掌控所有運動規(guī)律的原理：最小作用量原理

老虎狗主人 2022-01-10

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守恒量是在整個物理系統(tǒng)演化過程中保持不變的可觀測物理量。

物理學(xué)家喜歡尋找守恒量，因為它們不僅具有深刻的哲學(xué)意義，還在解方程過程中非常有用。當(dāng)你知道有些量保持不變時，用它們可以簡化方程的求解。

旋轉(zhuǎn)這樣 “平滑”的對稱性是連續(xù)對稱性。諾特定理表明，對于每一個連續(xù)對稱性，我們都可以構(gòu)造一個守恒量。例如，如果一個系統(tǒng)具有旋轉(zhuǎn)對稱性，我們就可以得到角動量守恒。

更令人驚訝的是，諾特定理可以證明能量守恒是時間平移對稱性的結(jié)果，時間平移不變性意味著拉氏量本身不顯含時間。

換句話說，如果物理系統(tǒng)所處的背景不隨時間改變，那么該系統(tǒng)的總能量將不隨時間改變。

By Konrad Jacobs, Erlangen — CC BY-SA 2.0 de

對稱性的概念在力學(xué)、經(jīng)典和現(xiàn)代物理學(xué)中隨處可見。例如，在量子物理學(xué)中，量子力學(xué)系統(tǒng)的對稱性可以與量子角動量守恒對應(yīng)。在電子理論中，電子的電荷和自旋守恒源于電子所遵循的對稱性。

用數(shù)學(xué)如何詳細描述對稱性起的作用？首先，需要解釋最小作用量原理，以及如果我們知道了拉氏量，我們?nèi)绾斡盟鼇碛嬎銏龅男袨椤?/p>

作用量和拉氏量

假設(shè)有一個粒子或場，在兩個預(yù)先確定的時間點 t1 和 t2 之間演化。如果它是一個粒子，我們可以通過繪制一條在空間中延伸的路徑來描繪粒子的演化過程，從時間 t1 開始，到時間 t2 結(jié)束。如果它是一個場，我們可以想象一個熱力圖隨著時間慢慢演化。

通過這些粒子和場的行為，我們能知道些什么？我們怎么才能知道粒子將走什么路徑？在物理學(xué)中，我們從一個可以描述物理系統(tǒng)的模型開始，其中典型的一種是拉氏量。拉氏量是一個數(shù)學(xué)量，它通常寫成動能和勢能之差，拉氏量在任何時間點都可以給出一個具體的數(shù)。我們之所以喜歡用拉氏量是因為它獨立于觀察者，不隨參考系的改變而改變。

觀察者是正立的還是倒立的，或者以接近光速的速度移動，這些都不重要。通常，物理量的數(shù)值會因坐標(biāo)選擇的不同而不同；然而，拉氏量不隨坐標(biāo)的選擇而改變，無論對于哪個觀測者，它的取值都是一樣的。和參考系無關(guān)的這種性質(zhì)是非常有用的，因為它讓我們可以進行清清楚楚的計算。

為了理解到底發(fā)生了什么，我們需要構(gòu)造一個稱為作用量（action）的量。例如，如果已知一個拉氏量，我們可以計算拉氏量在兩個時間點之間的積分：

積分意味著將拉氏量在多個時間點上的值進行相加。從到之間的總積分被稱為作用量。它通常用大寫字母 S 表示。拉氏量前面的豎直曲線 ∫ 表示積分。

上面的表達式是作用量的數(shù)學(xué)定義。拉氏量通常是位置和位置的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。希臘字母 φ 表示粒子在空間中的位置；第二項 ?φ 是粒子位置的一階導(dǎo)數(shù)，表示粒子位置隨時間的變化率。

拉氏量在幾何上看起來是怎么樣的？我們可以用一些插圖來說明，通過這些插圖可以了解關(guān)于它的一般概念。如果拉氏量只包含自由空間中的動能，對于不同于直線的路徑，往往會得到更大的作用量。該圖顯示了粒子在時間和之間采取不同路徑對應(yīng)的作用量大小。正如您所看到的，最復(fù)雜的路徑作用量最大。作用量最小的路徑就是直線路徑。

如何得出物理規(guī)律？

在我們眼中，拉氏量是數(shù)學(xué)對象，我們只把作用量看作是物理的。這有一個哲學(xué)上的原因。結(jié)果表明，不同的拉氏量可以產(chǎn)生相同的作用量。所以，在某些情況下，存在兩個拉氏量，但只有一個作用量的情況。這意味著我們可以通過兩個不同的拉氏量，得出相同的物理定律。

為什么會這樣？原因是，當(dāng)我們對某些被稱為“全微分”（total derivative）的數(shù)學(xué)表達式進行積分時，積分結(jié)果是零。

在下面的公式中，我們有一個作用量，被寫成一個特定的拉氏量和一個全微分項。但是，我們可以把積分拆分成兩個不同的部分。一旦我們把它分開，我們就消掉了全微分項，因為當(dāng)我們積分時它變成了零。

這是一件令人興奮的事情！這意味著，存在兩個不同的拉氏量，在一個不那么嚴(yán)格的限制下，可以認為它們是“等價”的。我們不需要讓它們完全等價就能得出相同的物理現(xiàn)象。如果拉氏量僅在“全微分”項上存在差異，則它們可以被看作是相互等價的。例如，在下圖中，函數(shù) f 、 g 和 h 都與全微分項有關(guān)，它們?nèi)齻€產(chǎn)生相同的作用量。（我已經(jīng)用不同的顏色寫出了這三個函數(shù)來表達這個觀點。）

數(shù)學(xué)上，我們可以用下面的表達式來表達拉氏量之間“等價”，盡管它們之間相差一個全微分項。在下面的表達式中，函數(shù) f 是可微函數(shù)。

如果對函數(shù)可以使用“變化率”的概念，那么這個函數(shù)就是可微的。如果函數(shù)值在某些地方發(fā)生跳躍、出現(xiàn)尖銳的拐點或沒有良定義，那么就有可能不能使用“變化率”的概念，這種情況下，只有許多嚴(yán)格的數(shù)學(xué)條件被滿足時，“變化率”的概念才變得可以接受。所有可微函數(shù)的集合為。關(guān)于微分和積分等運算是否具有良定義的研究稱為數(shù)學(xué)分析，是一個令人著迷的研究領(lǐng)域。

歐拉-拉格朗日公式

“最小作用量原理”告訴我們，場或粒子的行為正是使作用量取極小值的行為。所以如果我們知道這個作用量，我們可以通過一些數(shù)學(xué)運算，求出使這個作用量取極小值時場的行為。有一個被稱為變分法的數(shù)學(xué)分支，研究的是“函數(shù)的變化率”。（譯者注：變分法告訴我們，場或粒子的行為可以用歐拉-拉格朗日方程導(dǎo)出。）

粒子版的歐拉-拉格朗日方程如下所示。方程左邊，我們首先取拉氏量對速度的偏導(dǎo)數(shù)，然后繼續(xù)對其求時間的導(dǎo)數(shù)。方程右邊，我們對拉氏量在空間中進行求導(dǎo)。然后讓方程的左邊等于右邊，就可以得到一個令作用量取最小值的路徑。