1882年，艾米·諾特出生于巴伐利亞一個(gè)富裕的猶太家庭。她的父親馬克斯·諾特（Max Noether）是一位以研究代數(shù)幾何而聞名的數(shù)學(xué)教授，但艾米最初感興趣的是語言學(xué)。在獲得英語和法語教師資格后，她才開始學(xué)習(xí)大學(xué)水平的數(shù)學(xué)，盡管當(dāng)時(shí)德國(guó)大學(xué)不允許女性讀大學(xué)。

這一規(guī)定在1904年被修改，1907年，諾特獲得她的博士學(xué)位。她的論文研究的是抽象代數(shù)，特別是不變量理論——函數(shù)或函數(shù)組在函數(shù)變換時(shí)保持不變的性質(zhì)——正是在這一領(lǐng)域，她迅速建立了自己的聲譽(yù)。1909年，她受邀加入德國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)。

1910年以前的諾特

1915年，數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特和菲利克斯·克萊因帶著一個(gè)問題找到諾特。愛因斯坦已經(jīng)在那年的早些時(shí)候發(fā)表了廣義相對(duì)論的場(chǎng)方程，但它理論上似乎有一個(gè)令人擔(dān)憂的漏洞。在某些情況下，物理學(xué)中最基本的原則——能量守恒被破壞了。

1915年，希爾伯特和克萊因找到作為不變量專家的諾特。如果有人能找到填補(bǔ)理論漏洞的方法，那只能是她了。事實(shí)證明，他們的選擇是對(duì)的。諾特的方案成為理論物理中最優(yōu)雅最有力的結(jié)果之一。

諾特的理論可以表述為：

讓我們來解讀一下這個(gè)表述。

首先，守恒量是系統(tǒng)中不隨時(shí)間改變的某種性質(zhì)。例如，如果我輕擊一個(gè)高爾夫球，那么球的質(zhì)量在我擊球和它(希望)進(jìn)洞之間的時(shí)間內(nèi)不會(huì)改變。因此，球的質(zhì)量是系統(tǒng)的守恒量。

相反，球的速度會(huì)隨著時(shí)間而變化，無論是通過與草的摩擦還是與地面碰撞都會(huì)影響到速度。在這種情況下，球的速度不是守恒量。

接下來是連續(xù)對(duì)稱的概念?；叵胍幌略谛W(xué)時(shí)，我們可以說一個(gè)正方形在旋轉(zhuǎn)90度時(shí)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。這意味著，當(dāng)我們將一個(gè)正方形旋轉(zhuǎn)90度時(shí)，最終的狀態(tài)看起來就像我們什么都沒做一樣。然而，這個(gè)結(jié)論僅僅對(duì)某些特定的角度成立。如果我們改為旋轉(zhuǎn)45°，最終狀態(tài)將與原始方向明顯不同。所以，我們說正方形有離散的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。

正方形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性

現(xiàn)在想象在一個(gè)圓上進(jìn)行同樣的操作。然而，這一次不管我們把圓旋轉(zhuǎn)什么角度，圓看起來總是完全一樣的，即使那個(gè)角度是非常非常小。這意味著圓具有連續(xù)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性

最后，什么是系統(tǒng)的拉格朗日量？要講解拉格朗日量，我們必須首先理解物理學(xué)中的另一個(gè)基本概念：最小作用量原理。

實(shí)際上，這表明宇宙是“懶惰”的。物理系統(tǒng)的運(yùn)行方式使得系統(tǒng)從一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的演化所需的“努力”最小化。我們將這種“努力”稱作系統(tǒng)的作用量。

例如，在我擊球后，一般來講，物理系統(tǒng)從“我腳下的球”發(fā)展到“洞內(nèi)的球”。沒有什么能阻止球從我的腳下經(jīng)過一段遙遠(yuǎn)的路徑到達(dá)距離球洞的10英尺遠(yuǎn)處，除非系統(tǒng)“在這條路徑上的作用量”遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“球按照我們所期望的軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)的作用量”。后一條路徑，即球真實(shí)走過的軌跡，是作用量最小化對(duì)應(yīng)的軌跡。這正是最小作用量原理所起的作用。

這和拉格朗日量有什么關(guān)系？拉格朗日量通過讓整個(gè)過程中的作用量最小來描述系統(tǒng)的能量在一個(gè)過程中應(yīng)該如何變化。通過在一組稱為運(yùn)動(dòng)方程的微分方程中考察它在空間和時(shí)間上的行為，我們可以確定系統(tǒng)是如何根據(jù)最小作用量原理從一種狀態(tài)發(fā)展到另一種狀態(tài)的。

即將進(jìn)洞的高爾夫球。球運(yùn)動(dòng)的路徑即使得系統(tǒng)作用量最小的路徑，可以從拉格朗日量得到這一路徑。

回到諾特定理。拉格朗日量具有連續(xù)對(duì)稱性意味著什么？如果當(dāng)系統(tǒng)沿著某個(gè)坐標(biāo)連續(xù)變換時(shí)，它的拉格朗日量不變，那么這個(gè)系統(tǒng)被認(rèn)為關(guān)于那個(gè)坐標(biāo)是連續(xù)對(duì)稱的。

所以，考慮一個(gè)經(jīng)典的物理考試問題：兩個(gè)相同的球在x軸上的碰撞。假設(shè)沒有摩擦或空氣阻力，可以很容易地表明，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)只取決于球的位置和速度之間的相對(duì)值，而不是它們的絕對(duì)值。

如果我們?cè)趚方向上同時(shí)將兩個(gè)球平移任意相同距離，那么兩個(gè)球在位置和速度上的差異是不變的。因此，系統(tǒng)必須以與之前相同的方式運(yùn)動(dòng)，就好像它根本沒有被移動(dòng)過一樣。由于這種行為是通過拉格朗日量進(jìn)行編碼的，這意味著它也不能通過x方向的平移來改變。所以系統(tǒng)的拉格朗日量必須在x方向上具有連續(xù)對(duì)稱性！

諾特告訴我們，這種對(duì)稱性意味著存在一個(gè)守恒量，在這種平移對(duì)稱的情況中，守恒量是動(dòng)量。這就是動(dòng)量守恒定律的起源！我們用來處理與這種假設(shè)相關(guān)的問題時(shí)所用到的工具，就是描述系統(tǒng)的拉格朗日量存在對(duì)稱性的結(jié)果。

類似地，如果系統(tǒng)的拉格朗日量是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，將系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)任意角度后拉格朗日量不變，那么角動(dòng)量在系統(tǒng)中是守恒的。描述行星引力的拉格朗日方程是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，所以角動(dòng)量在行星的軌道上是守恒的。由于某種對(duì)稱性，電荷也會(huì)是守恒的，這一次是涉及的是波函數(shù)的規(guī)范對(duì)稱性這種更深?yuàn)W的概念，它的細(xì)節(jié)需要參考相應(yīng)的專業(yè)文章。

這些想法實(shí)在太棒了，但是它如何幫我們解決廣義相對(duì)論中的問題呢？

回想一下，希爾伯特和克萊因已經(jīng)意識(shí)到，在某些情況下，廣義相對(duì)論中能量不守恒。我們知道，能量通常是守恒的，所以根據(jù)諾特定理，能量守恒要與某種對(duì)稱性相關(guān)——事實(shí)確實(shí)如此，那便是時(shí)間平移對(duì)稱性。如果一個(gè)系統(tǒng)在時(shí)間平移下是對(duì)稱的——如果系統(tǒng)的拉格朗日量不顯式依賴于時(shí)間——那么系統(tǒng)一定是能量守恒的。

諾特意識(shí)到，這就是答案。

廣義相對(duì)論中的時(shí)間不像牛頓力學(xué)中那樣是一個(gè)絕對(duì)量，它隨著時(shí)空的彎曲而流動(dòng)、扭曲。時(shí)間平移對(duì)稱性只在某些特殊情況下適用于廣義相對(duì)論，即在時(shí)空平坦或接近平坦時(shí)才行，所以，對(duì)于時(shí)空彎曲的情形，能量不需要守恒！

因此，通過結(jié)合她在抽象代數(shù)方面的專業(yè)知識(shí)和令人不可思議的分析思維，諾特不僅填補(bǔ)了20世紀(jì)最重要理論之一的漏洞，還揭示了理論物理學(xué)中一個(gè)真正的基本概念。她的定理奠定了我們每天在教室和世界上遇到的大量物理現(xiàn)象的基礎(chǔ)。

諾特定理的威力遠(yuǎn)不止于此。

即使是在粒子物理學(xué)中，諾特定理依然適用。威爾切克說：“我們不得不依靠理論上的洞察力以及關(guān)于美、美學(xué)和對(duì)稱性的概念來猜測(cè)事物的運(yùn)作方式。”諾特定理在這方面就很有幫助。

在粒子物理學(xué)中，關(guān)系到的對(duì)稱是被稱為規(guī)范對(duì)稱的一種比較隱秘的對(duì)稱性。電磁學(xué)中就有這樣的對(duì)稱性，它導(dǎo)致電荷守恒。規(guī)范對(duì)稱出現(xiàn)在電壓的定義中。例如，電池兩端之間的電壓是電位差的結(jié)果。電勢(shì)本身的實(shí)際值并不重要，重要的是差值。

這就產(chǎn)生了電勢(shì)的對(duì)稱性:它的整體值可以在不影響電壓的情況下改變。這個(gè)特性解釋了為什么一只鳥可以坐在一根電線上而不會(huì)觸電，但是如果它同時(shí)接觸兩根處于不同電位的電線時(shí)，安息吧，小鳥。

小鳥站在電線上

在20世紀(jì)60年代和70年代，物理學(xué)家擴(kuò)展了這一想法，發(fā)現(xiàn)了與守恒定律相關(guān)的其他隱藏對(duì)稱性，從而發(fā)展了粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型。

威爾切克說:“這是一種概念上的聯(lián)系——一旦你意識(shí)到這一點(diǎn)——就像你有一把錘子，然后你就可以去找釘子來使用它。”物理學(xué)家在發(fā)現(xiàn)守恒定律的任何地方都尋找對(duì)稱性，反之亦然。依靠對(duì)稱性建立的標(biāo)準(zhǔn)模型解釋了基本粒子的行為和它們之間的相互作用——威爾切克就因其在發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)模型中的貢獻(xiàn)獲得了2004年諾貝爾獎(jiǎng)。就其精確預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的能力而言，現(xiàn)在許多物理學(xué)家認(rèn)為它是有史以來最成功的科學(xué)理論之一。

然而，在很大程度上，沒有人知道諾特這個(gè)人。這是一個(gè)被愛因斯坦描述為“自女性接受高等教育以來出現(xiàn)的最重要、最有創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才?！?/p>

盡管如此，她從未擔(dān)任過永久教師。希爾伯特被迫在哥廷根用自己的名字宣傳她的講座課程，這就是當(dāng)時(shí)大學(xué)等級(jí)制度中對(duì)女性學(xué)者的排斥。隨著1933年納粹勢(shì)力的崛起，她搬到了美國(guó)。在1935年因癌癥突然去世之前，她本應(yīng)和愛因斯坦一起在普林斯頓大學(xué)開始工作。

我們只能想象，如果命運(yùn)讓他們的天才結(jié)合起來，會(huì)帶來哪些發(fā)現(xiàn)。