則異常困難。我們經(jīng)過(guò)數(shù)百年的思想實(shí)驗(yàn)和富有想象力的比較，才得出目前對(duì)維度概念的嚴(yán)格理解。

1. 超越三維

古人知道我們生活在三個(gè)維度中。亞里士多德[1]寫(xiě)道：“向一個(gè)方向延伸的是直線(xiàn)，兩個(gè)方向延伸的是平面，三個(gè)方向延伸的是物體。除此之外就沒(méi)有其他了，這些就是所有的維度?！?/p>

然而相比于其他人，數(shù)學(xué)家更熱衷于想象更多維度的思維訓(xùn)練：垂直于已知的三個(gè)維度的第四維度會(huì)是什么樣子？

一種流行的方法：假設(shè)我們的可知宇宙是三維空間中的二維平面。一個(gè)在平面上方的實(shí)心球?qū)ξ覀儊?lái)說(shuō)是看不見(jiàn)的。但是如果它墜落并接觸到平面，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)它繼續(xù)穿過(guò)平面時(shí)，圓盤(pán)會(huì)不斷變大，直到達(dá)到其最大尺寸，然后縮小并消失。正是通過(guò)這些橫截面，我們才能看到三維物體的形狀。

圖1：在平面上只能看到三維物體的橫截面。| 來(lái)源：Samuel Velasco/Quanta Magazine

類(lèi)似地，在我們熟悉的三維宇宙中，如果一個(gè)四維球穿過(guò)它，這個(gè)四維球會(huì)以一個(gè)點(diǎn)的形式出現(xiàn)，之后成為一個(gè)實(shí)心球，最終達(dá)到完整半徑的球，然后半徑減小并消失。這給了我們關(guān)于四維形狀的感知，但是對(duì)于這樣的物體，還有其他思考方式。

例如，讓我們嘗試通過(guò)構(gòu)建超立方體來(lái)可視化立方體的四維等價(jià)物。如果我們從一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始，可以在一個(gè)方向上拖動(dòng)它以獲得一條線(xiàn)段。之后，當(dāng)我們垂直于拖動(dòng)方向移動(dòng)線(xiàn)段時(shí)，得到一個(gè)正方形。在第三個(gè)垂直方向拖動(dòng)這個(gè)正方形會(huì)產(chǎn)生一個(gè)立方體。同樣，我們通過(guò)在第四個(gè)方向上拖動(dòng)立方體來(lái)獲得超立方體。

圖2：通過(guò)將藍(lán)色位置的圖形拖動(dòng)到紫色位置，我們可以可視化各種維度的圖形，包括超立方體。

或者，就像我們可以將立方體的面展開(kāi)為六個(gè)正方形一樣，我們可以展開(kāi)超立方體的三維邊界以獲得八個(gè)立方體，正如薩爾瓦多·達(dá)利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的畫(huà)作《受難》(Crucifixion，Corpus Hypercubus) 中所展示的那樣。

圖3：我們通過(guò)展開(kāi)正方體得到的面來(lái)想象一個(gè)立方體。我們可以通過(guò)展開(kāi)超立方體得到的立方體來(lái)想象超立方體

所有這一切構(gòu)成了對(duì)維度的直觀(guān)理解，即如果一個(gè)抽象空間有n個(gè)自由度（就像那些鳥(niǎo)一樣），或者需要n個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述一個(gè)點(diǎn)的位置，該空間就是n維的。然而，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)維度比這些簡(jiǎn)單的描述要復(fù)雜。

2. 定義維度

人們對(duì)更高維度的正式研究出現(xiàn)在19世紀(jì)，相關(guān)研究在幾十年內(nèi)變得相當(dāng)復(fù)雜：1911年的參考書(shū)目包含1832條對(duì)n維幾何的引用。也許因此，在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，公眾開(kāi)始迷戀第四維度。1884 年，埃德溫·阿博特 (Edwin Abbott) 創(chuàng)作了流行的諷刺小說(shuō)《平面國(guó)》（Flatland），小說(shuō)以二維生物遇到三維生物作為類(lèi)比，幫助讀者理解第四維度。1909 年《科學(xué)美國(guó)人》征文比賽題為“什么是第四維？” ，有245份參賽作品爭(zhēng)奪500美元的獎(jiǎng)金。許多藝術(shù)家，如巴勃羅·畢加索（Pablo Picasso）和馬塞爾·杜尚（Marcel Duchamp），將第四維的想法融入到作品中。

但在這段時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，維度缺乏正式的定義實(shí)際上是一個(gè)問(wèn)題。

喬治·康托爾 (Georg Cantor) 因發(fā)現(xiàn)無(wú)窮大有不同的勢(shì) (cardinality）而聞名[2]。起初，康托爾認(rèn)為線(xiàn)段、正方形和立方體中的點(diǎn)集必須具有不同的勢(shì)，就像一條10個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)、一個(gè)10×10的點(diǎn)網(wǎng)格和一個(gè)10×10×10的點(diǎn)立方體有不同數(shù)量的點(diǎn)。然而，在1877年，他發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段中的點(diǎn)與正方形（以及所有維度的立方體）中的點(diǎn)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這表明它們具有相同的勢(shì)。憑借直覺(jué)，他證明了盡管維度不同，線(xiàn)、正方形和立方體都具有相同數(shù)量的無(wú)窮小的點(diǎn)。康托爾寫(xiě)信給理查德·戴德金（Richard Dedekind），“我看到了，但我不相信它。”

康托爾意識(shí)到這一發(fā)現(xiàn)威脅到n維空間需要n個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述的直覺(jué)觀(guān)念，因?yàn)閚維立方體中的每個(gè)點(diǎn)都可以由一段區(qū)間中的一個(gè)數(shù)字唯一標(biāo)識(shí)。因此，從某種意義上說(shuō)，這些高維立方體相當(dāng)于一維線(xiàn)段。然而，正如戴德金指出的那樣，康托爾的函數(shù)是極不連續(xù)的——它本質(zhì)上是將一條線(xiàn)段分成無(wú)限多個(gè)部分，然后將它們重新組合成一個(gè)立方體。這不是我們所希望的坐標(biāo)系的行為。這種坐標(biāo)系太過(guò)無(wú)序，無(wú)法為我們描述物體提供幫助，就像是為曼哈頓的建筑物提供唯一地址卻隨機(jī)分配這些地址。

然后，在1890年，朱塞佩·皮亞諾 (Giuseppe Peano) 發(fā)現(xiàn)，可以將一維曲線(xiàn)纏繞得如此緊密且連續(xù)，以至于可以填充二維正方形中的每個(gè)點(diǎn)。這是第一條空間填充曲線(xiàn)（space-filling curve）。但皮亞諾給出的例子也不是坐標(biāo)系的良好基礎(chǔ)，因?yàn)榍€(xiàn)與自身無(wú)限多次相交?；氐綄?duì)曼哈頓的比喻，這就像給一些建筑物多個(gè)地址。

圖4：這些是產(chǎn)生空間填充曲線(xiàn)的前五個(gè)步驟。

在每一步，曲線(xiàn)的面積為零，但在極限情況下，它填充了正方形。這條特殊的曲線(xiàn)是由大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）引入的。

這些和其他令人驚訝的例子清楚地表明，數(shù)學(xué)家需要證明維度是一個(gè)真實(shí)的概念。例如，當(dāng)n≠ m時(shí)，n維和m維歐幾里得空間的某些基本性質(zhì)是不同的。這個(gè)目標(biāo)被稱(chēng)為“維度不變性”（invariance of dimension）問(wèn)題。

終于，在1912年，在康托爾的發(fā)現(xiàn)之后將近半個(gè)世紀(jì)，在人們多次證明維數(shù)不變性的嘗試失敗之后，布勞威爾（L.E.J. Brouwer）使用自己創(chuàng)造的一些方法并取得了成功。從本質(zhì)上講，他證明了不可能將一個(gè)更高維的物體放入較低維度的空間中，以及在不將物體分成許多部分（如康托爾所做的那樣）、不允許物體與自身相交（如皮亞諾所做的那樣）的情況下，使用較低維度的物體填滿(mǎn)較高維度的空間。此外，大約在這個(gè)時(shí)候，布勞威爾等人給出了各種嚴(yán)格的定義，例如，可以根據(jù)球在n維空間中的邊界是n-1維這一事實(shí)，幫助歸納地確定維數(shù)。

盡管布勞威爾的工作將維度概念置于強(qiáng)大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，但它無(wú)助于增強(qiáng)我們對(duì)高維空間的直覺(jué)：對(duì)3維空間的熟悉太容易使我們誤入歧途。正如托馬斯·班喬夫 (Thomas Banchoff) 所寫(xiě)，“我們所有人都是對(duì)自己所在維度存有偏愛(ài)的奴隸?！?/p>

例如，假設(shè)我們將2n個(gè)半徑為1的球體放置在邊長(zhǎng)為4的n維立方體中，然后將另一個(gè)球體放置在與它們中心相切的位置。隨著n增加，中心球體的大小隨之增加——它的半徑為√n -1。但是，令人震驚的是，當(dāng)n≥10時(shí)，這個(gè)球體會(huì)伸出立方體的邊。

圖5：中心球體隨著維度的增加而變大，最終會(huì)突出到立方體外面。

高維空間中令人驚訝的現(xiàn)實(shí)導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)和數(shù)據(jù)分析出現(xiàn)問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為“維數(shù)災(zāi)難”（curse of dimensionality）。許多統(tǒng)計(jì)方法所需的樣本點(diǎn)數(shù)量隨維度增加呈指數(shù)增長(zhǎng)。此外，隨著維度增加，點(diǎn)形成聚類(lèi)的概率會(huì)降低。因此，找到為高維數(shù)據(jù)降維的方法十分重要。

3. 分形和非整數(shù)維度

維度的故事并沒(méi)有因?yàn)椴紕谕柖K結(jié)。僅僅幾年之后，費(fèi)利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了一個(gè)新的維度定義，之后的數(shù)學(xué)發(fā)展證明該定義對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)至關(guān)重要。

考慮維度的一種直觀(guān)方式是，如果我們將d維物體均勻地縮放或放大k倍，它的大小會(huì)增加到kd倍。假設(shè)我們將一個(gè)點(diǎn)、一條線(xiàn)段、一個(gè)正方形和一個(gè)立方體放大3倍，點(diǎn)的尺寸不變（30=1），線(xiàn)段變成3倍（31=3），正方形變成9倍 (32=9)，立方體變成27倍 (33=27)。

圖6：當(dāng)我們將d維對(duì)象放大k倍，其尺寸會(huì)增加到 kd 倍。

豪斯多夫定義的一個(gè)令人驚訝的結(jié)果是，物體可能具有非整數(shù)維度。幾十年后，當(dāng)伯努瓦·曼德?tīng)柌剂_特（Benoit B. Mandelbrot）問(wèn)道：“不列顛的海岸有多長(zhǎng)？”時(shí)，結(jié)果證明非整數(shù)維度正是他所需要的。海岸線(xiàn)如此參差不齊，以至于無(wú)法用任何尺子精確測(cè)量——尺子越短，測(cè)量結(jié)果越大越精確。曼德?tīng)柌剂_特認(rèn)為，豪斯多夫維數(shù)提供了一種量化這種鋸齒狀海岸線(xiàn)的方法，并在 1975 年提出了術(shù)語(yǔ)“分形”來(lái)描述這種無(wú)限復(fù)雜的形狀。

圖7：英國(guó)海岸線(xiàn)的測(cè)量長(zhǎng)度取決于尺子的大小。

要了解非整數(shù)維度可能是什么樣子，讓我們考慮以迭代方式生成的科赫曲線(xiàn)（Koch curve）。我們從線(xiàn)段開(kāi)始。在每個(gè)階段，我們刪除每個(gè)線(xiàn)段的中間三分之一，并用與刪除的線(xiàn)段長(zhǎng)度相等的兩個(gè)線(xiàn)段替換它，無(wú)限次地重復(fù)此過(guò)程以獲得科赫曲線(xiàn)。仔細(xì)研究它，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它包含4個(gè)與整個(gè)曲線(xiàn)相同但大小只有三分之一的部分。因此，如果我們將這條曲線(xiàn)縮放3倍，我們將獲得原始曲線(xiàn)的4個(gè)副本。這意味著其豪斯多夫維數(shù)d滿(mǎn)足 3d=4，因此，d=log3(4)≈1.26?？坪涨€(xiàn)并不像皮亞諾曲線(xiàn)那樣完全充滿(mǎn)空間，所以它不是二維的，但它也不是一條一維線(xiàn)，而是1.26 維。

圖8：科赫曲線(xiàn)包含四個(gè)與整條曲線(xiàn)相同但尺寸為其三分之一的部分，其豪斯多夫維數(shù)不是整數(shù)， log3(4)≈1.26 維

4. 四維時(shí)空之外

最后，有些讀者可能會(huì)想，“時(shí)間不是第四維嗎？” 事實(shí)上，正如威爾斯1895年的小說(shuō)《時(shí)間機(jī)器》（The Time Machine）中的發(fā)明者所說(shuō)：“時(shí)間與空間的三個(gè)維度中的任何一個(gè)都沒(méi)有區(qū)別，只是我們的意識(shí)沿著它移動(dòng)?！?1919 年，作為第四維的時(shí)間在公眾的想象中爆發(fā)，日食讓科學(xué)家們證實(shí)了愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論和閔可夫斯基（Hermann Minkowski）的平坦四維時(shí)空的曲率。正如閔可夫斯基在1908年的一次演講中所預(yù)言的那樣，“此后獨(dú)自的空間和獨(dú)自的時(shí)間注定會(huì)消失在陰影中，只有空間和時(shí)間的某種結(jié)合才能保持獨(dú)立的現(xiàn)實(shí)?！?/p>

今天，數(shù)學(xué)家和其他人的研究經(jīng)常偏離我們所在的三個(gè)維度。有時(shí)研究會(huì)涉及額外的物理維度，例如弦論所要求的那些維度，但更多時(shí)候我們抽象地工作，并不設(shè)想實(shí)際空間。一些研究是幾何的，例如瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在2016年發(fā)現(xiàn)了在8維和24維填充球體的最有效方法[3]。在物理、生物學(xué)、工程、金融和圖像等不同領(lǐng)域研究分形時(shí)，有時(shí)需要非整數(shù)維度。在這個(gè)“大數(shù)據(jù)”[4]時(shí)代，科學(xué)家、政府和企業(yè)建立了人、地點(diǎn)和事物的高維度檔案。

幸運(yùn)的是，無(wú)論鳥(niǎo)類(lèi)和數(shù)學(xué)家，都不需要完全理解維度就可以體驗(yàn)維度。

Maggie Chiang | 作者

潘佳棟 | 譯者

梁金 | 審校

鄧一雪 | 編輯